6.4反三角函数（1）——反正弦函数
一、教学内容分析
根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[-，]，那么函数y=sinx，x∈[-，]就存在反函数，为什么要选取[-，]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx，x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx，x∈[-，]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.
二、教学目标设计
1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，].
2．知道反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像.
3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].
4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.
5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
三、教学重点及难点
教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.
四、教学用具准备
直尺、多媒体设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
1．复习
我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.
2．思考
那么正弦函数是否存在反函数呢？
[说明]因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.
3．讨论
正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）在所取区间上存在反函数；
（2）能取到的一切函数值.
可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.
二、学习新课
1．概念辨析
（1）反正弦函数的定义：
函数y=sinx，x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].
（2）反正弦函数的性质：
①图像
②定义域[-1，1]
③值域[-，]
④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
⑤单调性：增函数
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称.
2．例题分析
例1．求下列反正弦函数的值：
（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）
解：（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=.
（2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0.
（3）因为sin（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-.
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：
（1）sinx=，x∈[-，]；
（2）sinx=-，x∈[-，]；
（3）sinx=-，x∈[-π，0].
解：（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin；
（2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=-arcsin；
（3）在区间[-，0]上，由定义，可知x=arcsin（-）=-arcsin；
在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足sinx=-.因此x=arcsin或x=-π+arcsin.
例3．化简下列各式：
（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；（3）arcsin（sin20070）
解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=.
（2）因为([-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=α，所以arcsin（sin）=arcsin（sin）=
arcsinα=.
（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270
所以arcsin（sin20070）=arcsin（-sin270）=arcsin2x，
因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x=sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）=sin，定义域是[-л，л]，值域是[-，].
3．问题拓展
例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
证明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]
∴sin[arcsin（-x）]=-x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x
又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，
x∈[-1，1].
[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.
例2．设x∈[，]，sinx=，用反正弦函数值表示x.
解：因为x∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π-arcsin.
[说明]对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.
以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.
三、巩固练习
判断下列各式是否成立?简述理由.
（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=-arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.
解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.
四、课堂小结
教师引导学生总结：
（1）反正弦函数的定义；
（2）反正弦函数的性质.
五、作业布置
（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4
（2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
七、教学设计说明
1．关于教学内容
反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用.
2．关于教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.
高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com
-1-/8
高考资源网（www.ks5u.com），您身边的高考专家
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.ks5u.com
反正弦函数的定义
（师生讨论、探究、提炼概念）
反正弦函数的
图象与性质
互为反函数
的两个函数
的图象与性
质的关系
正弦函数
的图象
与性质
应用举例(求特殊值的反正弦函数值、用反正弦函数值表示角、运用反正弦恒等式化简或求值)
巩固、反馈、总结、反思、作业
|
|
