虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学试卷2016.1
考生注意:
1.本试卷共4页,23道试题,满分150分,考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
一、填空题(本大题满分56分)本大题共14题,只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.函数的反函数
2.设全集则______.
3.若复数满足(为虚数单位),则复数______.
4.在二项式的展开式
5.行列式的最大值为______.
6.在等差数列中,
则数列的前10项的和等于_____.
7.如图,已知双曲线C的右焦点为F,过它的右顶点A
作实轴的垂线,与其一条渐近线相交于点B;若双曲线C的
焦距为4,为等边三角形(为坐标原点,即双曲线
C的中心),则双曲线C的方程为_________________.
8.已知数据的方差为16,则数据
的标准差为.
9.已知抛物线的弦的中点的纵坐标为4,则
的最大值为__________.
10.如图所示,半径的球O中有一内接圆柱,当
圆柱的侧面积最大时,球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.
11.锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个,这三种水饺的外形完全相同.从中任意舀取4个水饺,则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.(结果用最简分数表示)
12.设等比数列的前n项和为,若且
则
13.在由正整数构成的无穷数列中,对任意的且对任意的数列中恰有,则
14.若函数恰有个零点,则实数的取值范围是
二选择题.
15.设为两个不同平面,若直线则()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
16.已知直线是函数图像的两条相邻的对称轴,则的值为()
(A)(B)(C)(D)
17.已知均为单位向量,且若则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
18.若关于的方程有四个不同的解
且则的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
三、解答题(本大题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共2个小题,每小题6分.
如图,在正三棱柱中,已知它的底面边长为10,
高为20.
求正三棱柱的表面积与体积;
若分别是的中点,求异面直线所
成角的大小(结果用反三角函数表示).
20.(本题满分14分)本题共2个小题,每小题7分.
已知的面积为S,且
求
若求的面积S.
21.(本题满分14分)本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
对于函数定义已知偶函数的定义域为
(1)求并求出函数的解析式;
(2)若存在实数使得函数上的值域为,求实数的取值范围.
22.(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第2小题6分.
已知数列的前n项和为,且
(1)计算并求数列的通项公式;
(2)若数列满足求证:数列是等比数列;
(3)由数列的项组成一个新数列:
.设为数列的前n项和,试求的值.
23.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第2小题8分.
已知椭圆的左焦点为短轴的两个端点分别为且为等边三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,点M在椭圆C上且位于第一象
限内,它关于坐标原点O的对称点为N;过点
M作轴的垂线,垂足为H,直线NH与椭圆
C交于另一点J,若,试求以线段NJ为直径的圆的方程;
(3)已知是过点的两条互相垂直的直线,直线与圆相交于两点,直线与椭圆交于另一点;求面积取最大值时,直线的方程.
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高三数学参考答案和评分标准2016年1月
一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)
1.2.3.24.28
5.136.807.8.8
9.1210.11.12.
13.6314.
二选择题(本大题满分分
15.B16.A17.B18.D
三、解答题(本大题共5题,满分74分)
19.(本题满分12分)本题共2个小题,每小题6分.
解:(1)……(3分)
……(6分)
(2)连结则又
故等于异面直线所成角.……(8分)
易得,故
于是异面直线所成角的大小为……(12分)
20.(本题满分14分)本题共2个小题,每小题7分.
解:(1)由得
……(4分)
进而求得……(7分)
(2)……(9分)
……(12分)
……(14分)
21.(本题满分14分)本题共2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
解:(1)因为
故对任意的
于是
由为偶函数,
.……(6分)
(2)由于的定义域为,
又
且……(8分)
函数的图像,如图所示.由题意,有
……(10分)
故是方程的两个不相等的负实数根,即方程在上有
两个不相等的实根,于是
……(12分)
综合上述,得:实数的取值范围为……(14分)
注:若采用数形结合,得出直线与曲线有两个不同交点,并进行求解也可.
22.(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第2小题6分.
解:(1)当时,由得由得
当时,由得
当时,由得
猜想:……(3分)
下面用数学归纳法证明:
①当时,结论显然成立;
②假设当时,由条件知故
于是
故数列的通项公式为:……(6分)
另解(1):当时,由得由得
当时,由得
当时,由得……(2分)
当时,由条件知故
于是……(4分)
故于是数列的通项公式为:……(6分)
证:(2)当时,当时,由条件得
从而故数列是以1为首项,2为公比的等比数列.……(10分)
解:(3)由题意,得
从而……(16分)
注:在解答第(3)小题时,可直接求出.
23.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第2小题8分.
解:(1)由题意,得……(2分)
故椭圆C的方程为……(4分)
(2)设则由条件,知
从而
于是由
再由点M在椭圆C上,得
所以……(6分)
进而求得直线NH的方程:
由……(8分)
进而
因此以线段NJ为直径的圆的方程为:……(10分)
(3)当直线的斜率不存在时,直线与椭圆C相切于点A,不合题意;当直线的斜率为0时,可以求得……(12分)
当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为则点O到直线的距离为从而由几何意义,得
由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为于是
……(15分)
当且仅当时,上式取等号.
因为故当时,;此时直线的方程为:
(也可写成)……(18分)
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