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2014学年上海长宁区、嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）
一、填空题（本大题有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．
1.已知集合,,则________．
【答案】或
【解析】
试题分析：
因为,,所以或.
考点：集合的运算.
2.抛物线的焦点到准线的距离是______________．
【答案】4
【解析】试题分析：抛物线的焦点是,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.
考点：抛物线性质.
3.若,其中、,是虚数单位,则_________．
【答案】
【解析】
试题分析：由得,,所以.
考点：复数相等、复数的模.
4.已知函数,若,且,则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
试题分析：由,又,,,所以.
考点：1.指数运算；2.基本不等式.
5.设等差数列满足,,的前项和的最大值为,则=__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由,得公差,所以故,所以,.
考点：等差数列的通项及前n项和.
6.若（）,且,则
_______________．
【答案】
【解析】
试题分析：由,中取得.
考点：二项式定理
7.方程在上的解为_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：，因为，所以.
考点：1.三角变换；2特殊角的三角函数值.
8.设变量满足约束条件则的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】
试题分析：满足约束条件的可行域是以、、为顶点的三角形区域，的最大值为必在顶点处取得，经验证，在点处取得最大值6.
考点：1.线性规划.
9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，
则这个正三棱柱的表面积为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该正三棱柱的底面是边长为4，高为2，故该正三棱柱的表面积为.
考点：1.三视图；2.几何体的表面积.
10.已知定义在上的单调函数的图像经过点、，若函数的
反函数为，则不等式的解集为．
【答案】
【解析】
试题分析：的图像经过点、,则所以,,又是单调函数且,所以是减函数,故也是减函数,所以.即不等式的解集为
考点：1.函数单调性；2.反函数；3.不等式.
11.现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．
【答案】544
【解析】
试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：.
考点：排列与组合
12.已知函数，若，关于的方程有三个不相等的实
数解，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
试题分析：.如图在同一坐标系画出与的图像，问题转化为曲线与直线有三个交点，当直线过时，当直线与曲线段相切时所以.
考点：函数与方程.
13.在平面直角坐标系中，点列，，…，，…，满
足若，则_______．
【答案】
【解析】
试题分析：两式平方相加得，
即，所以，因此是公比为的等比数列，又，
所以=
考点：等比数列前n项和极限.
14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,
得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列
,若,则________．
【答案】
【解析】
试题分析：图乙中第n行有n个数,且第n行最后一个数为,前n行共有个数,由,可知2015在第45行,第45行第一个数为,又该行的数从小到大构成公差为2的等差数列,因此,所以.
考点：1.三角形数阵；2.等差数列.
二．选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分．
15.在△中,“”是“”的……………………………………（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
考点：1.解三角形；2.充分条件与必要条件
16.已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向
量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.
考点：平面向量的基底及向量共线
17.设双曲线（，）的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得，所以，双曲线的渐近线方程为，故选C.
考点：双曲线的几何性质.
18.在四棱锥中,,分别为侧棱,的中点,则四面体的体积与四棱锥的体积之比为……………………………………………（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得平面,
所以,故选C.
考点：等积法求棱锥的体积
三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分．
在△中,已知,外接圆半径．
（1）求角的大小；
（2）若角,求△面积的大小.
【答案】（1）；（2）
考点：1.诱导公式及三角变换；2.解三角形.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见试题解析；（2）
【解析】（1）要证明平面,可证明,；（2）由及可得.
试题分析：
试题解析：（1）连结,由已知得△与△都是正三角形,
所以,,,………………（1分）
因为∥,所以,……………（2分）
又平面,所以,……（4分）
因为,所以平面．…（6分）
因为，……（2分）
且，…………………………（4分）
所以，．
考点：1.线面垂直的证明；2三棱锥的体积.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,,其中是与气象有关的参数,且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作．
（1）令,,求的取值范围；
（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．
【答案】（1）；（2）,.
【解析】
试题分析：（1）当时,,当时,由,可得,所以的取值范围是；（2）先得出,再根据在时是关于的减函数,在时是增函数,可得,再由,解得.
试题解析：（1）当时,；………………（2分）
当时,因为,所以,……………………（4分）
即的取值范围是．……………………………………（5分）
（2）当时,由（1）,令,则,…………（1分）
所以………………（3分）
于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,
因为,,由,
所以,当时,；
当时,,
即………………………………（6分）
由,解得．………………………………（8分）
所以,当时,综合污染指数不超标．…………………………（9分）
考点：1.函数应用题；2.函数最值
22.本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分．
已知椭圆（）的焦距为，且椭圆的短轴的一个端点与左、右焦点、构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上上任意一点，求的最大值与最小值；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得对于椭圆上任意一点，到的距离与到直线的距离之比为定值．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）存在满足条件的点，的坐标为.
【解析】
试题分析：（1）由，可得椭圆的标准方程为；（2）通过数量积的坐标运算可得，由，得的最大值为，最小值为；（3）先假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值可得，整理得对任意的都成立，令，，，，解得.
试题解析：（1）已知，，，……………………（2分）
所以，……………………………………（3分）
所以椭圆的标准方程为．……………………（4分）
（2），，设，则，，（），……………………（2分）
因为，所以，，…（4分）
由，得的最大值为，最小值为．…………………………（6分）
（3）假设存在点，设，到的距离与到直线的距离之比为定值，则有，………………………………………………（1分）
整理得，……………………………………（2分）
由，得对任意的都成立．………………………………………………………………（3分）
令，
则由得①
由得②
由，得③
由①②③解得得，．…………………………（5分）
所以，存在满足条件的点，的坐标为．………………………（6分）
考点：1.曲线方程的求法；2.数量积的最值；3.定值问题
23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分．
已知函数，其中．定义数列如下：，,．
（1）当时，求，，的值；
（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到，使得．
【答案】（1）1，2，5；（2）存在，使得，，构成公差不为的等差数列；（3）见试题解析.
【解析】
试题分析：（1）当时由可得，，的值分别为1,2,5；（2）假设存在实数，使，，构成公差不为的等差数列，由可得关于m的不等式：，求得，经检验满足题意.（3）由,可得，，……，，将上述不等式全部相加可得，…………………（5分）
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有.
试题解析：（1）因为，故，………………………………（1分）
因为，所以，…………（2分）
，…………（3分）
．…………（4分）
（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列．
则得到，，．…（2分）
因为，，成等差数列，所以，…………3分
所以，，化简得，
解得（舍）,．…………………………………（5分）
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．…………（6分）
方法二：因为，，成等差数列，所以，
即，…………………………………………（2分）
所以，即．
因为公差，故，所以解得．………（5分）
经检验，此时，，的公差不为0．
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．…………（6分）
（3）因为,…………（2分）
又,所以令…………………………（3分）
由，，……，，
将上述不等式全部相加得，即，…………………（5分）
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有．
综上，当时，总能找到，使得．
考点：1.叠加法求通项；2裂项求和；3.数列中得恒成立问题.
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