2016年静安区高考数学(文科)二模卷
(试卷满分150分考试时间120分钟)
考生注意:
本试卷共有23道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分
1.已知全集,集合,则集合的补集.
2.指数方程的解是.
3.已知无穷等比数列的首项,公比,则无穷等比数列各项的和是.
4函数的递增区间为.
5算法流程图如图所示,则输出的值是
6.抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的横坐标是
7.设函数,则不等式的解集为.
8.关于(的函数的最大值记为,则的解析式为.
9.如图所示,是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图,若,则该几何体的体积等于
10.圆心在直线2x(y(7=0上的圆C与y轴交于A(0,(4)、B(0,(2)两点,
则圆C的方程为.
11.已知△ABC外接圆的半径为,圆心为,且,,则.
12.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是.
13.掷两颗均匀的骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)(i)为实数的概率为.
14.设关于的实系数不等式对任意恒成立,则.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.
15.的展开式中的系数为()
A.1B.4C.6D.12
16.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积,∠A的弧度数为()
A.B.C.D.
17.若函数为奇函数,且g(x)=f(x)+2,已知f(1)=1,则g(-1)的值为()
A.1B.-1C.2D.-2
18.已知实数满足则的最大值为()
A.17B.15C.9D.5
三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF(底面正六边形ABCDEF的中心为球心).
求:正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知分别是椭圆(其中)的左、右焦点,椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点,求线段的长度
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,、是海岸线、上的两个码头,海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、测得,以点为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行().
(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟?
(2)海中有一处景点(设点在平面内,,且)游轮无法靠近求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满
分6分.
已知函数,若在区间内有且只有一个实数(),使得成立,则称函数在区间内具有唯一零点.
(1)判断函数在定义域内是否具有唯一零点,并说明理由;
(2)已知向量,,,证明在区间内具有唯一零点;
(3)若函数在区间内具有唯一零点,求实数m的取值范围.
23.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题
满分8分.
已知各项为正的数列是等比数列,且,;数列满足:对于任意,有=.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;
(3)在数列的任意相邻两项与之间插入个()后,得到一个新的数列.求数列的前2016项之和.
2016年静安区高考数学(文科)二模卷
一、填空题
1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,并集,补集.
【参考答案】
【试题分析】,所以,故答案为.
2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.
【参考答案】
【试题分析】令,则有,所以或(舍去),
即,故答案为.
3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.
【参考答案】12
【试题分析】因为数列的公比,故数列存在极限,
则有,故答案为12.
4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.
【参考答案】
【试题分析】因为的递增区间为,所以
又因为,所以,故答案为.
5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.
【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.
【参考答案】5
【试题分析】执行第一次,,不满足判断条件,继续循环;,不满足判断条件,继续循环;,不满足判断条件,继续循环;,不满足判断条件,继续循环;,满足判断条件,输出k,故答案为5.
6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.
【参考答案】
【试题分析】因为,则抛物线的准线方程为,因为抛物线上的点到准线的距离与该点到焦点的距离相等,所以设该点的横坐标为,则有,故答案为.
7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.
【参考答案】
【试题分析】即,所以,故答案为.
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.
【参考答案】
【试题分析】,
因为,所以当时,;
当,,所以,
故答案为.
9.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.
【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图;图形与几何/简单几何体的研究/柱体,球.
【参考答案】
【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为,圆柱的高,则几何体的体积,故答案为.
10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.
【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程.
【参考答案】
【试题分析】设圆的标准方程为,因为点满足圆的方程,则有①,②,由①-②得,,又因为圆心在直线上,故,则,把代入得,所以圆的标准方程为,故答案为.
11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.
【参考答案】12
【试题分析】如图,取BC中点D,联结AD,则,又因为,所以O为BC的中点,因为,所以是等边三角形,,因为ABC外接圆的半径为2,所以,所以,故答案为12.
第11题图apto6
12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域.
【参考答案】
【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图(),直线恒过的顶点A,要使得其平分的面积,则其过线段AB的中点D,由得,,所以,代入得,故答案为.
第12题图apto7
13.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率;
数与运算/复数初步/复数的四则运算.
【参考答案】
【试题分析】复数为实数,则,掷两颗骰子,其向上的点数的组合有36种,其中相等的组合有6种,故事件“复数为实数”的概率为.
14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;
函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.
【参考答案】9
【试题分析】令,在同一坐标系下作出两函数的图像:
①如图(1),当的在轴上方时,,,但对却不恒成立;
第1题图(1)apto8
②如图(2),,令得,令得,要使得不等式在上恒成立,只需.
第1题图(2)apto9
综上,,故答案为9.
二、选择题
15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基本知识.
【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.
【正确选项】C
【试题分析】展开式的第项为,所以含的为第3项,其系数为,故答案为C.
16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.
【正确选项】【试题分析】因为的面积,所以,.
17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;
【正确选项】【试题分析】因为,所以,又因为为奇函数,所以,所以,,故答案为B.
18.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.
【正确选项】A
【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分),其中直线将其分为的两部分,联立得,联立得,在上,直线在点有最大值,此时,在上,直线在点有最大值,此时,所以的最大值为17,故答案为A.
第18题图apto10
三、解答题
19.(本题满分12分)
空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.【参考答案】设底面中心为O,AF中点为M,连结PO、OM、PM、AO,
则PO⊥OM,…………2分
HEM62
第19题图
OM⊥AF,PM⊥AF,
∵OA=OP=2,∴OM=,
∴.
∴.…………6分
.…………8分
∴.…………12分
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
【测量目标】(1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
(2)运算能力/能够根据条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径.
【知识内容】(1)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.
(2)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.
【参考答案】(1)抛物线的焦点为………1分
所以椭圆的左焦点为,,………2分
又,得,解得(舍去),………4分
故椭圆C的方程为.………6分
(2)直线的方程为.…………………7分
联立方程组消去并整理得.……………10分
设,故.…………………11分
则…………14分
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
【测量目标】(1)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义.
(2)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义.
【知识内容】(1)图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹角.
(2)图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂直关系.
【参考答案】(1)由已知得:,直线的方程为,………1分
设,由及图得,………3分
直线的方程为,即,………5分
由得即,………6分
,即水上旅游线的长为.
游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间.………8分
(2)解法一:点到直线的垂直距离最近,则垂足为.………10分
由(1)知直线的方程为,,则直线的方程为,………12分
所以解直线和直线的方程组,得点的坐标为(1,5).……14分
解法2:设游轮在线段上的点处,
则,,………10分
,
,
,,………12分
时,
当时,离景点最近,代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).
………14分
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
【测量目标】(1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.
(2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.
(3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.
【知识内容】(1)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质与图像.
(2)函数与分析/三角函数/函数的图像和性质;图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.
(3)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幂函数、二次函数的性质.
【参考答案】(1)函数在定义域内不具有唯一零点,………2分
因为当时,都有;………4分
(2)因为,所以,…………7分
的解集为;因为,所以在区间内有且只有一个实数,使得成立,因此在开区间内具有唯一零点.…………10分
(3)函数在开区间内具有唯一零点,该二次函数的对称轴为.以下分(m与区间的位置关系进行讨论.
①当即时,在开区间是增函数,只需解得…………12分
②当即时,若使函数在开区间内具有唯一零点,,所以分三种情形讨论:当时,符合题意;当时,空集;当时,只需解得.…………14分
③当即时,在区间是减函数,只需解得.
综上讨论,实数m的取值范围是或或.…………16分
2.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
【测量目标】(1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
(2)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.
(3)数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究,寻求数学对象的规律和联系;能正确地表述探究过程和结果,并予以证明.
【知识内容】(1)方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.
(2)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.
(3)方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.
【参考答案】(1)由得,………2分
………4分
(2),得.………5分
当时,.………8分
于是.………10分
(3)设数列的第项是数列的第项,即.
当时,.………12分
,,,………14分
设表示数列的前n项之和.
则.
其中,.又,
则
=
=
=
因此,.………18分
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