§5.4两角和与差的余弦、正弦和正切(1)
教学目的：1、理解两角差的余弦公式推导过程。
2、经历两角和与差的余弦、正弦和余切公式推导。
教学重点：两角差的余弦公式推导过程。
教学难点：两角和与差的余弦、正弦和余切公式的正用、逆用和变形使用。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排4课时
教具使用：常规教育
教学过程：两角和与差的余弦含意：cos((±()用(、(的三角函数来表示
1．推导：(过程见书上P51-52)
cos((+()=cos(cos((sin(sin(
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意(、(都适用
③公式代号C(+(
cos(((()的公式，以((代(得：
cos(((()=cos(cos(+sin(sin(
代号C(((
四、例一计算①cos105(②cos15(③coscos(sinsin
解：①cos105(=cos(60(+45()=cos60(cos45((sin60(sin45(
=
②cos15(=cos(60((45()=cos60(cos45(+sin60(sin45(
=
③coscos(sinsin=cos(+)=cos=0
例二已知sin(=，cos(=求cos(((()的值。
解：∵sin(=>0，cos(=>0∴(可能在一、二象限，(在一、四象限
若(、(均在第一象限，则cos(=，sin(=cos(((()=
若(在第一象限，(在四象限，则cos(=，sin(=(cos(((()=
若(在第二象限，(在一象限，则cos(=(，sin(=cos(((()=
若(在第二象限，(在四象限，则cos(=(，sin(=(cos(((()=
诱导公式:
sin(90((()=cos(,cos(90((()=sin(.
tan(90((()=cot(,cot(90((()=tan(.
sec(90((()=csc(,csc(90((()=sec(
sin(90(+()=cos(,cos(90(+()=-sin(.
tan(90(+()=-cot(,cot(90(+()=-tan(.
sec(90(+()=-csc(,csc(90(+()=sec(
五、小结：两角和与差的余弦
六、练习：P54
补充：1．已知cos(((()=求(sin(+sin()2+(cos(+cos()2的值。
2．sin((sin(=(，cos((cos(=，(((0,),(((0,),求cos(((()的值
§5.4两角和与差的余弦、正弦和正切(2)
（复习）
二、
如图，可证：则
sin(90(+()=M’P’=OM=cos(cos(90(+()=OM’=PM=(MP=(sin(
从而：
或证：sin(90(+()=sin[180(((90((()]=sin(90((()=cos(
cos(90(+()=cos[180(((90((()]=(sin(90((()=(cos(
sin(270((()=sin[180(+(90((()]=(sin(90((()=(cos(
三、小结：90(±(,270(±(的三角函数值等于(的余函数的值，前面再加上一个把(看成锐角时原函数值的符号
例一、
证：
左边=右边∴等式成立
例二、
解：
例三、
解：从而：
例四、
解：
练习：1.
2.
六、两角和与差的正弦
推导sin((+()=cos[(((+()]=cos[((()((]
=cos((()cos(+sin((()sin(=sin(cos(+cos(sin(
即：sin((+()=sin(cos(+cos(sin(（S(+(）
以((代(得：sin(((()=sin(cos((cos(sin(（S(((）
公式的分析，结构解剖；
例一用计算机，求下列各式的值：
1(sin75(2(sin13(cos17(+cos13(sin17(
解：1(原式=sin(30(+45()=sin30(cos45(+cos30(sin45(
=
2(原式=sin(13(+17()=sin30(=
例二求证：cos(+sin(=2sin(+()
证一：左边=2(cos(+sin()=2(sincos(+cossin()
=2sin(+()=右边（构造辅助角）
证二：右边=2(sincos(+cossin()=2(cos(+sin()
=cos(+sin(=左边
例三已知sin((+()=,sin(((()=求的值
解：∵sin((+()=∴sin(cos(+cos(sin(=①
sin(((()=∴sin(cos((cos(sin(=②
①+②：sin(cos(=
①(②：cos(sin(=
七、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”
§5.4两角和与差的余弦、正弦和正切(3)
一、复习：两角和与差的正、余弦公式C(+(,C(((,S(+(,S(((
练习：1．求证：cosx+sinx=cos(x)
证：左边=(cosx+sinx)=(cosxcos+sinxsin)
=cos(x)=右边
又证：右边=(cosxcos+sinxsin)=(cosx+sinx)
=cosx+sinx=左边
2．已知，求cos(((()
解：①2:sin2(+2sin(sin(+sin2(=③
②2:cos2(+2cos(cos(+cos2(=④
③+④:2+2(cos(cos(+sin(sin()=1即：cos(((()=
二、两角和与差的正切公式T(+(,T(((
1．tan((+()公式的推导（让学生回答）∵cos((+()(0
tan((+()=当cos(cos((0时
分子分母同时除以cos(cos(得：
以((代(得：
2．注意：1(必须在定义域范围内使用上述公式。即：tan(，tan(，tan((±()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。2(注意公式的结构，尤其是符号。
3．引导学生自行推导出cot((±()的公式—用cot(，cot(表示
cot((+()=当sin(sin((0时
cot((+()=
同理，得：cot(((()=
三、求tan15(，tan75(及cot15(的值：
解：1(tan15(=tan(45((30()=
2(tan75(=tan(45(+30()=
3(cot15(=cot(45((30()=
例二已知tan(=，tan(=(2求cot(((()，并求(+(的值，其中0(<(<90(,90(<(<180(。
解：cot(((()=
∵tan((+()=
且∵0(<(<90(,90(<(<180(∴90(<(+(<270(
∴(+(=135(
例三求下列各式的值：1(
2(tan17(+tan28(+tan17(tan28(
解：1(原式=
2(∵
∴tan17(+tan28(=tan(17(+28()(1(tan17(tan28()=1(tan17(tan28(
∴原式=1(tan17(tan28(+tan17(tan28(=1
四、小结：两角和与差的正切及余切公式
五、作业
§5.4两角和与差的余弦、正弦和正切(4)
一、复习：两角和与差的正、余弦、正切公式
二、关于辅助角问题
例一化简
解：原式=
或解：原式=
例二已知，求函数的值域
解：
∵∴
∴∴函数y的值域是
三、关于角变换
例三已知，求的值
解：∵即：
∵∴从而
而：
∴
例四：已知求证tan(=3tan((+()
证：由题设：
即：
∴∴tan(=3tan((+()
例五：已知，，，求sin2(的值
解：∵
∴∴
∴又：∴
∴sin2(=
=
例六:等腰直角三角形ABC中,,点D、E分别是三等分点，求的值。
C
D
E
AB
四、小结：
五、作业：P61
6
sin(90((()=cos(,cos(90((()=sin(.
tan(90((()=cot(,cot(90((()=tan(.
sec(90((()=csc(,csc(90((()=sec(
x
y
o
P’
P(x,y)
M
M
M’
sin(90(+()=cos(,cos(90(+()=(sin(.
tan(90(+()=(cot(,cot(90(+()=(tan(.
sec(90(+()=(csc(,csc(90(+()=sec(
sin(270((()=(cos(,cos(270((()=(sin(.tan(270((()=cot(,cot(270((()=tan(.
sec(270((()=(csc(,csc(270((()=sec(
sin(270(+()=(cos(,cos(270(+()=sin(.
tan(270(+()=(cot(,cot(270(+()=(tan(.
sec(270(+()=csc(,csc(270(+()=(sec(
=
sin(+sin(=①
cos(+cos(=②
tan((+()=
tan(((()=
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