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虹口区2014学年第一学期期终教学质量监测试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1、椭圆的焦距为.
2、在的展开式中，各项系数之和为.
3、若复数满足（为虚数单位），则复数.
4、若正实数满足32，则的最小值为.
5、行列式的最小值为.
6、在中，角所对的边分别为，若，则.
7、若则方程的所有解之和等于.
8、若数列为等差数列，且，则.
9、设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则.
10、已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是.
11、若抛物线上的两点、到焦点的距离之和为6，则线段的中点到轴的距离为.
12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为.（结果用最简分数表示）
13、右图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为.
14、右图为函数的部分图像，是它与轴的两个交点，分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且，则函数的解析式为.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15、设全集，则（）.
A. B. C. D. 16、设均为非零向量，下列四个条件中，使成立的必要条件是（）.
A. B. C. D.且 17、关于曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称
③曲线围成的面积大于④曲线围成的面积小于
上述命题中，真命题的序号为（）
A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①③ 18、若直线与曲线有四个不同交点，则实数的取值范围是（）.
A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.
19、（本题满分12分）
已知，求的值
20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分
一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的，设球的半径为，圆锥底面半径为.
（1）试确定与的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；
（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.
21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分
已知函数和的图像关于原点对称，且
（1）求函数的解析式；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.
22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.
已知各项均不为零的数列的前项和为，且，其中.
（1）求证：成等差数列；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）设数列满足，且为其前项和，求证：对任意正整数，不等式恒成立.
23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.
已知为为双曲线的两个焦点，焦距，过左焦点垂直于轴的直线，与双曲线相交于两点，且为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为直线上任意一点，过右焦点作的垂线交双曲线与两点，求证：直线平分线段（其中为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点的直线，它与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
一．填空题
1.；2.1；3.；4.16；5.；6.；7.；
8.；9.；10.；11.3；12.；
13.；14.；
二．选择题
15.C；16.B；17.D；18.A；
三．解答题
19.解：，在第一象限，∴；
；
；
20.（1）解：，；；
（2）解：；
21.（1）解：；
（2）解：，
当，即时，对称轴，∴；
当，即时，，符合题意，∴；
当，即时，对称轴，∴；
综上，；
22.（1）解：①；②；①－②得，得证；
（2）解：由，得，结合第（1）问结论，即可得是等差数列；
（3）解：根据题意，，；
要证，即证；
当时，成立；
假设当时，成立；
当时，；
要证，即证，展开后显然成立，
所以对任意正整数，不等式恒成立；
23.（1），∵等边三角形，∴，，，∴；
（2）解：设，，中点为，然后点差法，
即得，
∴，即点与点重合，所以为中点，得证；
（3）解：假设存在这样的直线，设直线，，
联立得；联立得；
，即；
∴，该方程无解，所以不存在这样得直线
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