7.3(1)等比数列
一、教学内容分析
本小节的重点是等比数列和等比中项的概念,理解的关键是发现相邻项之间的关系.
本小节的难点是等比数列的递推公式.突破难点的关键是掌握相邻两项或三项之间运算关系.
二、教学目标设计
理解等比数列和等比中项的概念;能正确计算公比及相关的项;通过对等比数列的学习,培养观察、类比分析能力.
三、教学重点及难点
重点:等比数列和等比中项的概念;
难点:等比数列递推关系.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
什么叫等差数列、等差中项?递推关系式是什么?
二、讲授新课
1、等比数列
(1)等比数列的概念引入
研究下面3个数列的递推公式及其特点(课本P19)
1,2,4,8,…;①
5,25,125,625,…;②
1,-,,-,…;③
解答:数列①②③的递推公式分别是:
数列①:,
数列②:,
数列③:.
[说明]启发学生观察并发现如下结论:这三个递推公式都可以写成的形式,得出相邻两项之间的关系.
(2)等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这样的数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用小写字母q表示.
2、等比中项
(1)等比中项的概念
与等差中项的概念类似,如果成等比数列,那么G叫做的等比中项.
等比中项的性质:
如果三个数成等比数列,那么等比中项的平方等于另两项的积.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项.
3、概念深化
以为等比中项的三个数可表示为,显然它们的积是等比中项的立方.
4、例题解析
例1.在数列中,如果数列为等比数列,,求公比及,并用计算器计算、.
解:,=-25,=-6.25,=-0.78125
[说明]①启发学生利用等比数列的定义,即相邻两项的关系解决问题.②让学生回味计算过程,为研究通项公式作铺垫.
例2.求9与25的等比中项G.
解:G=.
例3.在2与9之间插入两个数,使前三个数依次成等差数列,后三个成等比数列,试求出这个数列.
解:设插入的两个数依次为,则有
,
解得分别为或4,6,
所以这个数列的各项为2,,9或2,4,6,9
例4.有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为37,第二个数与第三个数的和为36,求这四个数.(补充)
解:设前三个数分别为,则第四个数为,
由
解得,,
所求的四个数是12,16,20,25或.
[说明]合理利用等差中项与等比中项的性质,可使本题求四个量转化为求两个量.
三、巩固练习
练习7.3(1)
四、课堂小结
等比数列与等比中项的概念,探究它们的递推关系,利用定义进行正确的计算.
五、课后作业
书面作业:习题7.3A组5、7B组1、3
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-4-/4
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运用与深化(例题解析、巩固练习)
递推关系
特征分析
实例引入
课堂小结并布置作业
等比数列、等比中项概念
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