恒成立型解题策略

恒成立型解题策略

“恒成立”问题是中学中的主要题型之一，也是高考考查的热点之一，不仅涉及面广、综合性强；同时，也是培养和训练学生分析问题、解决问题及综合运用知识能力的良好素材。“恒成立”与“成立”是不同的，例如函数的奇偶性、单调性、周期性、本身就包含着“恒成立”的思想。

恒成立是指永远有解或在一定范围内永远有；而成立是指有解，有机会成立。恒成立是建立在成立的基础上，它是成立的特殊形式，我们要用辩证的观点去观察、分析、判断。

方法指导

解决恒成立问题的方法比较灵活，一般地有：分离参数、利用函数的单调性、数形结合、转换主元、构建思想、利用判别式、基本不等式，归纳、猜想、证明等策略。

命题方向分析

恒成立（曲线恒过定点、方程恒有解、不等式恒成立）问题是高中数学中的主要题型之一，是培养学生分析问题解决问题能力的主要素材，因此是高考的主要考点之一。

典题解析

㈠分离参数

对于求参数取值范围的问题，若能将问题中的参数分离出来，即把求参数取值范围的问题转化为求函数的值域或最值范围，从而使问题迎刃而解。

方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围。





变式训练1：已知函数，若对任意恒成立，试求实数a的取值范围。



变式训练2：过抛物线的顶点O作弦OA⊥OB，求证：直线AB恒过定点。



变式训练3：三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。

乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。

丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”。

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是。

㈡数形结合

数形结合就是将观察的对象与其几何背景加以整合，适时进行数与形的转化，常能使复杂问题简单化、抽象问题直观化，灵活运用数形结合可以使问题的解答变得简单明了。

例2对于所有实数，不等式恒成立，则实数的最大值是。

㈢转换主元

解决某些含参数的问题，若能把处于次要地位的元素视为主元，常可收到出乎意料的效果。

例3对于，不等式恒成立，则的取值范围。

变式训练1：设，若在区间上变动时，恒成立，试求x的取值范围。





变式训练2：设函数，若对满足|m|<1的一切m，都有，求实数x的取值范围。





㈣利用判别式的策略

根据问题的特点――问题中含有二次三项式时，可以考虑运用判别式。

例4．（理）当时，不等式，对任意实数x恒成立，则的值为。

（文）已知不等式，对任意实数x恒成立，求的取值范围。





变式训练：直线与x轴的交点在抛物线方程的准线右边，求证：直线与抛物线总有两个交点。



㈤基本不等式

根据问题的特点――具备基本不等式的条件，可以考虑运用或灵活运用基本不等式。

例5．已知恒成立，则n的最大值为（）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

变式训练：已知函数的定义域为R，对任意实数都满足，当时且。（1）判断函数的奇偶性，单调性；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围。





㈥构造函数

对于一些从形式上看属于非函数的问题，若通过适当的变换或构造，使之转化为函数问题，灵活运用函数的单调性可以得到别开生面的解决。

例6．设函数，其中是任意给定的正整数，且。当时，如果有意义，求a的取值范围。



变式训练：已知函数的图像过点A（2，1）和B（5，2）。

（1）求函数解析式；

（2）记，问是否存在正数k使得对一切恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由。





㈦向量法

向量本身就是“数”与“形”的一种结合，有些代数问题如果能够灵活运用向量法求解，不仅可以简化解题过程，同时还会从中感悟到直观美、简洁美的魅力。

例7．设，不等式恒成立，求实数a的取值范围。





变式训练：设，若，问是否存在，使得不等式对一切实数x恒成立？证明你的结论。





㈧联想――猜测――证明。

例8．是否存在数列，使得对任意的自然数n，等式恒成立。若存在，求出，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由。







变式训练：已知数列中，，且点在直线上。

（1）求数列的通项公式；

（2）记表示数列的前n项和，是否存在关于n的整式使得对大于1的一切自然数n值恒成立？并证明你的结论。







1．若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（）

（A）2∈M，0∈M；（B）2M，0M；（C）2∈M，0M；（D）2M，0∈M．

















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