数学开放性问题怎么解
数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.
例1设等比数列的公比为，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请明理由.
讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的.
设存在常数，使数列成等比数列.
(i)当时，代入上式得
即=0
但,于是不存在常数，使成等比数列.
(ii)当时，，代入上式得
.
综上可知,存在常数，使成等比数列.
等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比的情形,可不要忽视啊!
例2某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
讲解本例兼顾应用性和开放性,是实际工作中经常遇到的问题.
（1）
=.
（2）解不等式＞0,
得＜x＜.
∵x∈N，∴3≤x≤17.
故从第3年工厂开始盈利.
（3）(i)∵≤40
当且仅当时，即x=7时，等号成立.
∴到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.
(ii)y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，
当x=10时，ymax=102.
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.
解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.
例3已知函数f(x)=(x<-2)
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)设a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.
讲解本例是函数与数列综合的存在性问题,具有一定的典型性和探索性.
(1)y=,
∵x<-2，∴x=-,
即y=f-1(x)=-(x>0).
(2)∵,∴=4.
∴{}是公差为4的等差数列.
∵a1=1,∴=+4(n-1)=4n-3.
∵an>0,∴an=.
(3)bn=Sn+1-Sn=an+12=,由bn<,得m>对于n∈N成立.
∵≤5,
∴m>5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn<成立.
为了求an,我们先求,这是因为{}是等差数列,试问:你能够想到吗?该题是构造等差数列的一个典范.
例4已知数列在直线x-y+1=0上.
求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f(n)的最小值；
(3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.
讲解从规律中发现,从发现中探索.
（1）
（2）,
,
.
（3）,
.
故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.
事实上,数列{an}是等差数列,你知道吗？
例5向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：
（A）图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡;
（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？
（2）哪一年的规模最大？为什么？
讲解（1）设第n年的养鸡场的个数为，平均每个养鸡场出产鸡万只，
由图（B）可知,=30，且点在一直线上，
从而
由图（A）可知,且点在一直线上，
于是
=（万只），（万只）
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
（2）由（万只），
第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.
有时候我们需要画出图形,有时候我们却需要从图形中采集必要的信息,这正反映了一个事物的两个方面.看来,读图与识图的能力是需要不断提升的.
例6已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
讲解本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.
（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.
（2）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得
于是,A点和B点的坐标分别为A，B（3，），
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即有
由①－②得
因为不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，
由
即当点C的坐标是（－1，）时，三点A，B，C共线，故.
，
，
.
(i)当，即，
即为钝角.
(ii)当，即，
即为钝角.
(iii)当，即，
即.该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
故当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.
需要提及的是,当△ABC为钝角三角形时,钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一探讨.
例7已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足关系式.
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求数列{un}的前n项的和Sn.
讲解本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.
（1）在中,令得
.
在中,令得
，有.
（2）是奇函数,这需要我们进一步探索.事实上
故为奇函数.
从规律中进行探究,进而提出猜想.
由
,
………………………………
猜测.
于是我们很易想到用数学归纳法证明.
1°当n=1时，，公式成立；
2°假设当n=k时，成立，那么当n=k+1时，
，公式仍然成立.
综上可知，对任意成立.
从而.
，.
故
例8若、，
(1)求证：；
(2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；
(3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值.
讲解(1)采用反证法.若，即,解得
从而与题设,相矛盾，
故成立.
(2)、、、、,
.
（3）因为又,
所以,
因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、.
我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样吗?
例9如图，已知圆A、圆B的方程分别是动圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：．
（1）求圆P的轨迹方程，并证明：当时，点P到点B的距离与到定直线l距离的比为定值；
（2）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，求的最小值；
（3）如果存在某一位置，使得PQ的中点R在l上的射影C，满足求a的取值范围．
讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋，｜PB|=r+，
∴|PA|－｜PB|=2．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为（x≥1）．若,则l的方程为双曲线的右准线,∴点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e=2.
(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y=k(x－2)代入双曲线方程,得
由，解得＞３．
∴｜PQ｜＝．
当直线的斜率存在时，，得，｜PQ|＝６．
∴｜PQ|的最小值为６．
（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△.
∴R到直线l的距离｜RC|＝①
又∵点P、Q都在双曲线上，
∴．
∴，即．
∴②
将②代入①得，｜PQ｜＝２－４a≥6．
故有ａ≤－１．
“如果存在”并不意味着一定存在,如何修改本题使其成为不存在的范例呢?问题的提出既能延伸我们的思绪,更能完善我们的知识技能,无形中使解题能力得到逐渐的提升.
1
①
②
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