§2.5不等式的证明(1)
教学目的：1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路。
2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明。
3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用。
4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学重点：利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明。
教学难点：分析法的基本思路及其表达。
教具使用：常规教育
教学过程：
一、比较法
比较法有两种：
（1）比差法：求差与比.
（2）比商法：求商与比，要注意讨论分母的符号.
例1求证：（1）.
（2）.
证明：（1）因为，
所以，.
（2）因为，
所以，.
[说明]
本例的几何意义.
（1）的图像在的下方，如图所示（A点比B点低1个单位）.
（2）的图像在的图像上方，如图所示（A点比B点高）.
例2设，，求证：.（补充）
[说明]
此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.
二、综合法
从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.
例3已知、、均为正数，求证：.
例4已知、，求证：.
例5求证：.
[说明]
此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.
例6求证：.
[说明]
利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.
§2.5不等式的证明(2)
三、分析法
从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.
分析法也可以如下叙述为：欲证结论，需先证得，欲要证得，需先证得，欲要证得，需先证得，……………………………，欲要证得，需先证得.
当成立时，若以上步步可逆，则结论成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立：
?，因为成立，所以结论成立.
[说明]
分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.
例7求证：.
例8已知：，求证：.
例9设、，求证：，并指出等号成立的条件.
例9证明的不等式对任意的实数、成立，以换得到的不等式，即也成立，此时，右端等号成立，左端等号成立.
以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为
三角不等式对于任意、，
（1），左端等号成立，右端等号成立.
（2），左端等号成立，右端等号成立.
[说明]
有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.
例10已知，，求证：.
证明：由三角不等式可得：
.所以，.
[说明]
此例为练习2.4（5）中的一题.
四、课堂小结
五、作业布置
选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.
五、教学目标说明
有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.
有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.
教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求，防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误.
三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实上，一题往往会有多种证法，关键在于对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.
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