6.1（2）正弦函数和余弦函数的性质（2）
一、教学内容分析
正余弦函数的性质（值域、最大（小）值、周期性、奇偶性、单调性）是继学生学习了正余弦函数的图像后的重要内容.是深入学习后继数学知识及解决实际问题的基本工具.尤其是三角函数的周期性在物理学中、科技生产中有着广泛的应用.在本节学习中，涉及到数形结合、类比、换元、化归等数学思想方法.通过解决有关实际问题，充分显示了三角函数来源于实践需要，同时又广泛应用于客观实际.
本单元重点掌握正（余）弦函数的值域；正（余）弦函数取得最大小值时的自变量的取值集合.理解函数周期性定义，会求一般正（余）弦函数的周期.掌握正（余）弦函数的奇偶性及单调区间.会用正（余）弦函数的性质解决简单的实际问题.
二、教学目标设计
（1）掌握正（余）弦函数的值域（有界性）.
（2）掌握正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.
（3）会用正（余）弦函数的值域（有界性）解决相关实际应用问题.
三、教学重点及难点
正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备
五、教学流程设计
正弦函数图像正弦函数值域
正弦函数取最大值时x的取值集合应用举例
六、教学过程设计
正弦函数和余弦函数的值域
一、情景引入
1．观察
在上节课中，我们探讨了正余弦函数的图像.请同学们观察图像.
2．思考
正余弦函数的值域是什么？值域的涵义是什么?
3．讨论：
回忆正弦函数图像的作图过程.结合正弦线的长度变化情况易得
二、学习新课
1．概念辨析y=sinx的值域是［-1，1］
当且仅当
当且仅当
类似地
y=cosx的值域是［-1，1］
当且仅当
当且仅当
正弦函数、余弦函数的值域相同，但取得最大值1和最小值-1时的x的集合不同.
2．例题分析
例1．求下列函数的定义域与值域
①②
分析：①∵y=sinx的定义域为R，值域是［-1，1］；
∴的定义域应是2x∈R，即x∈R，值域是［］；
②虽然y=cosx的定义域为R，值域是［-1，1］.但本题中-2cosx作为二次根式的被开方数，所以-2cosx≥0，即cosx≤0.根据余弦比的符号可求得x求值范围，并由0≤-2cosx≤2，可得函数值域.
解：①定义域为R，值域是［］；
②定义域为，值域为.
例2.见课本
例3.见课本
3．问题拓展
关于例2.一般地函数
当A＞0,,此时x的取值可由解得
,此时x的取值可由解得
当A＜0,,此时x的取值可由解得
,此时x的取值可由解得
关于例3.一般地对于,可化为正弦形式.对于实际问题求最大小值时,要注意角x的取值范围.
三、巩固练习
1、已知α是第四象限角,且求实数m的取值范围.
2、函数的值域为［-4,2］,求a、b的值.
3、求函数的定义域和值域.
四、课堂小结
正（余）弦函数的值域、取得最大（小）值时的x取集合值.
五、作业布置
1、求函数的值域.
2、求函数的最大值、最小值及其相应的x值.
3、要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，问应如何截取，并求出此矩形的面积.
4、求函数的值域.
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