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一、填空题：（分）本大题共有题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分.
的图象经过点，则函数的奇偶性为____________．
【答案】偶函数
考点：幂函数的定义、函数的奇偶性.
2.设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵复数，∴，，∴，
∴向量对应的复数所对应的点的坐标为.
考点：向量的减法.
3.已知定义域为的函数的图象关于点对称，是的反函数，若，则___________．
【答案】-2
【解析】
试题分析：∵函数的图象关于点对称，是的反函数，∴关于点对称，∵，∴，∴.
考点：反函数、函数的对称性.
4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，其中．已知投篮一次得分的期望是2，则的最大值是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得：
X 0 2 3 P c b a ∵投篮一次得分的期望是2，∴，∴，当且仅当时取“=”.
考点：期望、均值定理.
5.设数列的前项和为，则___________．
【答案】
考点：极限、等比数列的前n项和.
6.设函数若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵存在互不相等的实数满足，∴，，
∴.
考点：函数图象.
7.若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵展开式中只有第四项的系数最大，∴展开式共7项，∴，∴，
当展开式中的项为有理项，则，∴.
考点：二项式定理、概率.
8.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为坐标原点，则的值是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：将点P置于第一象限，设是双曲线的右焦点，连接，∵M、O分别为FP、的中点，
∴，又由双曲线定义得，，，
故.
考点：双曲线的简单性质.
9.已知集合，，，现给出下列函数：①；②；③；④．若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是___________．
【答案】①②④
【解析】
试题分析：∵，当时，，
∴，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线的上方.①中，，满足，故①正确；②中，，满足，故②正确；③中的函数不满足条件，如时，，不满足；④中，满足，故④正确；故答案为①②④.
考点：绝对值不等式的解法、对数函数的值域与最值、余弦函数的定义域和值域.
10.把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则
11
23424
56789579
1011121314151610121416
1718192021222324251719212325
2627282930313233343536262830323436
【答案】1030
【解析】
试题分析：由题意，图a中第n行有个数，前n行有个数，由于，故2015是第45行的倒数第11个数，由图b知各行数字个数等于行数，故前45行共有，
由于最后一个数是奇数，按图b规则知，2015是第45行倒数第6个数，故.
考点：归纳推理.
二、选择题（1分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得分，否则一律得零分.
是异面直线，则经过a且与b平行的平面有且仅有一个，根据异面直线的定义以及线面平行的判定定理可以判断②正确；③直四棱柱，它的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，故③错误；④，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定底面是正多边形，所以不一定是正棱锥，所以④错，综上得：四个命题中只有②正确.
考点：命题的真假.
12.在极坐标系中，关于曲线的下列判断中正确的是……………【】
A.曲线关于直线对称B.曲线关于直线对称
C.曲线关于点对称D.曲线关于极点对称
【答案】A
【解析】
试题分析：曲线转化为直角坐标方程为：，所以圆心坐标为，转化为极坐标为，过极点的对称轴为：，即，所以A正确.
考点：简单曲线的极坐标方程.
13.已知是正三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是…………………………………………………………………………………【】
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵，∴，如图，D、E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，故，由于正三角形ABC，故
，又D、E是中点，所以O到AB的距离是正三角形ABC高的一半，所以，∴的面积与的面积之比为.
考点：向量在几何中的应用、三角形中的几何计算、三角形五心.
三、解答题（本题满分7分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分）是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上不与点重合的任意一点，，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查了直线与平面之间所成角、棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，欲求直线AC与平面ABD所成的角，先证出平面ABD，从而得出为直线AC与平面ABD所成的角，最后在中，求解即可；第二问，由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，只须分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得.
试题解析：（1）∵点D以BC为直径的圆上，∴，∵平面BDC，平面BDC，
∴，∴平面ABD，∴为直线AC与平面ABD所成的角，在中，
，∴，即直线AC与平面ABD所成的角为.
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，，故所求体积为.
考点：直线与平面所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积、平面与圆柱面的截线.
15.（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分）道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且．
（1）求、两点间的直线距离；
（2）求折线段赛道长度的最大值．
【答案】（1）5；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数图象及其性质、两点间距离公式、正弦定理、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、计算能力.第一问，利用最高点得到，再利用点S的横坐标，得到，得到，最后得到点，，利用两点间距离公式计算MP；第二问，在中，利用正弦定理，将NP和MN用角表示，再将表达式化简，利用两角和的正弦公式化简，利用的取值范围求最值.
试题解析：
解法一：（1）依题意，有……………………………………………1分
又，而，……………………………1分
当时，，，又
………………………………………3分
（2）在中，，.
设，则.……………………………………1分
由正弦定理得，
，，……………………………3分
故……3分
，当时，折线段赛道最长.……………………2分
解法二：（1）同解法一.
（2）在中，，
由余弦定理得，
即；…………………………3分
故，从而…4分
即，当且仅当时等号成立.………………2分
亦即，设计为时，折线段赛道最长.
注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①；②；③点在线段的垂直平分线上等.
考点：三角函数图象及其性质、两点间距离公式、正弦定理、三角函数的最值.
16.（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分），点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点D的坐标为.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、定义及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、向量的数量积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由垂直平分线得，计算出，利用椭圆的定义知点P的轨迹为椭圆，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理得、，假设存在定点D，则由题意可得恒成立，即得到，所以，从而得到点D的坐标.
试题解析：（1）的垂直平分线交于点，.………………1分
，
所以动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆.…………………………2分
设椭圆的标准方程为，则，，，故椭圆的标准方程为…………………………………………………………2分
（2）直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程得，即，易知点在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点.…1分
设，则，……………………2分
假设在y轴上存在定点满足题设，则.因为以AB为直径的圆恒过点D，则.……………………2分
即，因为，
所以()变为
.………3分
由假设得对于任意的，恒成立，即，解得.因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为………………………………………………3分
考点：椭圆的标准方程、定义及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、向量的数量积.
17.（本题满分分第（1）小题分，第（）小题分，第（3）小题分）的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．
（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；
①，；
②，．
（2）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，那么“”是否为“是的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；
（3）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．
【答案】（1）①不是，②是；（2）详见解析；；（3）.
【解析】
试题分析：本题主要考查函数的值域、配方法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，①的值域为R，而的值域为，值域不相同，所以不是等值域变换；②利用配方法求值域为，而利用配方法求值域与前面的值域相同；第二问，通过举反例证明不必要性；第三问，通过是的一个等值域变换，将题目转化为的值域为，转化为恒成立问题，解出m和n的值.
试题解析：（1）①不是……………………………………………………………………2分
②，即的值域为，
当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换.………………………………………………2分
（2）不必要性的反例：
此时，但的值域仍为，
即是的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分
（3）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，所以的值域为，……………………2分
，……………………………………1分
所以，恒有，………………………………………………3分
解得.……………………………………………………………………3分
考点：函数的值域、配方法、恒成立问题.
18.（本题满分分第（1）小题分，第（）小题分，第（3）小题分）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；
（3）设表示向量与间的夹角，若，对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）证明详见解析；（2）数列中存在最小项，最小项是；（3）.
【解析】
试题分析：本题主要考查等比数列的定义、分组求和、数列的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，根据向量的模的计算公式列出，再化简，得到，从而利用等比数列的定义，得数列是等比数列；第二问，先利用向量的夹角公式计算出，代入到中，再计算，利用分组求和法计算结果；第三问，先利用向量的夹角公式，先求出代入中，而，利用数列的单调性，求出的最小值，即转化为，解出a的取值范围.
试题解析：（1）
数列是等比数列………………………………………………3分
（2），………………2分
假设中的第项最小，由，，
当时，有，又由可得，
即，.
，或（舍），.…………2分
即有；
由，得，又，；………………2分
故数列中存在最小项，最小项是………………………………1分
(3)，
…………1分……………………………………1分
不等式化为：对任意正整数恒成立.
设.
又，
数列单调递增……………………………………………………2分
，要使不等式恒成立，只要，……1分
，，，
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是…………2分
考点：等比数列的定义、分组求和、数列的单调性.
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