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杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研
数学学科试卷（文科）2016.1.
考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.已知矩阵，，则．
2.已知全集U=R，集合，则集合___________________.
3.已知函数，则方程的解=_____________.
4.某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.
5．无穷等比数列()的首项，公比，
则前项和的极限=___________.
6.已知虚数满足，则___________.
7．执行如右图所示的流程图，则输出的S的值为．
8．展开式中的系数为_________________.
9．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在
同一个食堂就餐的概率是_________.
10．若数的标准差为，则数的标准差为.
11．如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，
且满足AB=3AE，BC=3CF，若，
则________________.
12．已知，当时不等式恒成立，则实数的最小值是_____．
13．抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若，则抛物线的方程为_________________.
14.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，若直线与函数的图象恰有7个不同的公共点，则实数的取值范围为_________________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15.下列四个命题中，为真命题的是（）.
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
16.设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的（）.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
17．对于平面和两条直线,下列命题中真命题是()
A.若,,则
B.若,,则
C.若与所成的角相等,则
D.若,,且在平面外,则
18．下列函数中，既是偶函数，又在上递增的函数的个数是（）
②③④
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．
如图，某人打算做一个金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等。
（1）求证：直线垂直于直线；
若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：
（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量，及松树数量关于n的表达式
（2）定义：为增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．
如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜.（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看。问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）
（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分
如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.
（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；
（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
已知函数，若存在常数T（T>0），对任意都有，则称函数为T倍周期函数
（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的
（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n项和，，求
文科评分参考
填空题
1．2．3．14．5.
6．7.8．9．10．611．
12．413．14．（，）
二、选择题
15．C16．A17．D18．A
三、解答题
19．（本题12分，第一小题6分，第二小题6分）
解：（1）如图，连接交于点，则为线段中点，
在正方形中，对角线（2分）
在中，，
，平面（2分）
（2分）
（2）边长为3米（2分）
棱锥的高（2分）
立方米（2分）
答：需要立方米填充材料.
20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）
（1）n=5时果树25棵，松树40棵（2分）
（2分）
（2分）
（2）（2分）
（2分）
当时，2n+1<8松树增加的速度快（2分）
当时，2n+1>8果树增加的速度快（2分）
21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分，）
（1）逆时针分钟转一圈，
分钟转过，（2分）
过点作于点，
则，（2分）
（2分）
，（2分）
答：望远镜的仰角设置为
（2）在中，，（2分）
由正弦定理得：（2分）
（2分）
答：绿化带的长度为94米.
22．（本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1），，（2分）
，；（2分）
（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点
由，得（2分）
存在且，，且
，即（2分）
同理，
得证（2分）（3）设直线的方程为
，
，
（2分）
，
，
（分）
（分）
（分）
的面积最大值为（分）
的面积最大值为
23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
解：（1）设：
则对任意x恒成立（2分）
无解不是T倍周期函数（2分）
（2）设：
则对任意x恒成立（2分）
（2分）
下证唯一性：
若，矛盾
若，矛盾
是唯一的（2分）
（3）
（2分）
同理：（2分）
同理：（2分）
（2分）访问“中试卷网”——http://sj.fjjy.org
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