§4

§4.3借助计算机观察函数递增的快慢及函数的零点

教学目的：1、掌握函数的零点的定义，

2、掌握一个判断函数零点存在的条件，

3、了解数学中的逼近思想，理解用两分法求方程的近似解。

教学重点：函数零点的定义；函数零点存在的一个条件；两分法求方程的近似解。

教学难点：函数零点的存在条件；逼近的思想；用两分法求方程的近似解。

课型：新授课

课时计划：本课题共安排2课时

教具使用：常规教育

教学过程：

一、问题的提出。

方程是解决数学问题的一种重要的工具，但在很多实际情况的限制下所列出的方程并不是现有的方法所能解决的，例如：列出方程，要求它的近似解。我们应该如何去思考呢？这堂课就让我们一起来探索这个方程近似解的求法。

二、函数零点的概念。

在学习了函数以后，就函数与方程之间的关系大家有了一定的认识。

提问：请同学们描述：函数与方程之间的关系。

这样就建立起了函数与方程的关系。由于关系中“桥梁”的重要性，我们给他一个名称叫做函数的零点。

定义：一般地：对于函数，如果存在实数，当时，有，那么就把叫做函数的零点。

提问：函数的零点是一个实数还是坐标平面上的一个点？

提问：请从方程的观点来描述函数的零点。

有了函数与方程之间的相互转化，函数与方程就可以相互利用，从而使我们解决问题的手段更丰富。

三、在区间存在函数零点的一个条件。

有了函数零点的概念后，研究方程解的问题可以转化成研究函数的零点的问题，可以去利用很多函数的性质，从而使我们的工具多样化。那么我们又如何利用函数的性质来寻找函数的零点呢？

实验一、探索在区间存在函数零点的一个条件。

请大家利用TI计算器的作图功能作下列函数的图像。

（1）（2）

（3）（4）

仔细观察这些图像，思考下列问题：

·每一个函数的零点两侧的函数值有什么特点？零点两侧的函数值符号异号。

·那么若，则在上是否一定存在函数的零点？反例：

·那么当时，在上存在零点，则函数图像在上具备是么特点呢？

·请大家归纳一个函数在上有零点的条件。

定理：一般地，如果函数在定义区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么内至少存在一个实数,使，也就是在内，函数至少有一个零点。

思考：

·是否只有在这样的条件下才存在零点？反例：

·条件是否充要？否。反例：

·为什么要用“至少”？以实验中的（2）来说明。

这也说明若我们要确定一个零点的大致位置区间不宜取得太大。

有这个定理我们可以确定出函数零点的大致位置，但是距离求出函数零点的近似值还有一段距离，接下来我们就来探索如何利用这个定理来解决防城近似解的问题。

四、用二分法求方程的近似解。

问题：求方程的近似解，精确到。

既然用到上述定理，就把问题转化成函数零点的问题。设，

根据我们学过的知识思考：函数有几个零点？为什么？

事实上，不断继续下去，去间端点将不断接近，趋向于重合，这是可以得到近似解。讲的通俗一点，就像警察抓罪犯，先确定罪犯大致位置，然后不断缩小包围圈，步步逼近罪犯，最后抓住罪犯。这就是数学中的重要思想——逼近思想。

·完成第三列，看一下若要求得题目要求的近似解，算到哪里比较合理？为什么？

从上述试验来看，不断地把函数的零点所在的区间缩小一半，直到区间的两个端点四舍五入到精度时相等为止。这样的方法就叫做二分法。

注意事项：

·在使用两分法的过程中对根所在的区间作如何处理？

·在每一次分区间的时候，到底去两部分中的那一部分？如何判断？

·根据精度的需要，二分法在继续到什么程度上结束？

·二分法是否可以无限继续下去？

实验二：请同学们设计一个方案，在自己的上求方程的近似解。

五、小结

本节课我们主要是通过函数的零点将方程问题与函数问题联系了起来，并且探索了在内存在函数零点的一个条件，运用这个条件，结合现代的手段，利用数学中的逼近思想，求解了方程的近似解问题。而在求解过程中用到了两分法的算法。希望大家课后好好反思和体会在方法中的数学思想。























1