2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学理科试卷2016.4
填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．抛物线的焦点坐标是_____________.
2．若集合，则=_______________．
3．若复数满足其中为虚数单位，则________________．
4．=________________弧度．
5．试写出展开式中系数最大的项________________．
6．若函数的最小值为，最大值为，则＝_________．
7．在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为________________．
8．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望_______________．（结果用最简分数表示）
9．已知平面上三点A、B、C满足||=,||=，||=，则
的值等于_______________．
10．从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于另一个数小于（其中的概率是则__________________．
11．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：
“在中，角所对的边分别为已知______________，求角．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示试将条件补充完整．
12．在等差数列中，首项公差若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．
13．定义在上的奇函数当时，
则关于的函数的所有零点之和为________________（结果用表示）．
14．对于给定的正整数和正数，若等差数列满足，则
的最大值为__________________．
选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的----------（）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
16．函数y=的反函数是------------------------------------------------------------------（）
（A）（B）（C）（D）
17．如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为且若将圆锥倒置，水面高为则等于-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（）
（A）（B）（C）（D）
18．设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是----------------------------------------()
（A）相离（B）相切（C）相交（D）随的变化而变化
解答题：（本大题共题，满分分）．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.
20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
（1）求的值；
（2）求三棱锥的体积．
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
已知函数
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）在（1）的条件下，若存在使，求的取值范围．
22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）
已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；
（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆
上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数使对任意正整数都成立．
现在给出只有5项的有限数列其中；
试判断数列是否为集合的元素；
（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；
（3）设数列且对满足条件②中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列．
2015学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科（理科）参考答案及评分标准2016.4
填空题：(本题满分56分，每小题4分)
１．2．3．4．5．6．
7．8．9．10．4或711．
12．20013．14．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．C16．Ｂ17．Ｄ18．Ｃ
解答题：（本大题共题，满分分），--------------3分
由得：
的单调递增区间是；--6分
（2）由已知，，-------------9分
由，得，
，.-----------------------12分
20．（本题满分14分；第（1）小题6分，
第（2）小题8分）
【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，
，所以。-3分
设向量所成角为，则，或，
由于，所以，得，解得--------------6分
（2）连接，
则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
的面积，的面积，………（11分）
又平面，
所以，所以………（14分）
21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）
【解答】（1）即
即-----------------------------------------3分
----------------------------------------------------------------------6分
（2）时，
若存在使即---------------------8分
则-----------------------------------------------------------------10分
当时等号成立即----------------------------------------14分
22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）
【解答】（1）由题意得，所以
又点在椭圆上，所以解得
所以椭圆的标准方程为----------------------------------------------3分
（2）由（1）知，设点
则直线的方程为①直线的方程为②
把点的坐标代入①②得所以直线的方程为
令得令得所以又点在椭圆上，
所以即为定值．-------------------------------9分
（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，
设点则圆的方程为----------------------11分
由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是
设点是椭圆上任意一点，则
当时，最小，所以①
假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则②
又点在椭圆上，所以③------------------------------------14分
由①②③得或
当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意。
综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是---------16分
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
【解答】（1）对于数列不满足集合的条件①，数列不是集合中的元素.
对于数列，
而且，当时有显然满足集合的条件①②，故数列是集合中的元素.-------------------4分
（2）因为点在直线上，所以
①当时，有②
②，得所以，当时，有
又所以
因此，对任意正整数都有所以，数列是公比为的等比数列，
故
对任意正整数都有且故实数的取值范围是实数的取值范围是-------------------10分
（3）假设数列不是单递增数列，则一定存在正整数使------12分
此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数当时都有成立.
①时，显然有成立；
假设时，
则当时，由可得从而有
所以
由①②知，对任意的都有-----------------------------------------16分
显然这个值中一定有一个最大的，不妨记为于是
从而与已知条件相矛盾.
所以假设不成立，故命题得证．---------------------------------------------------------18分
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