虹口区2016年高考模拟数学试卷（理合卷）
2016.4
考生注意：
1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设集合，，则
2．已知虚数是方程的一个根，则
3.在报名的名男和名女中，选取5人参加，要求男、女都有，则不同的选取式的种数为（结果用数值表示）.
在复平面上对应的点在曲线上运动，则的最小值等于__________.
5.已知函数的对应关系如下表：
1 2 3 1 5 若函数不存在反函数，则实数的取值集合为
6.在正项等比数列中，则
7.已知在单调递增，则实数的最大值为
8.若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数的取值集合为____________.
9.若二项式展开式中的第5项为常数项，则
展开式中各项的二项式系数之和为__________.
10.已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为第题图
11.如图,的两个
顶点，过椭圆的右焦点作轴的垂线，与其交于点
C.若(为坐标原点)，则直线AB的斜
率为___________.
12.若经过抛物线焦点的直线与圆
相切，则直线的方程为___________.
13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为_________.
14.（理）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________.
二选择题.
15．是“直线和直线平行”的()
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
16．（理）已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则椭圆的长轴长等于()
（A）（B）2（C）（D）4
17.在中，分别是内角所对的边，
若（其中且
则的形状是()（第题图的等腰三角形（B）等边三角形
（C）直角三角形（D）等腰直角三角形
18．均在函数的图像上，点列满足若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（）
（A）（B）
（C）（D）
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分)本题共2个小题，每小题6分.
在锐角中，
(1)求角的值；
(2)若求的面积.
20．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.
（理）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，.
(1)求到平面的；
(2)点线段的点，直线与所成角的.
21．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.
已知函数满足，其中为实常数.
（1）求的值，并判定函数的奇偶性；
（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
22.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
已知是双曲线的，点都在上，直线轴交于点，原点为．
)求的方程，并求点的坐标（用表示）；
设点关于轴对称，直线轴交于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
点与双曲线交于点，求的方程．
.(本题满分18分)
（理）本题共3个小题，每小题6分.
设数列的前n项和为且
（1）求的值，并求出及数列的通项公式；
（2）设求数列的前n项和
（3）设在数列中取出项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列.若对任意的数列，均有试求的最小值.
虹口区2016年高考模拟数学试卷参考答案与评分标准
2016年4月
一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）
1．2．33．1254．2
5．6.7.8．
9.6410．11．12.
13．（理）；14．（理）；
二选择题（本大题满分分
15.A16.C17.D18.B
三、解答题（本大题共5题，满分74分）
19．(本题满分12分)本题共2个小题，每小题6分.
故由为锐角三角形，得……6分
（2）由（1）知由已知，有
故……9分
从而……12分
20．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.
（理）解：(1)以为正交基底建立空间
直坐标系，则点的坐标为，
设平面的法向量为则
令，.……5分
所以到平面的……7分
(2)由条件，得且
设平面的法向量为则
令，.……10分
设直线与所成角则
故直线与所成角……14分
注：第（1）小题也可用等积法来做.
21．(本题满分14分)本题共2个小题，每小题7分.
解：（1）由解得……3分
于是，其定义域为……4分
对于任意的
故为奇函数.……7分
（2）由，得恒成立.
由在及上均递减，且在上也递减，故函数在区间均单调递增.……10分
由及在区间均单调递增，知单调递增，……12分
故
因此，实数的取值范围为……14分
22.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
解：（1）由已知，得故双曲线的方程……3分
为直线AM的一个方向向量，
直线AM的方程为它与轴交点……5分
（2）由条件，得且为直线AN的一个方向向量，
故直线AN的方程为它与轴交点……7分
假设在轴上存在点，使得
由及得
故即存在定点，其坐标为或满足题设条件.……10分
(3)由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而……12分
由已知，可设直线的方程为并设
则由得
由及得（）
由……14分
得
故符合约束条件（）.
因此，所求直线的方程为……16分
23.（理）(本题满分18分)本题共3个小题，每小题6分.
解：（1）当时，
当时，
当时，……2分
由此，猜测：
下面用数学归纳法证明：
（i）当时，结论显然成立；
（ii）假设当时，；则当时，由条件，得
即当时，结论也成立.
于是，由（i），（ii）可知，对任意的……4分
当又
于是数列的通项公式为:……6分
(2)因……8分
当n为奇数时，
当n为偶数时，
故……12分
（3）因由于数列的项子列构成等比数列，设其公比为则
设
（i）当时，因故
……15分
（ii）当时，因是数列中的项，故
综合（i），（ii），得：在数列中的所有项等比子数列中，其和最大的是：故由题意知：的最小值为……18分
另解（3）：因由于数列的项子列构成等比数列，设其公比为则
（i）当时，因故
……15分
（ii）当时，因故
综合（i），（ii），得：在数列中的所有项等比子数列中，其和最大的是：故由题意知：的最小值为……18分
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