2005年高考文科数学上海卷试题及答案
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分
1.函数的反函数=__________
2.方程的解是__________
3.若满足条件，则的最大值是__________
4.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________
5.函数的最小正周期T=__________
6.若，，则=__________
7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是__________
8.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________（结果用分数表示）
9.直线关于直线对称的直线方程是__________
10.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________
11.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________
12.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A.B.C.D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选.选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分
13.若函数，则该函数在上是（）
A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值
14.已知集合，，则等于（）
A．B．
C．D．
15.条件甲：“”是条件乙：“”的（）
A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
16.用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵对第行，记，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，等于（）
A．—3600B．1800C．—1080D．—720
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤
17.（本题满分12分）已知长方体中，M.N分别是和BC的中点，AB=4，AD=2，与平面ABCD所成角的大小为，求异面直线与MN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
18.（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数的图象与轴分别相交于点A.B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4.且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M
（1）求抛物线方程；
（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分
对定义域是.的函数.，
规定：函数
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明
2005年高考文科数学上海卷试题及答案
参考答案
1.4-12.x=03.114.x+2y-4=05.π6.-7.
8.9.x+2y-2=010.311.1
12.0
解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是将上下底面对接，其全面积为
②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，但侧面积分别为：
，
显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：
由题意，得
解得
二.
13.A14.B15.B16.C
三.
17.[解]联结B1C,由M.N分别是BB1和BC的中点,得B1C∥MN,
∴∠DB1C就是异面直线B1D与MN所成的角.
联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB1⊥平面ABCD,∠B1DB是B1D与平面ABCD所成的角,∴∠B1DB=60°.
在Rt△B1BD中,B1B=BDtan60°=2,
又DC⊥平面BB1C1C,∴DC⊥B1C,
在Rt△DB1C中,tan∠DB1C=,
∴∠DB1C=arctan.
即异面直线B1D与MN所成角的大小为arctan.
18.[解]原方程化简为,
设z=x+yi(x.y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
19.[解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2.∴k=1,b=2.
(2)由f(x)>g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0,得-2
==x+2+-5
由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3.
20.[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,
即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.
∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,
则bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
21.[解](1)抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0),∴kFA=;MN⊥FA,∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,
∴N的坐标(,).
由题意得,,圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,
当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时,直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1
∴当m>1时,AK与圆M相离;
当m=1时,AK与圆M相切;
当m<1时,AK与圆M相交.
22.[解](1)
(2)当x≥1时,h(x)=(-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-)2+
∴h(x)≤;
当x<1时,h(x)<-1,
∴当x=时,h(x)取得最大值是
(3)令f(x)=sinx+cosx,α=
则g(x)=f(x+α)=sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,
于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=cos2x.
另解令f(x)=1+sinx,α=π,
g(x)=f(x+α)=1+sin(x+π)=1-sinx,
于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(1+sinx)(1-sinx)=cos2x.
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