§4.2指数a的取值范围
3、学会利用指数函数解决实际问题。
教学重点：指数函数的性质；
教学难点：正确理解无理数幂的含义；指数函数解决实际问题。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教具使用：常规教育
教学过程：
一、指数函数概念的引入
学生回顾幂函数的概念，然后引导学生联想：既然乘幂式中，可固定b不变，让a在一定范围内变化，研究幂函数，那么很自然地联想把二者颠倒一下，即固定a让b在一定范围内变化，这样按照，M也有一个唯一的值与之对应，这也构成一个函数，我们分别用x和y来代替b和M，这样，就改写为，由于这时的自变量x处于指数位置，我们称这种函数为指数函数。这是一种揭发数学的内在联系、由此及彼迁移的教学方法，容易为学生接受而且深刻，它为互相转化应用打下基础。（如在比较两数的大小中，利用幂函数的性质判断指数式的大小，或利用指数函数的性质判断乘幂的大小。
函数有三要素：定义域、值域和对应法则，我们知道了对应法则之后就要进一步确定定义域。在初中里，我们只知道当指数x是有理数（整数和分数）时乘幂的意义，而当x是无理数时，乘幂有没有意义、什么意义我们都不清楚，所以我们先讨论指数x是有理数时的情况，然后用已知的结论来推导未知的，这样先易后难，避开了重点与难点同时出现，符合学生的认知规律，学生容易理解接受。
二、讨论底数a的可能范围及相应的指数函数的性质
三、指数函数的定义域
前面在画函数的图像时，只是在坐标系内描出了几个横坐标是有理数的点，而没有用平滑的曲线把它们连起来，这是为什么？由于有理数和无理数在数轴上都是稠密分布的，我们无法把横坐标是有理数的点与横坐标是无理数的点分开，我们也不清楚当x取无理数时指数函数的性质，我们怎么能用平滑的曲线连接呢？为了完整地画出函数图像，我们必须研究指数函数（a>0,a≠1）在x的性质。先要明确指数x为无理数时乘幂的意义。比如，x=,那么表示什么呢？
我们知道无理数是无限不循环小数，它可以用不足近似值或过剩近似值来表示。对于，当精度分别是0.1、0.01、0.001、…时，它的不足近似值与过剩近似值依次是1.4、1.5；1.41、1.42；1.414、1.415；…并且这个过程可以无限进行下去，这样就得到充分接近的两列数αn和βn，因此a与a也充分接近，就是表示介于a与a之间、由a与a夹逼出的那个唯一的数。由于a与a满足前面证得的指数函数的性质，所以不会改变这些性质。由此可见，任何一个无理数都如同那样，都有两列数来充分接近它（因它是无限不循环小数），使得它的指数幂有意义并且不会改变指数函数的性质，于是，指数函数中的自变量x的取值范围可以扩大到实数集R。。我们可给指数函数下一个完整的定义：形如（a>0且a≠1）的函数叫指数函数，其定义域为R。根据前面的分析，它具有前面得到的性质。
现在可以明确地用平滑的曲线连接所描的点，画出函数图像，并请让学生用图形计算器来画出函数的图像，检验刚才所画出的图像是否正确。经过对比，看出两个结果是一致的，这也表明我们把指数函数的性质由有理数推广到实数集R上的正确性。
思考：我们已证出指数函数的函数值y是正数，，是否就可以认为它的值域是正数集或呢？也就是说，每个正数是否都是函数值呢？
例1判断下列是否是指数函数，并说明理由。
（1）（2）（3）（4）
分析：本题是考察指数函数的概念以及其函数表达式。可以先让学生讨论
解答：（1）是幂函数，不是指数函数，因为自变量处于底数的位置；（2）也是幂函数；（3）不是指数函数，因为底数不能是负值；（4）是指数函数。
总结：指数函数的解析式是，其它形式都不是。
例2、不用计算器，比较下列每组数的大小：
（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
分析：本题主要是考察利用指数函数或者幂函数的单调性来比较数的大小，应避开利用计算器。可以先让学生自己考虑。
解答：（1）因为函数在实数集上单调递增，所以；
（2）因为函数在实数集上单调递减，所以；
（3）因为且函数在实数集上单调递增，所以；
（4）因为函数在实数集上递增，所以；
（5）因为，所以。
总结：运用幂函数、指数函数或对数函数（后面学习）的单调性来比较数的大小是经常出现的问题。这里要注意的是要会分辨是运用幂函数的性质还是指数函数的性质，这是解决问题的关键，有时候两者都不能直接用，需要找一个中间变量。
例3、在同一坐标系中分别画出下列函数的图像，并指出这些图像之间的关系。
（1）（2）（3）（4）
分析：本题是考察指数函数的图像，要注意讨论当底数都大于1或都小于1时函数图像之间的关系。可以先让学生来画。
解答：
其中，（1）与（3），（2）与（4）分别关于轴对称。
总结：要让学生很熟练地掌握如何画指数函数的图像，这里的难点是如何区别形如（1）和（2）、（3）和（4）的图像。
例4、求下列函数的值域：
（1）（2）（3）
分析：观察函数解析式的特点，发现和指数函数有关，所以先求出指数的范围，然后再利用指数函数的单调性求出函数值域。
解答：（1）定义域是，令，则，所以，
所以，所求值域是。
（2）定义域是，令，因为，所以
，且，所以所求的值域是。
（3）定义域是，令，则
所求值域是。
总结：本题实际上是求复合函数的值域，应先寻找定义域，然后在根据直属函数的单调性得到答案。
3
o
(2)
(1)
y
x
(4)
(3)
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