16.3计数原理II-加法原理
一、教学内容分析
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列的知识，学生已经掌握了（分步计数原理）乘法原理，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列应用题的求解，更是离不开加法原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题.正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步.教的诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
1．复习
我们在前几节中学习了乘法原理、排列等知识，那么请问什么是乘法原理？
（学生答）做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．
2．引入
那么请问：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析:因为乘火车有3种走法，
乘汽车有2种走法，所以，乘
一次火车再接着乘一次汽车
从甲地到乙地，共有种不同走法，如图所示，
所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1；
火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2
（以上由学生口答）
若问题改为：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？
分析：因为一天中乘火车有3种走法，
乘汽车有2种走法，每一种走法都可
以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5
种不同的走法，如图所示
(1－2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
分析：从甲地到乙地有3类方法：
第一类方法，乘火车，有4种方法；
第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，共有4+2+3=9种方法.（以上由学生口答）
这就是今天所要学习的加法原理（即分类计数原理）
二、学习新课
探究性质
1.加法原理：定义P22
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法.
【说明】计数原理
·注意“不重不漏”
2．原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．
两个原理的公式是:,
这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．
强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．
两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数
两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”
2．例题分析
例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
解：从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种
所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；
例2．甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有所少种不同的品种？
解：收音机的品种可分两类：
第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有3种，颜色有4种，共种；
第二类：乙厂收音机的种类，分两步：形状有4种，颜色有5种，共种
所以，共有个品种
说明：分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事
3．问题拓展
例3.1、书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6种方法；第二类可从5本语文书中任取一本，有5种方法；根据加法原理可得共有5+6=11种不同的取法
(2)从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语文书，有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法
2、某班级有男学生5人，女学生4人
(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？
(2)从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？
解：(1)完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，
第一类办法，从男学生中任选一人，共有=5种不同的方法；
第二类办法，从女学生中任选一人，共有=4种不同的方法
所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种
(2)完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
第一步，选一名男学生，有=5种方法；
第二步，选一名女学生，有=4种方法；
所以，根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种
由例1可知：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”，还是“分步完成”“分类完成”用“加法原理”；“分步完成”用“乘法原理”
3、满足∪=｛1,2｝的集合、、=φ时,只有=｛1,2｝,得1组解;
2)当=｛1｝时,=｛2｝或=｛1,2｝,得2组解;
3)当=｛2｝时,=｛1｝或=｛1,2｝,得2组解;
4)当=｛1,2｝时,=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.
根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.
分析二:设、“1”,可装入不装入,也可装入不装入,还可以既装入又装入,有3种装法;第2步装2,同样有3种装法.根据分步计数原理共有3×3=9种装法,即原题共有9组解.
4、在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.
分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.
5、如下图,共有多少个不同的三角形?
解:所有不同的三角形可分为三类”
第一类:其中有两条边是原五边形的边,
这样的三角形共有5个；第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个；第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
三、课堂小结
本节课主要介绍了加法原理，并让学生理解两个计数原理的不同之处.解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步，关键是做到不重不漏.
四、作业布置
(略)
七、教学设计说明
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列以后的知识，两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处
本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.
在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.
7/7
利用浅显易懂的问题让学生初步了解加法原理，并由此掌握分类计数原理的本质
复习乘法原理进而用一个实际问题引出加法原理
布置课外作业
引导学生进一步掌握两个计数原理的区别，学会灵活应用，另一方面能利用加法知识解决一些实际例题；
结合学生具体情况加深知识点，归纳小结加法原理与乘法原理的异同点。
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