§3.4函数的基本性质（1）（2）
教学目的：1、掌握偶函数与奇函数的概念，学会判断函数的奇偶性；
2、帮助学生掌握由“具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；
3、在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。
教学重点：偶函数与奇函数的概念，函数奇偶性的判断。
教学难点：偶函数与奇函数图像性质的证明，简单复合函数奇偶性的判断。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教具使用：常规教育
教学过程：
1．复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和图像.函数的图像如图1，函数的图像如图2.
⒉引入：（学生看图总结，引导学生从对称性角度来分析）
从函数的图像（图1）看到：
图像关于轴对称，通过计算，我们也可以看到，
，得；由
得.让学生思考：对任意，
是否成立？
从函数的图像（图1）看到：
图像关于原点对称，通过计算，我们也可以看到，
，得；由
得.让学生思考：对任意，
是否成立？
函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.
二、学习、讲解新课
⒈偶函数与奇函数
定义：对于函数的定义域内任意一个值，
⑴若恒成立，则函数就叫做偶函数；
⑵若恒成立，则函数就叫做奇函数.（引导学生类比得到）
例如，函数，，等都是偶函数；函数，等都是奇函数.
若函数是奇函数或偶函数，则说函数具有奇偶性.
说明：⑴定义中的等式（或）对定义域里的任意都要成立，若只对个别值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；⑵等式（或）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意来说，也应在定义域之中，否则无意义；⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.
⒉函数奇偶性的判断方法
例1：判断下列函数是否具有奇偶性：
⑴；⑵；⑶.
解：⑴∵，即，∴函数是奇函数；
⑵∵,即，∴函数是偶函数；
⑶∵∴，∴函数既不是奇函数，也不是偶函数，称为非奇非偶函数.
说明：
⑴判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性，判断的根据是定义.
⑵函数中有奇函数，有偶函数，也有非奇非偶函数，还有既是奇函数又是偶函数，例如常数函数，当时是偶函数，当时，它既是奇函数又是偶函数.
⑶判断函数的奇偶性，有时也可根据下面的式子来判断：
对于定义域内任意一个，①若有成立，则为偶函数；②若有成立，则为奇函数.
3.关于奇偶函数图像的对称性质
由奇函数的图像（如图1）和偶函数的图像（如图2），可得
⑴奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵偶函数的图像关于y轴对称，反过来，若一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
三、小结
⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数与必须同时在定义域内，与才能都有意义，奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；
⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有时需将原式变形，化为等价形式：；.
3.奇偶函数图像的特征给我们提供了结合图像处理奇偶函数问题的依据；如何利用函数奇偶性解决有关问题是我们应该熟练掌握的；
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P764,5,6
§3.4函数的基本性质（3）（4）
教学目的：1、掌握增函数、减函数、单调函数及单调区间的概念；
2、学会判断函数的单调性并能加以证明；
3、学会“由具体到抽象”、“数形结合”的思维方法；
4、通过形式化的表达，让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
教学重点：掌握函数单调性的概念，能判断一些简单函数的单调性。
教学难点：判断函数的单调性并求函数的单调区间。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教具使用：常规教育
教学过程：
1．复习：我们在初中已经学习了函数图像的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和图像.函数的图像如图1，函数的图像如图2.
⒉引入：（叫学生看图总结）从函数的图像（图1）看到：
图像在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，
当在区间上取值时，随着的增大,相
应的值也随着增大，即如果取，
得到,那么当时，有.
这时我们就说函数在上是增函数.
图像在轴的左侧部分是下降的，也就是说，
当在区间上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取，得到那么当时，有.这时我们就说函数在上是减函数.
函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.
二、学习、讲解新课
⒈增函数与减函数
定义：对于函数的定义域I内某个区间
上的任意两个自变量的值.
⑴若当时，都有则说
在这个区间上是增函数（如图3）；
⑵若当时，都有则说
在这个区间上是减函数（如图4）.
.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数.
⒉单调性与单调区间
若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的.
[说明]：
⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得但显然此图像表示的函数不是一个单调函数；
⒊例题评价
例1：图6是定义在闭区间上的函数的图像，根据图像说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
解：函数的单调区间有，，，，其中在区间，上是减函数，在区间，是增函数.
[说明]：
1）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.
2）要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.
例2：证明函数在上是增函数.
证明：设是上的任意两个实数，且，则,由,得,于是,即.在上是增函数.
练习：判断函数在上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
（减函数：证明略）
例3：判断函数在区间上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
解：设，且，,由，得,又由,得,,即.在上是减函数.
能否说函数在上是减函数？
答：不能.因为属于的定义域.
[说明]：通过观察图像，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
三、课堂小结
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设是给定区间内的任意两个值，且；⑵作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据的符号确定其增减性.
四、作业布置
P81练习3.4(2)1,2,3,4,5，6
§3.4函数的基本性质（5）（6）
教学目的：1、理解函数最大、最小值的概念，掌握几种类型的函数最值的求法
2、学会“转化”的思维方法
3、让学生懂得数学既是从现实原型中抽象出来的，又随着数学本身的发展而逐步得到完善的，并树立严格定义的思维。
教学重点：理解函数最大、最小值的概念，求基本函数的最值；
教学难点：通过转化思想，把复杂函数转化成熟悉的基本函数，再求最值。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教具使用：常规教育
教学过程：
一、引入
1．动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
设每间熊猫居室的宽为米,熊猫居室的总面积为平方米，则2间熊猫居室的总长为米.
由题意得
下面，我们研究取什么值时面积才能达到最大值。用配方法把上式化为
因为，所以，即当取内任何实数时，面积的值不大于75平方米.又因为，而当时，取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.
二、学习新课
1．概念讲解
函数的最大、最小值概念：设函数在处的函数值是，如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作。
解：因此，当时，因此，当时，
当时，当时，当时，，所以
说明：通过配方可得，函数图像是抛物线的一段，其中含有抛物线的顶点，由于抛物线的开口向下，顶点位于图像的最高处，因此顶点所对应的函数值就是函数的最大值，由于顶点左边的图像是上升的，因此在所对应的区间上，函数是单调递增的，而顶点右边的图像是下降的，在所对应的区间上，函数是单调递减的，所以，函数在上的最小值应由区间的端点所对应的函数值来定.
利用不等式性质，得
当时，即时，取得最小值是.
2、在的条件下，求函数的最大值和最小值.
解：由，解得，可知函数的定义域是.又已知，因此需在的条件下，求函数的最大值和最小值.
因为，所以当时，函数为增函数，从而当，函数.又时，；时，.所以利用不等式的性质，得即
因此，当时，；当时，.
四、求函数的最大、最小值与值域的基本方法：
（1）研究函数的单调性等性质；定义在区间上的函数，如果函数在上是增（减）函数，那么这个函数的最大（小）值是，最小（大）值是。（2）利用基本不等式；（）通过变量代换的数学思想方法，将函数转为基本函数。
，要求它的近似解。我们应该如何去思考呢？这堂课就让我们一起来探索这个方程近似解的求法。
二、函数零点的概念。
在学习了函数以后，就函数与方程之间的关系大家有了一定的认识。请同学们描述：函数与方程之间的关系。这样就建立起了函数与方程的关系。由于关系中“桥梁”的重要性，我们给他一个名称叫做函数的零点。
定义：一般地：对于函数，如果存在实数，当时，有，那么就把叫做函数的零点。
函数的零点是一个实数还是坐标平面上的一个点？请从方程的观点来描述函数的零点。
有了函数与方程之间的相互转化，函数与方程就可以相互利用，从而使我们解决问题的手段更丰富。
三、在区间存在函数零点的一个条件。
有了函数零点的概念后，研究方程解的问题可以转化成研究函数的零点的问题，可以去利用很多函数的性质，从而使我们的工具多样化。那么我们又如何利用函数的性质来寻找函数的零点呢？
探索在区间存在函数零点的一个条件。
（1）（2）
（3）（4）
·每一个函数的零点两侧的函数值有什么特点？零点两侧的函数值符号异号。
·那么若，则在上是否一定存在函数的零点？反例：
·那么当时，在上存在零点，则函数图像在上具备是么特点呢？
·请大家归纳一个函数在上有零点的条件。
定理：一般地，如果函数在定义区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么内至少存在一个实数,使，也就是在内，函数至少有一个零点。
思考：
·是否只有在这样的条件下才存在零点？反例：
·条件是否充要？否。反例：
·为什么要用“至少”？以实验中的（2）来说明。
这也说明若我们要确定一个零点的大致位置区间不宜取得太大。
有这个定理我们可以确定出函数零点的大致位置，但是距离求出函数零点的近似值还有一段距离，接下来我们就来探索如何利用这个定理来解决防城近似解的问题。
四、用二分法求方程的近似解。
问题：求方程的近似解，精确到。
既然用到上述定理，就把问题转化成函数零点的问题。设，
根据我们学过的知识思考：函数有几个零点？为什么？
事实上，不断继续下去，去间端点将不断接近，趋向于重合，这是可以得到近似解。讲的通俗一点，就像警察抓罪犯，先确定罪犯大致位置，然后不断缩小包围圈，步步逼近罪犯，最后抓住罪犯。这就是数学中的重要思想——逼近思想。
注意事项：
·在使用两分法的过程中对根所在的区间作如何处理？
·在每一次分区间的时候，到底去两部分中的那一部分？如何判断？
·根据精度的需要，二分法在继续到什么程度上结束？
·二分法是否可以无限继续下去？
请同学们设计一个方案，在自己的上求方程的近似解。
五、小结
本节课我们主要是通过函数的零点将方程问题与函数问题联系了起来，并且探索了在内存在函数零点的一个条件，运用这个条件，利用数学中的逼近思想，求解了方程的近似解问题。而在求解过程中用到了两分法的算法。希望大家课后好好反思和体会在方法中的数学思想。
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