第1课时 实数
【课前展练】
1.（2010，孝感）(－1)2010的值是（）
A．1B．－1C．2010D．－2010
2.（2010，孝感）如图，数轴上点A、B分别表示实数a、b，则下列四个数中最大的数是（）
A．aB．bC．D．
3.（2011，孝感）的倒数是（）
A.B.C.D.
4.（2011，孝感）某种细胞的直径是毫米，这个数是（）
A.毫米B.毫米C.毫米D.毫米
5.（2012，孝感）-5的绝对值是（）
A.5B.-5C.D.
6.（2012，孝感）我国平均每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧130000吨煤所产生的能量，130000用科学计数法表示为（）
A.B.C.D.
【要点提示】
理解有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值等概念，利用非负数的性质及实数与数轴上的点的对应关系解决有关问题.
【考点梳理】
考点一：实数的分类
考点二：实数的有关概念
1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴上的点与实数一一对应.
2.相反数：在数轴上，在原点两旁且与原点距离相等的两个点的表示的数叫做互为相反数.
实数的相反数是是
、互为相反数
3.倒数：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数.
4.绝对值：
考点三：科学计数法、近似数、有效数字
5.科学记数法
把一个整数或有限小数记成的形式，为整数
6.近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.
【典型例题】
例1.(2012,黄冈）下列实数中是无理数的是（）
A.B.C.D.
例2.(2012,黄冈）2012年5月25日有700多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共签约项目投资总额为909260000000元，将909260000000用科学记数法表示(保留3个有效数字)，正确的是（）
A.909×1010B.9.09×1011C.9.09×1010D.9.0926×1011
例3.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是
例4.实数在数轴上的位置如图所示，则化简-的结果正确的是（）
A．B．C．D．
例5.用四舍五入法，对200626取近似值，保留四个有效数字，200626≈ .
例6.若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值.
【小结】本节主要考查有理数、无理数、实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似值及有效数字等概念，并会用科学记数法表示数，能按四舍五入的方法求近似数，利用实数的非负性解决有关事项.历年中考中，本节考点多以填空题、选择题形式出现，结合考查数的结合思想，考查收集处理信息的能力.
第2课时 实数的运算与大小比较
【课前展练】
1.（2011湖南湘潭市）下列等式成立是（）
A.B.C.÷D.
2.（2011山东菏泽）定义一种运算☆，其规则为a☆b=＋，根据这个规则计算2☆3的值是（）A．B．C．5D．6
3.（2011湖北襄阳）若x，y为实数，且，则的值是（）
A.0 B.1 C.－1 D.－2011
4.（2011贵州黔南）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x=64时，输出的y等于（）
A.2B.8C.3D.2
5.（2011福建泉州）(－2)2的算术平方根是（）.
A．2B．±2C．－2D．
6．（2012北京）
【考点梳理】
1.数的乘方_______________，其中叫做_______，n叫做_______，结果叫做_____.
2.______（其中____0），__________（其中____0，且p是___________）
3.实数运算先算_________________，再算________，最后算________；若有括号，先算
____________里面的，同一级运算按照从________到________的顺序依次进行.
4.实数大小的比较
⑴数轴上两个点表示的数，________的点表示的数总比________的点表示的数大.
⑵正数______0，负数______0，正数______负数；两个负数比较大小，绝对值大的______绝对值小的．(3)实数大小比较的方法：作差法和作商法。
5．易错知识辨析
⑴在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.
如5÷×5.很容易错误计算成5÷1=5.
⑵在乘方运算中要注意区别－22，(－2)2，(－2)3.
【典型例题】
例1计算：⑴；⑵
例2．计算：
例3已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．
例4．（1）设在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）
A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
（2）若，则的大小关系是（）
A.B.C.D.
例5．（1）我们规定运算符号“※”的意义是：当a>b时，a※b=a+b；当a≤b时，a※b=a－b，其它运算符号意义不变.按上述规定，计算：(4※3)－(3※4)的结果.
（2）已知：
,
,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算（直接写出计算结果），并比较（填“”或“”或“=”）
（3）对实数、，定义运算☆如下：☆
例如2☆3=.计算[2☆()][()☆()]=___________.
【小结】本节主要考查实数的运算及大小比较，要注意运算顺序及运算技巧和大小比较的方法。在历年中考中，本节考点多以填空题、选择题形式出现，结合考查数的结合思想，考查收集处理信息的能力.
第三节整式
【课前展练】
1.（2012安徽）计算的结果是（）
A.B.C.D.
2.（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A.B.C.D.
3．（2012福州）下列计算正确的是（）
A．a＋a＝2aB．b3·b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．(a5)2＝a7
4．(2011浙江湖州)因式分解：---
5．（中考变试题）如果单项式－3x4a－by2与x3ya＋b的差也是单项式，那么这两个单项式的积是()
A．x6y4B．－x3y2C．－x3y2D．－x6y4
6．（2012安徽）某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（）
A.（－10％）（+15％）万元B.（1－10％）（1+15％）万元
C.（－10％+15％）万元D.（1－10％+15％）万元
【要点提示】1．理解整式的有关概念，熟练掌握整式加减乘除的运算规律，利用代数式准确表示有关实际问题和规律题；2。在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式！
【考点梳理】
代数式
所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项
整式加减
（1）去括号添括号法则：
a+（b-c）=a+b-c，a-（b+c）=a-b-c，a+b-c=+（），a-b+c=-（）。
（2）整式加减的实质是合并同类项——系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
2．幂的运算法则：（m、n为正整数）；（am）n=_______（m，n都是正整数）；
（n为正整数）；（a≠0，m、n为正整数，m>n）；（a≠0）；（a≠0，n为正整数）。
3．整式的乘除：(1)几个单项式相乘除(2)单项式乘以多项式(3)多项式乘以多项式(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式。
(5)乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：
考点三：分解因式
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。2．分解因式的方法：
（1）提公因式法；找系数的最大公约数与相同字母（因式）指数最低的积作为公式。
（2）运用公式法：；
（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
3．因式分解的一般步骤：（1）提取公因式法（首先考虑的方法），若是二项式则考虑平方差；若是三项式考虑完全平方公式和十字相乘法；若是三项以上则考虑分组分解法！
注：提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉；
因式分解时要分解到不能再分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。
考点四：化简求值
【典型例题】例1（2012广东）先化简，再求值：，其中x=4．
例2（2011广州市）因式分解：
例3．(2011·益阳)观察下列算式：
①1×3－22＝3－4＝－1②2×4－32＝8－9＝－1
③3×5－42＝15－16＝－1④__________________________……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
例4．用如图所示的正方形和长方形卡片，拼成一个长为3a＋b，宽为a＋2b的矩形，需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．
例5（2012年四川宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为.
【小结】本节主要考察整式的有关概念，幂的有关运算及整式加减乘除运算，其间穿插了因式分解，合理解释和推断含有较多数字的信息，分析简单问题的数量关系并用代数式表示，解释简单代数式的实际背景或几何意义，根据问题会用公式，并会代入具体的值进行计算。本节考点多以填空题、选择题形式出现，也常会在计算题中考察化简求值运算及用代数式表示规律的开放运用！第4课时分式
【课前展练】
1．代数式中，分式的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2.当x______时，分式有意义；当x＝______时，分式的值为0．
3．化简得；当时，原式的值为。
4.若分式的a,b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（）
A.是原来的20倍B.是原来的10倍C.是原来的倍D.不变
5.计算的结果是.
【要点提示】理解分式的概念，会运用分式的基本性质进行分式的加、减、乘、除、乘方运算。
【考点梳理】1.分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．若B≠0，则有意义；若B=0，则无意义；若A=0且B≠0，则＝0.
2．分式的基本性质：
3.约分：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程叫做分式的通分.
5．分式的运算（1）乘法法则：（2）除法法则：
（3）分式的乘方：（4）加减法法则：①同分母的分式相加减
②异分母的分式相加减（5）分式的混合运算
【典型例题】
例1（1）当x时，分式无意义；（2）当x时，分式的值为零
例2已知分式，当时，分式无意义，则;当时，使分式无意义的的值共有个。
例3先化简，再求值：
(1)（－）÷，其中x＝1．⑵
例4已知
例5若，则的值为。
【小结】本节主要考查分式的运算，分式的运算应运用分式的基本性质进行化简，运算时尽量将分子、分母分解因式，便于约分或通分，结果要化成最简分式。
第5课时二次根式
【课前展练】
1.（2010孝感）使是整数的最小正整数n＝．
2.（2011孝感）下列计算正确的是（）
A.B.C.D.
3．（2012?孝感）下列运算正确的是（）
A.B.C.D.
4.（2011武汉）函数?中自变量x的取值范围是A.x≥0.?B.x≥-2.?C.x≥2.?D.x≤-2.
5.（2012武汉）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A.x＜3??B.x≤3??C.x＞3??D.x≥3
【要点提示】平方根、算数平方根、立方根、二次根式的定义、性质与运算、同类二次根式、最简二次根式
【考点梳理】1．二次根式的有关概念
⑴式子叫做二次根式．注意被开方数只能是．并且根式.
⑵最简二次根式被开方数所含因数是，因式是，不含能的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质⑴0；⑵（≥0）⑶；
（）；（）.
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成；
②再把分别合并，合并时，仅合并，
不变.
【典型例题】
例1⑴二次根式中，字母a的取值范围是（）
A．B．a≤1C．a≥1D．
⑵若y=++2009，则x+y=
⑶若式子有意义，则x的取值范围是_______．
⑷写一个比大的整数是．⑸将根号外的a移到根号内，得(??)
A.；??B.；?????C.；?????D.
⑹下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
例2（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A．和????????????B．和C．
（2）已知最简二次根式是同类二次根式，则a=______，b=____
例3（1）已知实数满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对
例4实数a，b，c，如图所示，化简－│a－b│+=______．
例5（1）（2012江苏南通）化简：．
（2）（2012，德州）已知：，，求的值．
【课堂小结】
二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义是我们辨别它们的依据、是进行二次根式化简等其它相关问题的立足点和出发点；
第6课时一次方程及其应用
【课前展练】
1．如果方程是一元一次方程，则.
2．关于x的方程的解为正实数，则k的取值范围是
3．关于的方程的解是3，则的值为__
4.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为元，则得到方程()
A.B.C.D.
5.在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=___；若x、y都是正整数，这个方程的解为_____．
6.如果是同类项，则、的值是.
【考点梳理】考点一：等式及其性质
⑴等式：用等号“=”来表示关系的式子叫等式.
⑵性质：①如果，那么；
②如果，那么；如果，那么.
考点二：方程、一次方程（组）的有关概念
1.⑴方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；求方程解的叫做解方程.方程的解与解方程不同.
（2）一元一次方程：只含有个未知数，并且未知数的次数是的整式方程叫做一元一次方程；它的一般形式为.
（3）二元一次方程：含有未知数（元）并且未知数的次数是的整式方程.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有个解.
（4）二元一次方程组：由2个或2个以上的组成的方程组叫二元一次方程组.
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的，叫做二元一次方程组的解.
2.解一元一次方程的步骤：①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.
3．解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有消元和消元法两种.
考点三：一次方程（组）的实际应用
会列方程(组)解实际应用题,熟悉列方程(组)解实际问题的六个步骤(审、设、列、解、验、答),对不同问题情景,要熟知其知识构成所涵盖的公式方法：
(1).工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
(2)利息问题：利息=本金×利率×期数,本息和=本金+利息；
(3)行程问题：路程=速度×时间,顺水(风)速度=静水(风)速度+水(风)流速度,
逆水(风)速度=静水(风)速度－水(风)流速度；
(4)商品利润率题：商品利润=商品售价－商品进价,商品利润率；
【典型例题】
例1解方程（1）．（2）
例2关于x的方程的解为非负整数，则正整数的值是?
例3关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值为多少？
例4．孔明同学在解方程组的过程中，错把看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是．
例5．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图．
例6（山东泰安）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。
求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
【小结】本节主要考察理一次方程的概念，利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握一元一次方程及二元一次方程组的解法和实际应用，本节常出现在填空题和选择题及应用题中。第7课时一元二次方程及其应用
【课前展练】
1．方程-的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.
2．关于的一元二次方程中，则一次项系数是.
3．下列方程中是一元二次方程的有（）
①9x2=7x②=8③3y(y-1)=y(3y+1)④x2-2y+6=0
⑤(x2+1)=⑥-x-1=0
A．①②③B.①③⑤C.①②⑤D.⑥①⑤
4．某地2010年外贸收入为2.5亿元，2012年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为.
5.解方程：
6．关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（）
A． B．或 C． D．
【考点梳理】
考点一：一元二次方程的辨别
一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，
叫做一次项的系数.
考点二：一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法，记得取正、负
（2）配方法，先移常数项，配方时二次项系数要化1.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.
（4）因式分解法，因式分解时一定要化成一般式。
考点三:一元二次方程的实际应用
熟记增长率公式：(其中A是基量,%是平均增长率,B是2年后得出量),会解增长(下降)率应用题；熟悉几何图形中所隐含的公式或等量关系(如：特殊平面图形面积公式、立体图形体积公式、相似三角形对应边成比例、勾股定理等),会解几何应用题.会解商品销售中售价与销售量相关应用题。
注：判断一个方程是不是一元二次方程，应化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中，有解时还需判别式必须大于或等于零！
【典型例题】
例1选用合适的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）.
例2.（1）两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是
（2）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为
例3已知一元二次方程有一个根为零，求的值.
例4.(山东潍坊)要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化．
（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
【小结】本节本节考点多以选择题、填空题和解答题的形式出现！
第8课时一元二次方程的根与系数的关系
【课前展练】
1．一元二次方程的根的情况为（）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2.若x1=是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.
3.若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.
4.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)=__________，x12＋x22＝_________，＝__________，(x1－x2)2＝_______.
5.已知为方程的二实根，则．
6．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝时，两根互为倒数;当m＝时，两根互为相反数.
【要点提示】熟练掌握一元二次方程根的判别式()与方程根的关系，能正确判断所给方程的根的存在性。熟练掌握一元二次方两实数根与系数的关系，会求一元二次方程两根的对称代数式的值,会根据根的特点求字母系数的值,能根椐两根构造一元二次方程。
【考点梳理】
考点一：一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
（1）>0一元二次方程有两个实数根，即.
（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即.
（3）<0一元二次方程实数根.
考点二：一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，.
【典型例题】例1:下列命题：
对于一元二次方程①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（）
Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．
例2:当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.
例3:菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为.
例4:（2011孝感）已知关于的方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；
例5：（湖南怀化）如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．
【小结】在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.
第9课时分式方程及其应用
【课前展练】
1．方程的解是x=．
2.已知与的和等于，则，.
3．解方程会出现的增根是（）
A．B.C.或D.
4．如果分式与的值相等,则的值是()
A．9B．7C．5D．3
5．如果，则下列各式不成立的是（）
A．B．C．D．
6．（湖北孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
【要点提示】熟练掌握分式方程的解法及简单的实际应用，在去分母时，不要漏乘没有分母的项，检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.碰到由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，继而求出参数的值.
【考点梳理】考点一分式方程
1．分式方程：分母中含有的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3．掌握解分式方程的基本思想(化分式方程为整式方程),及一般方法步骤(如下图)：
考点二分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否.
【典型例题】
例1解分式方程：（1）（2011孝感）（2）（2012上海）
例2（黑龙江牡丹江）若关于的分式方程无解，则．
例3符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出等式中的值是___________．
例4(2012年黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A、B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件．
例5（山东青岛市）运动会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率）
【小结】了解分式方程的定义,理解增根的概念,了解分式方程必须验根的原因。掌握解分式方程的基本思想是化分式方程为整式方程！会列简单分式方程解实际问题，一定注意验根，验是否是增根并要满足实际问题！中考中常以选择题、填空题、解答题和应用题的形式出现！
第10课时一元一次不等式(组)
【课前展练】
1．的3倍与2的差不小于5，用不等式表示为.
2．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．＞C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示为（）
4.不等式组的解集为．
5.（湖北孝感）关于的不等式组的解集是，则．
6．不等式组的整数解的个数为．
【考点梳理】考点一不等式的有关概念及性质
1.用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+；（2）若＞，＞0则（或）；（3）若＞，＜0则（或）.
考点二一元一次不等式（组）
1.一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.
2.一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.
一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.
3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“同大取大”；的解集是，即“同小取小”；
的解集是，即“大小小大中间夹”；的解集是空集，即“大大小小无解答”.
注：解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.
如不等式（或）（）的形式的解集：需分，
【典型例题】
例1（1）（2012?聊城）解不等式组，并在数轴上表示出来。
（2）（2012乐山市）解不等式组并求出它的整数解的和.
例2若关于、的二元一次方程组的解满足﹥1，则的取值范围是.
例3（1）（山东烟台）如图，直线经过点和点，
直线过点A，则不等式的解集为．
(2)（湖南长沙）已知关于x的不等式组只有四个整数解，
则实数的取值范围是．
例4（2012年南京）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号。
【小结】了解不等式的概念,能正确识别一元一次不等式（组），牢记求一元一次不等式组解集法则或借数轴直观判断，防止出错；掌握一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法，注意在数轴上的“空心圆”和“实心点”，本节常以选择题和填空题出现！
第11课时一元一次不等式(组)及其应用
【课前展练】
1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤元；下午，他又买了斤，价格为每斤元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（）
A. B. C. D.
2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存()
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
3．已知一个矩形的相邻两边长分别是和，若它的周长小于，面积大于，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）
4．若方程组的解是负数，那么a的取值范围是．
【考点梳理】考点一求不等式（组）的特殊解：
不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.
考点二列不等式（组）解应用题
列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：②找：③设④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
【典型例题】
例1一次函数（是常数，）的图象如图
所示，则不等式的解集是（）
A． B． C． D．
例2（贵州黔东南）若不等式组无解，求m的取值范围.
例3绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农
王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
例4（2011孝感）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.
（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？
（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？
例5（2012湖南常德）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：
A种产品 B种产品 成本（万元／件） 0.6 0.9 利润（万元／件） 0.2 0.4 若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？
例6(浙江义乌)据统计，底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度。（本题计算结果精确到个位）（1）预计2012年底义乌市户籍人口约多少人？（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩？
【小结】能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决实际问题尤其是方案设计问题，会解一元一次不等式（组），其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，本节多以解答题，形式出现。
第12课时平面直角坐标系、函数及其图像
【课前展练】
1、（孝感2008）下列曲线中，表示y不是x的函数是（）
2.．（孝感2010）均匀地向如图所示的容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，能大致反映水面高度h随时间t变化的图象是（）3.（孝感2011）一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为（小时），航行的路程为（千米），则与的函数图象大致是（）
ABCD
4．（孝感2012）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A（﹣3，2）B（2，﹣3）C（1，﹣2）D（3，﹣1）
5.（武汉2011）函数?中自变量x的取值范围是????A.x≥0.?B.x≥-2.?C.x≥2.?D.x≤-2.
6.（武汉2010）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）
(A)（13，13）(B)（―13，―13）(C)（14，14）(D)（－14，－14）
7.（武汉2012）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒。在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123.其中正确的是A.①②③??B.仅有①②??C.仅有①③??D.仅有②③
【要点提示】
1.了解平面直角坐标系以及平面内点的坐标、坐标轴上点、平行坐标轴、各象限角平分线的点的特征，对称点的特征，点到坐标轴和原点的距离。
2.掌握平面直角坐标系中点的平移、对称、旋转以及位似坐标的关系。
3.了解函数的表示方法以及图像画法
【考点梳理】1.坐标平面内的点与一一对应．
2.根据点所在位置填表（图）
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3.轴上的点______坐标为0,轴上的点______坐标为0.
4.P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
5.描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．
6.函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．
7.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。
8.函数基础知识
(1)函数:如果在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的，y都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y是因变量．
(2)自变量的取值范围：①函数关系式是整式，自变量取值是．②函数关系式是分式，自变量取值应使得不等于0．③函数关系式是偶次根式，自变量取值为为非负数．④实际问题的函数式，使实际问题有意义。
(3)常量与变量：常量：在某变化过程中的量。变量：在某变化过程中的量。
【典型例题】【例1】⑴点A(-2,1)所在象限为，关于y轴对称的点的坐标为_______；关于原点对称的点的坐标为_____.
⑵若点P(2，k-1)在第一象限，则k的取值范围是.
⑶5.如图,所示的象棋盘上，若位于点（1，－2）上，位于点（3，－2）上，则位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）
【例2】函数y=+中，自变量x的取值范围是.
【例3】如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）.过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N.设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y.则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
【例4】在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_______．
（2）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是_____．
【例5】一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体
温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫
了.图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()
⑵汽车由长沙驶往相距400km的广州.如果汽车的平均速度是100km/h,那么汽车距广州的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为()
【例6】（1）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，
按市场价售出一些后，又降价出售,售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题:
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元，问他一共带了多少千克土豆.
（2）小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
【小结】
1.掌握自变量取值范围的求法；
2.能根据所给的实际问题，画出相应的函数图象，同时会根据函数的图象解读相关的信息；
3.一次函数、二次函数、反比例函数的图象是础，数形结合的思想是核心.
第13课时一次函数
【课前展练】
1.已知函数：①y=－x，②y=，③y=3x－1，④y=3x2，⑤y=，⑥y=7－3x中，正比例函数有，一次函数有
2.若正比例函数（≠）经过点（，），则该正比例函数的解析式为___________.
3.如图，一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集是．
4.一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的解析式可以是.（任写出一个符合题意即可）
5.两个一次函数y1=mx+n．y2=nx+n，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）
6.生物学研究表明：某种蛇的长度y(㎝)是其尾长x(cm)的一次函数，当蛇的尾长为6cm时，蛇长为45.5㎝；当蛇的尾长为14cm时，蛇长为105.5㎝；当蛇的尾长为10cm时，蛇长为_____㎝；
【要点提示】利用题设中所给条件：两组变量的值；图象上两个点的坐标；直线在坐标轴上的截距；直线与坐标围成图形的面积；两直线的平行关系等求一次函数的解析式；根据一次函数的图象特征、性质不画函数图象确定一次函数图象所经过的象限，增减性以及ｋ,b的取值范围;根据实际问题中的条件写出函数解析式，并能依据实际问题确定自变量的取值范围；运用函数的相关知识优化设计、确定最佳方案
【考点梳理】1．正比例函数的一般形式是________．一次函数的一般形式是_______________.
2.一次函数的图象是经过和两点的.
3.求一次函数的解析式的方法是，其基本步骤是：⑴；
⑵；⑶；⑷.4.一次函数的图象与性质k、b的符号 k＞0b＞0 k＞0b＜0 k＜0b＞0 k＜0b＜0 图像的大致位置
经过象限 第象限 第象限 第象限 第象限 性质 y随x的增大
而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
5.直线和直线平行，则有，垂直则有
【典型例题】
【例1】①已知关于的函数，当时，是的一次函数。此时的解析式为
②一次函数的自变量的取值范围≤≤，想应函数值范围是≤≤，求该一次函数的解析式.
③已知一次函数的图象过点，且与坐标轴围成的三角形面积为6.求次一次函数的解析式.
④直线沿轴平移后过点，求平移后的直线解析式
⑤已知直线,若直线与已知直线关于轴对称,求的值
【例2】已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
⑴求这个一次函数的解析式.⑵试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.
⑶求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
【例3】在平面直角坐标系中，有两点，现另取一点，当时，的值最小．
（孝感2009）
【小结】1.求一次函数的解析式y=kx+b的基本方法是待定系数法，通过题设中的条件转化为①两组变量的值；②两个点的坐标，均可求出一次函数的解析式.
2.利用一次函数的相关知识解决实际问题是中考命题的趋势.而一次函数的定义、性质是解决好实际问题的基础，依据实际问题中的相互关系正确写出函数关系式是解题的关键.
第14课时反比例函数
【课前展练】
1.下列函数中，是反比例函数的为（）
A.；B.；C.；D.
2.反比例函数中，当＞0，随的增大而增大，则的范围是___________
3.已知函数y=（m2－1），当m=_____时，它的图象是双曲线．
4.（孝感2010）双曲线y＝与y＝在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
5.（孝感2011）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且
AB∥轴，C、D在轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______.6.（2012?孝感）若正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）
A （2，﹣1） B （1，﹣2） C （﹣2，﹣1） D （﹣2，1） 【要点提示】反比例函数中的比例系数k的几何意义，反比例函数图象特征的性质，判断函数图象分布的象限和变化趋势
【考点梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2）中分母x的指数为1；例如y=就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．
3.反比例函数的图象和性质
k的符号 k＞0 k＜0 图像的
大致位置 经过象限 第象限 第象限 性质 在每一象限内y随x的增大而 在每一象限内y随x的增大而 4．的几何含义：反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何
意义，即过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴
垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.
【典型例题】
【例1】某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（）．
A、不大于m3B、不小于m3C、不大于m3D、不小于m3
【例2】（青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，
若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________
【例3】（潍坊）点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为________．
例4】（凉山州）如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为1，则反比例函数的解析式为_________．
【例5】（荆州）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为．
【例6】（黑龙江）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…，过A1、A2、A3、A4、A5…分别作x轴的垂线与反比例函数y=的图象交于点P1、P2、P3、P4、P5…，并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3…面积分别为S1、S2、S3…，按此作法进行下去，则Sn的值为_________（n为正整数）．
【例7】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是（把正确结论的序号都填上）．
第15课时一次函数和反比例函数的综合应用
【课前展练】
1．（随州）如图，直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A，B两点，交x轴于点C，若AB：BC=（m﹣1）：1（m＞1），则△OAB的面积（用m表示）为（）
A． B． C． D．
2．（黔东南州）设函数y=x﹣3与的图象的两个交点的横坐标为a，b，则=_________．
3．（连云港）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜+b的解集是_________．
4（2011湖北荆州）如图，双曲线y=2x?（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是．5.（2012湖北恩施3分）已知直线y=kx（k〈0）与双曲线于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则3x1y2-8x2y1的值为【】
A．﹣5B．﹣15C．5D．15
【典型例题】【例1】（孝感2009）如图，点P是双曲线（）上一动点，过点作轴、轴的垂线，分别交轴、轴于A、B两点，交双曲线于、两点．
（1）图1中，四边形的面积（用含、的式子表示）；
（2）图2中，设点坐标为．判断与的位置关系，并证明你的结论；（4分）
记是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）
【例2】两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点
在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．
⑴求证：四边形的面积是定值；
⑵当时，求的值；
⑶若点的坐标为，的面积分别记为、，设．①求的值；②当为何值时，有最大值，最大值为多少？
第16课时二次函数及其图象
【课前展练】
1孝感2008）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
2.如图1所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是．
3.二次函数的最小值是（）A.－2B.2C.－1D.1
4.二次函数的图象的顶点坐标是（）
A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3）
5.已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【】
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【要点提示】通过配方确定二次函数的图象（抛物线）的对称轴方程、顶点坐标、函数的最大或最小值；能根据二次函数的解析式说出抛物线的开口方向、对称轴的位置，与y轴交点的坐标；会根据题设中已知的三组变量的值.抛物线上三个点的坐标、顶点坐标，与x轴的交点等条件，利用待定系数法求了二次函数的解析式；能通过描点法或四点定位法画出二次函数的图象；能根据二次函数的图象特征确定抛物线解析式中a、b、c的符号（或取值范围）
【考点梳理】
1.二次函数解析式的几种表现形式
（1）一般式：（2）顶点式：
（3）交点式：，其中是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，或是二次函数的解析式对应的一元二次方程的两个根.
2.二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线；a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方原形式是y=a(x+)+,则抛物线对称轴方程是x=;顶点坐标为；若a>0，y有最小值，当x=时，ymin=;若a<0，y有最小值，当x=时，ymax=.
4.若a>0，当x>时，y随x的增大而增大；当x<时,y随x的增大而减小；若a<0，当x>时,y随x的增大而减小，当x<时，y随x的增大而增大.
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的个数可由b2－4ac的取值来判断.当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
6.二次函数的图像和图像的关系.
7.二次函数中的符号的确定.
【典型例题】
【例1】求满足下列条件的抛物线的解析式
①（1,2）（-1,6）（3,6）②（-1,0）（3,0）（4,6）
③顶点（1，-2），且过点（2，-3）④对称轴为x=-1，且过点（0,3），（1,7）
【例2】已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
④x取什么值时，函数值等于3？
⑤x取什么值时，函数值大于3
【例3】.已知抛物线y＝x2－2x－8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
【例4】（2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
第17课时二次函数的综合应用
【课前展练】
1（孝感2009）．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则…的值是（）
A． B．C． D．
2.（孝感2011）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【】
A．3个B．2个C．1个D．0个
3.（2012湖北孝感3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是▲(填正确结论的序号)．
①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．
4.（2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：
①它的图象与轴有两个公共点；
②如果当≤1时随的增大而减小，则；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；
④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．其中正确的说法是▲．（把你认为正确说法的序号都填上）
【典型例题】
【例1】(孝感201012分)如图，已知二次函数的图象顶点坐标为(2，0)，直线y＝x＋1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．
(1)二次函数的解析式为y＝．
(2)证明点(―m，2m―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上．
(3)C为线段AB的中点，过点C作CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于点D．
①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是；
②二次函数的图象上是否存在点P，使得S△POE＝2S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中轴上，折叠边AD，使点D落在轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（），其中.
（1）求点E、F的坐标（用含的式子表示）；（5分）
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；（4分）
（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求、、的值.（5分）
图（1）图（2）
【例3】（2012?孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；
（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q当点P的坐标为_________时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为_________时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）
第18课时函数的综合应用
【课前展练】
1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（）
A．Q＝0．2t；B．Q＝20－2t；C．t=0．2Q；D．t=20—0．2Q
2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高.
4.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空：
⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为____，自变量x的取值范围是_____；
⑵药物燃烧后y关于x的函数关系式为___________
⑶当室内空气中每立方米的含药量为3毫克时消毒才有效，有效时间为分钟
【考点梳理】
1.解决函数应用性问题的思路
面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。
2.解决函数应用性问题的步骤
（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。
（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。
（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。）
3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。
【典型例题】
【例1】（孝感2009）五月份，某品牌衬衣正式上市销售，5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0.设该品牌衬衣的日销售量为P（件），销售日期为n(日)，P与n之间的关系如图所示．
（1）写出P关于n的函数关系式P=（注明n的取值范围）；
（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销售量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？
（3）该品牌衬衣本月共销售了件．
【例2】（2012湖北孝感10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．
实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)：
时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量V(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 (1)在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；
(2)如果小王同学继续实验，请探求多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)？
(3)按此漏水速度，一小时会漏水千克(精确到0.1千克)．
实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？【例3】（2012湖北随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：
(1)解方程x2－2x－3=0.
巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。
接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
(2)解关于x的方程mx2+(m－3)x－3=0(m为常数，且m≠0).
老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
(3)已知关于x的函数y=mx2+(m－3)x－3(m为常数).
①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C)；
②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为点B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围.
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.
第19课时几何初步及平行线、相交线
【课前展练】
1.下图能说明∠1＞∠2的是()
2.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A.70°B.65°C.50°D.25°
3.如图，直线则的度数为（）
A． B．C． D．
4.如图，延长线段到，使，若，则线段是的倍．
5.如图,已知直线,则
6.如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°
方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝__________度．
【考点梳理】
1.两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.
2.1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3.如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.
4.___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5.过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6.平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7.平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8.平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
【典型例题】
例1．(1)如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD=.
(2).如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°,则∠BOM等于（）
A.38°B.104°C.142°D.144°
例2．（1）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
（2）如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是_________．
（3）如图，则．
例3．（1）小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得，则的度数是（）
A．450B．550C．650D．750
（2）如图，a∥b，点M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（）
A．180°B．270°C．360°D．540°
例4．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
[小结]本节主要考查线段，角，相交线与平行线的概念，能运用方程思想解决互余、互补、平行线的性质和一些有关计算线段、角的问题．本节考点多以选择题，填空题的形式出现。
第20课时三角形与全等三角形
【课前展练】
1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长__
2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=，∠2=，则∠3=．
3．如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）
A．B．C． D．
4．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是()
A．14 B．15 C．16 D．17
5．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（）
A．32.5° B．57.5° C．65°或57.5° D．32.5°或57.5°
6．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，
则图中全等三角形共有（）
A．2对 B．3对C．4对 D．5对
【考点梳理】
考点一、三角形的分类：
1．三角形按角分为______________，______________，_____________．
2．三角形按边分为_______________,__________________.
考点二、三角形的性质：
1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
考点三、三角形中的主要线段：
三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)
考点四、全等三角形
1.全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
2.三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3.全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
【典型例题】
例1．（1）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）
A．3cmB．4cmC．7cmD．11cm
（2）如图，在折纸活动中，小明制作了一张⊿ABC纸片，
点D、E分别是边AB、AC上，将⊿ABC沿着DE折叠压
平，A与A’重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（）
A．150°B．210°C．105°D．75°
（3）现有3㎝，4㎝，7㎝，9㎝长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
例2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．例3．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
第21课时等腰三角形与直角三角形
【课前展练】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4cm，则其腰上的高为cm．
3.如图，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为．
4.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（）
A． B． C． D．
5.如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
【考点梳理】
考点一．等腰三角形的性质与判定：
1.等腰三角形的两底角__________；
2.等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
3.有两个角相等的三角形是_________．
考点二．等边三角形的性质与判定：
1.等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2.三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
考点三．直角三角形的性质与判定：
1.直角三角形两锐角________．
2.直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4.勾股定理：_________________________________________．
5.勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典型例题】
例1．如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
例2．（1）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）
A． ② B． ①② C． ①③ D． ②③ （2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC
的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）
A． 3 B． 2 C． D． 1 例3．在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
例4．如图，△是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作⊥于，连接交于.
（1）当∠时，求的长；
（2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由．
第22课时解直角三角形及其应用
【课前展练】
1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90o，则sinA等于（）
A． B．C． D．1
2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（）
A．B．3C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（）
A．3B．5C．D．
4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）
A．B．4mC．m D．8m
5.如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）
A.B.C.D.
【考点梳理】
1．sinα，cosα，tanα定义sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______．
2．特殊角三角函数值
30° 45° 60° sinα cosα tanα
3．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．
4．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________．
5．如上图，解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．
4．如图仰角是____________,俯角是____________．
5．如图方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
6．如图坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．
【典型例题】
例1．先化简．再求代数式的值．其中a＝tan60°－2sin30°．
例2．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
例3．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
例4．如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）
第23课时多边形和平行四边形
课前展练
1．一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数是。
2．（2012成都）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1=________．
3．如图所示，E是平行四边形ABCD内任一点，若S四边形ABCD=6，则图中阴影部分的面积为（）
A．2 B．3C.4D.5
4．ABCD中，∠B=30°，AB＝4cm，BC=8cm，则四边形ABCD的面积是_____.
5.行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是.
６．如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（）
A．B．C．D．
考点梳理
１.多边形的相关知识
（１）n边形的内角和为．外角和为．
（２）过n边形每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条．
（３）正多边形：各边，各角的多边形。
２．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______并且；
（２）平行四边形的对角，邻角；
（３）平行四边形的对角线；
（４）平行四边形是对称图形。
3．平行四边形的判定
（1）两组对边分别的四边形是平行四边形；
（２）两组对边分别的四边形是平行四边形；
（３）一组对边的四边形是平行四边形；
（４）两组对角分别的四边形是平行四边形；
（５）对角线的四边形是平行四边形。
例1.（1）已知一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是。
（2）某商店出售下列形状的地砖：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形，若只能选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有种。
例2.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点.求证：AE与DF互相平分
例3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB中点，连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．
例4.如图，平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
例5如图，在ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
(1)指出图中所有的全等三角形；（2）求证：
第24课时矩形、菱形、正方形
【课前热身】
1.矩形的两条对角线的一个交角为60o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为cm.
2.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.
3.若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为．
4．（2012?广州）在平面中，下列命题为真命题的是（）
A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
考点梳理
考点一矩形的定义、性质和判定
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线；
(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有条对称轴；它的对称中心是.
3.判定：
（1）有的平行四边形是矩形；
（2）有的四边形是矩形；
（3）对角线平行四边形是矩形。
考点二菱形的定义、性质和判定
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质：（1）菱形的四边，对角线互相，并且每条对角线
（2）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3.判定：（1）有的平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形；
（3）对角线的平行四边形是菱形。
考点二正方形的定义、性质和判定
定义：有一个角是直角的菱形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形。
性质：（1）正方形四个角都是，四条边；
（2）正方形两条对角线，并且每条对角线平分一组对角。
3.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
【典型例题】
例1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC△ECD；
（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．
例2.如图，已知⊿ABC，按如下步骤作图：①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE//AB交MN于点E，连接AE、CD。
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，⊿ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积。
例3.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求证：AF-BF=EF；（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．
第25课时梯形
课前展练
１．如图．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD=25°，则∠BAD的大小是（）
A．40°B．45°C．50°D．60°
２．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）
A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD
３．（2012?广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，
则梯形ABCD的周长是（）
A．26B．25C．21D．20
４．如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=4,BC=7.则∠B的度数是．
考点梳理
考点一梯形的定义：一组对边平行，另一组对边的四边形叫做梯形．其中平行的两边叫做，两底间的距离叫做梯形的．两腰相等的梯形叫，一腰与底垂直的梯形叫．
考点二等腰梯形的性质和判定
1．性质：（1）等腰梯形的两腰，两底；
（2）等腰梯形在同一底边上的两个角；
（3）等腰梯形的对角线；
（4）等腰梯形是对称图形，对称轴是．
2.判定：（１）定义法
（２）同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形；
（３）对角线的梯形是等腰梯形．
考点三梯形的中位线
１．定义：连接梯形的线段叫做梯形的中位线
２．性质：梯形的中位线两底，并且等于的一半．
考点四梯形的面积：Ｓ梯形＝（＋）＝
考点五解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法：
基本思路：
①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
②“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
③“延腰”：构造具有公共角的两个三角形．
典型例题
例１．在等腰梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，ＡＤ＝３，ＡＢ＝４，，则下底ＢＣ＝．
例２．在等腰梯形ＡＢＣＤ中，AD∥BC，ＡＤ＝３，ＢＣ＝７，，求对角线ＡＣ的长．
例３．梯形ＡＢＣＤ中，的平分线交梯形中位线ＥＦ于Ｐ，若ＥＦ＝３，则梯形ＡＢＣＤ的周长是．
例４．如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，把矩形沿直线ＡＣ折叠，点Ｂ落在点Ｅ处，连接ＤＥ．
求证：四边形ＡＣＥＤ是等腰梯形．
若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求四边形ＡＣＥＤ的周长和面积．
第26课时圆的有关概念和性质
【课前展练】
1.（2012,江苏苏州）如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=，则∠BDC的度数是
A.20°B.25°C.30°D.40°
2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（）
A．28°B．56° C．60°D．62°
3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()
A．45°B．85°C．90°D．95°
4.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为，则弦AB的长为（）
A．3 B．4C．6 D．9
5.在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数.
6.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E。
（1）请你写出四个不同类型的正确结论；
（2）若BE=4，AC=6，求DE。
【要点提示】圆的基本性质应用要点：垂径定理，圆周角定理。垂径定理是圆中利用勾股定理进行计算的基础，圆周角定理是圆中角度转换的基本依据。
【考点梳理】
1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦：
2．圆的有关性质：
（1）圆是轴对称图形，其对称轴是；
垂径定理：垂直于弦的直径，并且．
推论：平分弦（不是直径）的直径，并且．
（2）圆是中心对称图形，对称中心为．圆是旋转对称图形，圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合（这就是圆的旋转不变性）.
弧、弦、圆心角的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是；900的圆周角所对的弦是．
3．三角形的内心和外心:
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
（2）三角形的外心：（3）三角形的内心：
4.圆周角定理
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半．
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【典型例题】
例1在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长等于6cm，若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动（滑动过程中，AB长度不变），则弦AB的中点C的运动后形成的图形是 .
例2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则等于（）
A． B．C． D．
例3已知如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，，垂足是E，，垂足是F，求证CE=DF.
小明同学是这样证明的.
证明：
？
？
，
即CE=DF
横线及问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但证明过程欠完整，相信你再思考一下，一定能写出完整的证明过程.”请你帮助小明订正此题，好吗？
例4⊙的半径为，弦//，且，求与之间的距离.
例5如图，BC为半圆O的直径，，垂足为D，过点B作弦BF交AD于E点，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE.
求证：（1）AB=AF；
（2）.
【课堂小结】
垂径定理、圆心角与弧关系定理、圆周角定理是证明和解决圆中线段之间、弧之间、圆心角、圆周角这间和差倍分关系的基本理论依据.
与圆有关的位置关系
【课前展练】
1.⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（）
A．内切、相交B．外离、相交
C．外切、外离D．外离、内切
3.已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（）
A.1cmB.7cmC.10cmD.1cm或7cm
5.已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是.
【要点提示】点、直线、圆与圆的位置关系可以由相关的数据关系来确定，反过来，由相关的数据关系可以确定点、直线、圆与圆的位置关系。这是考查的重点所在。
【知识梳理】
1.点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①dr，②dr，③dr.
2.直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③.
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①dr，②dr，③dr.
3.圆与圆的位置关系共有五种：（两圆圆心距为d，半径分别为）
相交；外切；
内切；外离；内含
【典型例题】
例1.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为（t≥0）．
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
例2：如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）点E是轴上一点，且CE=，求BE的长.
例3：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为15cm，20cm，公共弦AB的长为24cm，则两圆的圆心距为（）
A．25cm B．7cmC．25cm或7cm D．9cm或16cm
例4：如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O1于点N.
①过点A作AE//CN交⊙O1于点E，求证：PA=PE；
②（＊）连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长.
例5：如图，⊙O与⊙相交于A、B两点，点O在⊙上，⊙的弦OC交AB于点D.
求证：
【课堂小结】在解决相交两圆的有关问题时，连接公共弦是常作的辅助线；但在没有给出相关图形时，一定要考虑两圆心与公共弦的位置关系，可能要分类讨论。
切线的性质与判定
【课前展练】
（2012?恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）
A．3cm B． 4cm C． 6cm D． 8cm
（2011·孝感）如图，某航天飞机在地球表面点的正上方处，从处观测到地球上的最远点，若∠=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）
A.B.
C.D.
（2007·孝感）如图，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，且∠MBN=70°，则=．
（2011·孝感）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为____________.
如图，正方形ABCD中，半圆O以正方形ABCD的边BC为直径，AF切半圆O于点F，AF的延长线交CD于点E，则DE：CE=。
(2012,荆门)如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2,0），B（1，2），则tan∠FDE=．
如图1，⊙O内切于，切点分别为．，，连结，
则等于（）
A． B． C． D．
【考点梳理】
考点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定常用方法有三种：
（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
辅助线的作法：
证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种：
（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。”应用的是切线的判定定理。
（2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。应用的是切线的判定方法（2）。
考点2：切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。记为“见切线，连半径，得垂直。”
考点3：切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
对于切线长定理，应明确：
（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；
（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；
（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；
（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；
（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
【要点提示】切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，多以填空、选择、解答题出现，在孝感市历年中考中，几何的考查基本集中在考查切线的性质和判定定理。
【典型例题】例1：（2006·孝感）如图15，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，E为BC边的中点，连DE.
⑴请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论.
⑵当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R.
例2：（2008·孝感）如图，为的直径，切于，于，交于．
（1）求证：平分；（5分）
（2）若，，求的半径．（5分）
例3：（2011·孝感）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是
上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C
作CM∥BP交的延长线于点M.
（1）填空：∠APC=______度，∠BPC=_______度；
（2）求证：△ACM△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.
例4：(2010·孝感)如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D在上运动(不与点B、C重合)，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E，连接AD、CD．
(1)在图1中，当AD＝2时，求AE的长．
(2)如图2，当点D为的中点时：
①DE与⊙O的位置关系是；
②求△ACD的内切圆半径r．
圆的有关计算
【课前展练】
圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cmC．3cm D．cm
圆锥侧面积为,侧面展开图圆心角为,则圆锥母线长为（）
A.64cmB.8cmC.㎝D.㎝
（2008﹒孝感）中，，，，两等圆，外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）
A． B． C． D．
(2012·十堰)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为．
如图，小正方形构成的网络中，半径为1的在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留）。
【要点提示】应掌握圆的周长、弧长、圆的面积、扇形、弓形面积及简单组合图形的周长与面积的计算；了解圆柱、圆锥的侧面展开图，并会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积以及简单旋转体的表面积；理解正多边形、正多边形的半径、边心距、中心角等概念，会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角的计算问题转化为解直角三角形的问题.
【考点梳理】
1.圆与正多边形的关系
把圆分成等份：
①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
性质：①任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是圆心圆；②正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形还是中心对称图形；③正多边形的有关计算：正n边形的半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形（正n边形的边长a，边心距r，周长p和面积S的计算，归结为直角三角形的计算）
2.圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长，宽是圆柱的母线长L，如果圆柱的底面半径为r，则
3.圆锥圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c，半径等于圆锥的母线长，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为，则
4.圆的有关计算
（1）圆的周长：；（2）弧长：；（3）圆的面积：；
（4）扇形面积：；（5）弓形面积：
【典型例题】
例1：如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将绕点按逆时针方向旋转90°，得到．
（1）在正方形网格中，作出；
（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点所经过的路径长．
例2：如图，在⊙O中．弦BC垂直于半径OA．垂足为E．D是优弧上一点．连接BD、AD、OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC的度教；
（2）若弦BC=6cm．求图中阴影部分的面积．
例4：一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则该几何体的全面积(即表面积)为________(结果保留)【课堂小结】
1.解涉及正多边形的边长、半径、边心距、中心角等有关问题关键是将其化为解直角三角形的问题，而求弧长、扇形面积、弓形面积、圆柱、圆锥的侧面展开图的面积的计算掌握公式和运用公式是很重要的.
2.圆与正多边形的关系是得到正多边形诸多性质和解正多边形的具体体现多边形的轴对称和中心对称是多边形与圆的关系的引申.
3.本课有关求值和计算运用了化归思想.尺规作图
【课前热身】
1.(2012·孝感）我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．
(1)这个中点四边形EFGH的形状是；
(2)证明你的结论．
2.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（）空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．
【知识梳理】
1.五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知线段的垂直平分线；④作已知角的角平分线；⑤过一点作已知直线的垂线。
2.尺规作图的常见应用：①在平面直角坐标系中（或正方形网格中）作出所需的图形；②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；③根据条件作出所需的圆（及与圆有关的线）
3.尺规作图的一般步骤是先画后写，边画边写，另对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）．
【典型例题】
例题1．已知三条线段a、b、c，用尺规作出△ABC，使BC=a,AC=b、AB=c,(不写作法，保留作图痕迹).
例2.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2，画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
例3.如图，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到△AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到△AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2．
例4.(2011·孝感）如图所示，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
图（1）图（2）
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是______对称图形，都不是____对称图形.
（2）请在图（2）中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同.
【课后练习】
1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)
2.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.
3.(2010·孝感）『问题情境』勾股定理是一条古老的数学定理，它有多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
『定理表述』请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
『尝试证明』以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
『知识拓展』利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：
∵BC＝a＋b，AD＝，
又在直角梯形ABCD中，BCAD(填大小关系)，
即．
∴＜．
2016年中考数学总复习导学案
第57页共61页
B
A
0
1
－1
输入
取算术平方根
输出
是无理数
是有理数
消元
转化
–2
3
4
（备用图）
2y–x
–2
3
4
x
y
（第5题）
a
b
c
分式方程
去分母
换元
整式方程
整式方程的解
验根
分式方程的根
解整式方程
y
O
x
B
A
x
y
0
2
h
h
h
h
t
t
t
t
O
O
O
O
注水
A
B
C
D
第6题
第7题
第4题
DA
BA
CA
AA
y
x
o
o
y
x
第6题图
第2题图
y
x
O
P
A
F
B
E
图1
y
x
Oo
P
A
F
B
E
图2
A
C
B
D
E
O
x
y
2
n（日）
P（件）
0
1
10
31
1
2
)
A.
2
1
)
D.
1
2
)
)
B.
1
2
)
)
C.
E
D
B
C′
F
C
D′
A
第2题
（第4题)
北
B
A
C
北
25°
45°
第6题
A
B
C
O
M
D
A
B
D
C
1
2
3
A
B
C
D
E
A
B
C
D
C
B
A
M
N
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
A
D
C
P
B
60°
A
C
D
B
A
B
C
E
D
O
α
5米
A
B
图3
E
A
B
C
D
150°
h
α
a
b
c
O
A
B
C
F
A
B
C
D
E
北
东
C
D
B
E
A
l
60°
76°
A
D
C
EC
B
A
B
N
M
第1题图
第3题图
第4题图
第5题图
D
O
A
F
C
B
E
A
B
C
D
O
P
T
Q
A
A
B
B
C
C
D
D
O
O
E
E
图2
图1
O
A
B
C
第5题
第5题
第4题
40%
A
B
C
a
c
b
图1
a
c
c
b
a
b
A
B
C
D
图2
|
|
