7．3（3）等比数列的前n项和（1）
一、教学内容分析
《数列》是高中数学的重要内容之一．学习了数列的概念、等差数列的通项公式和前n项的求和公式、等比数列的通项公式等知识内容后，为过渡到本节的学习起着铺垫作用．研究等比数列前n项和的公式完整了数列体系，又为进一步学习数列求和、数列的极限等内容打下基础，有承前启后的作用．数列是函数的延续，它实质上是可以看作为一种特殊的函数，函数思想同样在本节渗透．等比数列求和在产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算中有着广泛的实际应用．学习数列需要观察、分析、猜想及综合运用其它知识解决数列中的一些问题，有利于学生数学能力的提高，是培养提高学生思维能力的好题材．
二、教学目标设计
1．进一步理解等比数列的前n项和公式的推导方法；
2．掌握等比数列的前n项和公式及其初步应用；
3．初步形成观察问题、灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力；
4．进一步树立理论联系实际的观点．
三、教学重点及难点
重点：等比数列的前n项和公式及其初步应用．
难点：等比数列的前n项和公式的推导．
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
1、引入
印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事．
相传国王要奖励国际象棋发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒，依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止．”国王立即答应了．
问国王将会给发明者多少粒麦粒？
[说明]以小故事切入，具有趣味性，利用了学生的好奇心，也有利于知识的迁移，明确知识的现实应用．
（2）建立数学模型．求麦粒的数目，实际上是什么数学问题呢？
实际是计算1+2+4+8+…+（=）的值，即求以1为首项、以2为公比的等比数列的前64项的和．
求解数学模型．观察上式的特点，启发学生找到解决问题的
方法．与等差数列类比．在推导等差数列的前n项和时，充分利用了公差，即，…，；另外又可以写为，，…，，这才有了逆序相加法．
那么，对于等比数列是否也可以充分利用公比呢？
方法一：每一项乘以2后都得到它的后一项．
=1+2+4+8+…+，2=2+4+8+…++，两式右边有62项
相同．
相减，得
方法二：逆向思考，提取2，就得到前一项．
=1+2+4+8+…+=1+2=
解得，
据查每千克小麦约10万粒，约吨．2004年世界粮食总产量为吨，因此相当于当今世界82年的粮食总产量．
[说明]解决问题的关键是意识到的模型就是前63个格子里麦粒数目的和，即等比数列前64项的和．
（4）反思抽象．以上解决了一个特殊等比数列前几项的和，那么对于一般的等比数列，我们可以提出什么问题呢？并加以解决．
[说明]问题由学生提出，训练学生发现问题、提出问题的能力．
一般地，设等比数列的公比为，则
（5）解决问题．从特殊问题推广到一般问题，是否可以继续使用解决特殊问题的方法呢？试一试．
[说明]板书时，可以利用前面的特殊化例子，将2改为即可，一方面可以节约时间和板书空间，另一方面让学生体会特殊性与一般性的关系．
方法一：，
相减，得，即
当时，
当时，，则
方法二：
=
即，
当时，
当时，，则
（方法一和方法二完全是特殊化问题的翻版，可以让学生直接回答，进一步理解公式的推导方法和过程．）
（6）讨论探究．同学们还有其它的解法吗？
[说明]引起学生求胜心，激发积极性．启发引导学生自行完成．
由等比数列的定义，得，运用比例的性质，
，即
当时，
当时，，则
概念分析
（1）对问题结构的观察分析，不同的视角获得不同的解题方法．要勤思考．
（2）方法一称为错位相减法．这是一种重要的解题方法，不仅仅在解决数列问题时有重要应用，而且在类似问题（如：函数）中也将发挥它的作用．我们既重视公式的应用，也要重视公式的推导方法．（重结论，也重过程．）
（3）使用等比数列的前n项和公式，必须注意到公比是否等于1，与的公式形式是不一样的．
（4）在时，求和公式将根据已知条件有不同的选择．
，
（5）求和公式中有5个量，结合等比数列的通项公式，
分析得到：若已知其中的3个量，则可以求得其它的2个量，即所谓的“知三求二”．
例题
例1．求下列等比数列的各项的和：
（1）；（2）
选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．
答案：（1）；（2）
例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及
选题目的：逆向应用公式．
答案：，
例3．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.
选题目的：综合应用公式．
答案：使得大于100的最小的n的值为7.
例4．设数列的前n项和为．当常数满足什么条件时，才是等比数列？
选题目的：沟通与的关系，灵活应用公式．
答案：
练习
P27—练习7.3(4)—1,2,3
小结
先由学生进行小结，再由教师进行小结．本节课从一个实例出发，探索了等比数列的前n项和公式．错位相减法是我们的重要收获．不仅重视探索得到的结论，更应重视探究的过程，重视思维方法（还有两种推导方法）．应用求和公式时一定要首先判断等比数列的公比是否等于1，再选择公式．
本节课渗透的数学思想方法有方程思想、等价转化．
作业
P9—10,P11—7,8
七、教学建议与说明
（1）根据学生认知心理特点，采用从特殊到一般的方式推进教学．
（2）具体实例是浅层次要求，使学生有概括印象，从而推广到一般情形．让学生自己推广，提出问题，培养学生思维能力．
（3）重点是公式的推导，这是培养学生思维深刻性、灵活性、严密性的良好素材，要充分利用这一时机．
（4）公式推导中，以启发性强的设问层层推进，让学生尝试探索，提供学生自主学习的时间和空间，创设宽松的、开放式的环境，可以小组讨论等，点燃学生思维火花，培养学生的创新意识和胆量．
八、教学反思
现实课堂教学中必然会有教师备课中预想不到的问题出现，恰如其分地处理能反映教师的机智，更表现了尊重学生、以学生发展为本的理念．比如就有学生在求解=1+2+4+8+…+时注意到了数字的特殊性，灵活解决1+=1+1+2+4+8+…+=2+2+4+8+…+=4+4+8+…+=…=264，则=-1.简单明了．若将公比2改为3，则该方法就不能发挥作用，真正体现了具体问题具体分析，解决特殊性的方法不见得适用于一般性．抓住时机进一步理解特殊与一般的关系．由等比数列的定义，运用比例的性质探索求和的方法学生不容易想到，需要教师启发引导，“回到定义去！”，并及时进行数学文化渗透：这是两千多年前欧几里德的《几何原本》中提供的方法．解决问题的方法多样化，但都紧紧围绕等比数列的定义，所谓“一题多解，多解归一”，强调解决问题的突破点和实质，并强调错位相减法的重要性：在解决特殊数列求和中的价值体现．
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实例引入
建立数学模型
反思抽象
解决问题
概念分析
运用深化
求解数学模型
小结作业
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