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一、填空题：（分）本大题共有题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分.
的图像经过点，则函数的奇偶性为____________．
【答案】偶函数
考点：幂函数的定义、函数的奇偶性.
2.已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于____________．
【答案】5
【解析】
试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数的最小值为-1，得，即当时，函数，此时对应的平面区域在直线的下方，由，解得，即，同时A也在直线上，即.
考点：线性规划.
3.直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线，观察图象可知，a的取值必须满足，解得.
考点：二次函数的性质.
4.已知定义域为的函数的图像关于点对称，是的反函数，若，则___________．
【答案】-2
考点：反函数、函数的对称性.
5.设数列的前项和为，则___________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵，
∴.
考点：极限、等比数列的前n项和.
6.设复数，在复平面的对应的向量分别为，则向量对应的复数所对应的点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵复数，∴，，∴，
∴向量对应的复数所对应的点的坐标为.
考点：向量的减法.
7.若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：∵展开式中只有第四项的系数最大，∴展开式共7项，∴，∴，
当展开式中的项为有理项，则，∴.
考点：二项式定理、概率.
8.观察下表：1
234
34567
45678910
…………
设第行的各数之和为，则
【答案】4
【解析】
试题分析：，，，
由以上观察到是一个奇数的平方，并且此奇数=项数的2倍-1，可得：，
所以.
考点：归纳推理、极限.
9.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若是线段的中点，为原点，则的值是____________．
【答案】
【解析】
试题分析：将点P置于第一象限，设是双曲线的右焦点，连接，∵M、O分别为FP、的中点，
∴，又由双曲线定义得，，，
故.
考点：双曲线的简单性质.
10.已知集合，，，现给出下列函数：①；②；③；④．若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是____________．
【答案】①②④
【解析】
试题分析：∵，当时，，
∴，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线的上方.①中，，满足，故①正确；②中，，满足，故②正确；③中的函数不满足条件，如时，，不满足；④中，满足，故④正确；故答案为①②④.
考点：绝对值不等式的解法、对数函数的值域与最值、余弦函数的定义域和值域.
二、选择题（1分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得分，否则一律得零分.
是异面直线，则经过a且与b平行的平面有且仅有一个，根据异面直线的定义以及线面平行的判定定理可以判断②正确；③直四棱柱，它的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，故③错误；④，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定底面是正多边形，所以不一定是正棱锥，所以④错，综上得：四个命题中只有②正确.
考点：命题的真假.
12.已知函数，若，，则必有…………………【】
A、B、
C、D、的符号不能确定
【答案】A
【解析】
试题分析：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为，，即抛物线在y轴上的截距大于0，因为图象关于对称，所以，设的两根为，令，则，根据图象，，故，.
考点：函数的值.
13.如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是…………………………………………………………【】
A、（1）、（2）B、（1）、（3）C、（2）、（3）D、（1）、（4）
（1）棱长为2的正方体（2）底面直径和高均为2的圆柱
（3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2高为2的直平行六面体
【答案】C
【解析】
试题分析：∵正方体的三视图是相同的，故（1）不正确；圆柱的主视图和侧视图相同，故（2）正确；
圆锥的主视图和侧视图相同，故（3）正确；底面边长为2高为2的直平行六面体为正方体，所以正方体的三视图是相同的，故（4）不正确，综上可得：（2）（3）正确.
考点：三视图.
三、解答题（本题满分7分）本大题共有题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分）是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上不与点重合的任意一点，，，．
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查了直线与平面之间所成角、棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，欲求直线AC与平面ABD所成的角，先证出平面ABD，从而得出为直线AC与平面ABD所成的角，最后在中，求解即可；第二问，由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，只须分别求出这两个锥体的体积后求它们的差即得.
试题解析：（1）∵点D以BC为直径的圆上，∴，∵平面BDC，平面BDC，
∴，∴平面ABD，∴为直线AC与平面ABD所成的角，在中，
，∴，即直线AC与平面ABD所成的角为.
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，，故所求体积为.
考点：直线与平面所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积、平面与圆柱面的截线.
15.（本题满分分第（1）（2）小题第（）小题分）的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．
（1）当时，等式恒成立；
（2）若，则一定有；
（3）若，方程有两个不相等的实数解；
（4）函数在上有三个零点．
【答案】（1）正确；（2）正确；（3）不正确；（4）不正确.
【解析】
试题分析：本题主要考查分段函数、函数图象、函数的奇偶性、函数零点等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法去掉绝对值符号，使之成为分段函数，再利用的函数值与的关系证明；第二问，结合函数图象知，若时，，证明即可；第三问，结合函数图象，当时，方程有2个不相等实根，而当时，无实数根；第四问，构造函数，则可以计算出时，只有成立.
试题解析：由，参考图像：
（1）对于任意的，，故恒成立；
（2）由于为单调递增函数，故如果，则恒成立，因此，一定有；
（3）由图像可知当时，与无公共点，方程无实数根，故结论（3）不正确；
（4），若，则只有，故结论（4）不正确.
考点：分段函数、函数图象、函数的奇偶性、函数零点.
16.（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分）道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，赛道的后一部分为折线段，且．
（1）求、两点间的直线距离；
（2）求折线段赛道长度的最大值．
【答案】（1）5；（2）.
【解析】
试题分析：本题主要考查三角函数图象及其性质、两点间距离公式、正弦定理、三角函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、计算能力.第一问，利用最高点得到，再利用点S的横坐标，得到，得到，最后得到点，，利用两点间距离公式计算MP；第二问，在中，利用正弦定理，将NP和MN用角表示，再将表达式化简，利用两角和的正弦公式化简，利用的取值范围求最值.
试题解析：
解法一：（1）依题意，有……………………………………………1分
又，而，……………………………1分
当时，，，又
………………………………………3分
（2）在中，，.
设，则.……………………………………1分
由正弦定理得，
，，……………………………3分
故……3分
，当时，折线段赛道最长.……………………2分
解法二：（1）同解法一.
（2）在中，，
由余弦定理得，
即；…………………………3分
故，从而…4分
即，当且仅当时等号成立.………………2分
亦即，设计为时，折线段赛道最长.
注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①；②；③点在线段的垂直平分线上等.
考点：三角函数图象及其性质、两点间距离公式、正弦定理、三角函数的最值.
17.（本题满分分第（1）小题分，第（2）小题分），点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点且斜率为的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点D的坐标为.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、定义及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、向量的数量积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由垂直平分线得，计算出，利用椭圆的定义知点P的轨迹为椭圆，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理得、，假设存在定点D，则由题意可得恒成立，即得到，所以，从而得到点D的坐标.
试题解析：（1）的垂直平分线交于点，.………………1分
，
所以动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆.…………………………2分
设椭圆的标准方程为，则，，，故椭圆的标准方程为…………………………………………………………2分
（2）直线l的方程为，联立直线和椭圆的方程得，即，易知点在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点.…1分
设，则，……………………2分
假设在y轴上存在定点满足题设，则.因为以AB为直径的圆恒过点D，则.……………………2分
即，因为，
所以()变为
.………3分
由假设得对于任意的，恒成立，即，解得.因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为………………………………………………3分
考点：椭圆的标准方程、定义及其几何性质、直线与椭圆的相交问题、向量的数量积.
18.（本题满分分第（1）小题分，第（）小题分，第（3）小题分）按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设表示向量与间的夹角，若，，求；
（3）设，问数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明详见解析；（2）数列中存在最小项，最小项是；（3）数列中存在最小项，最小项是.
【解析】
试题分析：本题主要考查等比数列的定义、分组求和、数列的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，根据向量的模的计算公式列出，再化简，得到，从而利用等比数列的定义，得数列是等比数列；第二问，先利用向量的夹角公式计算出，代入到中，再计算，利用分组求和法计算结果；第三问，结合第一问的证明，得到等比数列的通项公式，代入到中，先利用对数的运算性质化简，再判断数列的单调性，找出最小项.
试题解析：（1）………4分
（2），……………………………………………2分
………………………………………………2分
…………2分
或都算对
(3)，
……………………………………………………2分
假设中的第项最小，由，，
当时，有，又由可得，
即，.
，或（舍），.…………2分
即有；
由，得，又，；………………2分
故数列中存在最小项，最小项是………………………………2分
考点：等比数列的定义、分组求和、数列的单调性.
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