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浦东新区201学年第学期质量一、填空题,若集合，则.
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则.
3．双曲线的焦距为.
4．已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数.
5．方程的解为.
6．已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为.
7．在中，边所对角分别为，若，则的形状为.
8．（理）在极坐标系中，点到直线的距离为________．
（文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．
9．（理）离散型随机变量的概率分布列如图，若，
则的值为________．
（文）设满足约束条件，则目标函数的最大值为_____．
10．已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则=________．
11．设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，，则的夹角为锐角的概率是________．
的通项公式为，，则这个数列的前项和___________．
（文）已知数列的通项公式为，，则这个数列的前项和___________．
13．（理）任意实数，定义，设函数.数列是公比大于的等比数列，且，，则_______．
（文）已知函数，数列是公比大于的等比数列，且，，则_______．
14．（理）关于的方程在上解的个数是．
（文）关于的方程在上解的个数是．
二、选择题本大题共有4题，满分20分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
”是“不等式成立”的（）
（A）充分非必要条件.（B）必要非充分条件.
（C）充要条件.（D）既非充分亦非必要条件.
16.给出下列命题，其中正确的命题为()
（A）若直线和共面，直线和共面，则和共面；
（B）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；
（C）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；
（D）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直.
17．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）
（B） （C） （D）
18.已知平面直角坐标系中两个定点，如果对于常数，在函数的图像上有且只有个不同的点，使得成立，那么的取值范围是()
（A）（B）（C）（D）
三解答题（本大题共有题满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）
20.（本题满分14分，第（1）题8分，第（2）题6分）
如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.
（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）
（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角是多少？（用反三角函数表示）
21．（理）（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
数列满足：，且成等差数列，其中。
（1）求实数的值及数列的通项公式；
（2）若不等式成立的自然数恰有个正整数的值．
数列满足：，且成等差数列，其中。
（1）求实数的值及数列的通项公式；
（2）若不等式成立的自然数恰有个正整数的值．
上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点。
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。当变化时，求面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由。
22．（文）（满分16分，第1小题4分，第2小题中的第①小题6分，第②小题6分）
教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。我们将其结论推广：椭圆（）上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用。已知，直线与椭圆：（）有且只有一个公共点。
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点。
①设，直线、的斜率分别为、，求证：为定值。
②设，求面积的最大值。
23.（理）（满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。
（1）证明函数在上是“绝对差有界函数”。
（2）证明函数不是上的“绝对差有界函数”。
（3）记集合
证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”，并判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。
23.（文）（满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分）
已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”。注：。
证明函数在上是“绝对差有界函数”。
记集合
证明集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。当时，判断是否在集合中，如果在，请证明并求的最小值；如果不在，请说明理由。
证明函数不是上的“绝对差有界函数”。
浦东新区201学年第学期质量2．3．4．5．6．
7．等腰或直角三角形8．（理）（文）189．（理）（文）
10．或．
12.（理）（文）
13．（理）．（文）．14．（理）．（文）．
15.A16.D17．B18.C
19．（1）证明：在圆锥中，………………（2分）
∵点为的中点，…………………（4分）
由平面…………（6分）
（2）解：联结，平面
为与平面所成的角……………（8分）
设，则，
在中，（11分）
………………………………（12分）
20.解：（1）设分别是A、B、C所对的边，
均为正数。由题意可知：
，，……（3分）
由余弦定理可得：
由
得，（另一解与题意不符，舍不舍扣1分）……（4分）
即B、C两处垃圾的距离是1.4米。…………………（1分）
（2）由题意得：……………（1分）
正弦定理可得：
即，…………………（3分）
由题意，为锐角，得…………………（1分）
即，智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角………（1分）
（、均给分，应用余弦定理或建立坐标系等解法参照给分）
21．（理）
解答：（1）由题意：
∵成等差数列，，……………………（2分）
解得：………………………………………………………………………（3分）
∵，
,……………………（5分）
解得：………………………………………………………………………（6分）
（2）解：∵，
∵，显然成立……………………………………………………（8分）
当时，， …………………………………………………（9分）
设
………………（11分）
当时，；当时，；
，有
若还需有2解，则，即，………（12分）
解得， 所以正整数
21．（文）
解答：（1）由题意：
∵成等差数列，，……………………（2分）
解得：………………………………………………………………………（3分）
∵，
,……………………（5分）
解得：………………………………………………………………………（6分）
（2）解：∵，
∵，显然成立……………………………………………………（8分）
当时，， ……………………………………………………（9分）
设
………………（11分）
当时，；当时，；
，有
若还需有1解，则，即，………（12分）
解得， 所以正整数
22．（理）
解：（1）联立整理得
依题意即…………………………（4分）
（2）设、于是直线、的方程分别为、
将代入、的方程得且
所以直线的方程为……………………（6分）
联立
显然，由是该方程的两个实根，
有，………………（8分）
面积的绝对值，即
即
当时，取得最大值………………（10分）
（3）点在直线上………………（11分）
因为
设、、，且（）
于是
即、、、
又，…………（13分）
，…………（15分）
，即在直线上。…………（16分）
22．（文）
解：（1）联立整理得
依题意即…………………………（4分）
（2）①设、于是直线、的方程分别为、
将代入、的方程得且
所以直线的方程为……………………（7分）
，，所以为定值………………（10分）
②依题意联立
显然，由是该方程的两个实根，
有，………………（12分）
面积的绝对值，即……（14分）
即
当时，取得最大值………………（16分）
23.（理）
解：（1）因为在区间上为单调递增函数，…………（2分）
所以当时，有，
所以。
从而对区间的任意划分：，存在，成立。
综上，函数在上是“绝对差有界函数”。…………（4分）
（2）取区间的一个划分：，……………………（6分）
则有：
所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：
满足。……………………（10分）
（3）证明：任取，存在常数有成立。从而对区间的任意划分：，和式成立。取，所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。…………（14分）
因为，所以对任意的有
，
所以的最小值为。………………………………………………………………（18分）
23.（文）
解：（1）因为在区间上为单调递增函数，…………（2分）
所以当时，有，
所以。
从而对区间的任意划分：，存在，成立。
综上，函数在上是“绝对差有界函数”。…………（4分）
（2）证明：任取，存在常数有成立。从而对区间的任意划分：，和式成立。取，所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”。……（8分）
对于任意的，。
所以的最小值为。……………………………………………………………………（12分）
（3）取区间的一个划分：，……………………（14分）
则有：
所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：
满足。
所以函数不是的“绝对差有界函数”。……………（18分）
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