８.２(1)向量的数量积（1）
一、教学目标设计
通过物理学中力的做功，领会向量的数量积的定义及几何意义；理解向量数量积的性质及运算律；
领略猜想、论证的数学思想，体会其中的数学思维过程；
感捂数学来自于生活实践，数学与其它自然科学密切相关，增强学习数学的兴趣．
二、教学重点及难点
重点：平面向量的数量积的定义、性质的及其初步应用
难点：向量的数量积性质的应用
三、教学用具准备
直尺，投影仪
四、教学过程设计
一．情景引入
我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中表示一个什么角度？表示力的方向与位移的方向的夹角．
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量，来规的含义
二．学习新课
首先学习向量的夹角的概念．
1．对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中.
①②③④
①的夹角为，向量与向量方向相同；
②的夹角为，向量与向量方向相反；
所以时，表示向量与向量平行,记作；
③的夹角为；
其中当时，表示向量与向量垂直,记作；
④的夹角为
规定：与其它向量的夹角可根据需要确定.
2．如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即.
按数量积的定义，在力所做的功：的数量积记作,读作向量的数量平方,显然.
规定：零向量与任意向量的数量积为，即，．
注意：
①两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定．
②一种新的运算法则，以前所学的数的运算律、性质不一定适合．
③不能写成，表示向量的另一种运算．
例1如图，已知是边长为6的正三角形，求和．
（课本P64例1）
解：因为，所以
＝
因为
＝
3．数量积的几何意义
定义：叫做向量在方向上的投影．
注意：①投影也是一个数量，不是向量．
②当为锐角时投影为正值；
当为钝角时投影为负值；
当为直角时投影为0；
当时投影为；
当时投影为．
向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
正如物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．
思考:向量在方向上的投影,能否由的运算表示?
答:根据的数量积定义可知:
由此可知向量在方向上的射影线段长短
4．向量的数量积的运算性质
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
证明：设的夹角为，则，
∴
（3）
证明：若，
若，
（4）
证明：（1）如果至少有一个是，上述等式显然成立
（2）如果都是非零向量
在平面内取一点，作，
∵（即）在方向上的投影，
等于在方向上的投影和，
即：，
∴，
∴.
三．巩固练习
判断下列结论是否正确：
1．若＝0，则或;（）
2．若，则;（）
3．若为不共线向量，则;（）
4.不与垂直.（）
四．课堂小结
（l）向量的数量的物理模型是力的做功＝的几何意义;
（）的结果是实数（标量）（）．
,P671(1)(2)，习题8.2,P341(1)(2)(3)
教学设计说明及反思
本节课通过创设物理模型和简单实例等数学情景，使得抽象的数学概念变得具体、形象而又生动．具体的物理概念先给数学做了铺垫，但是在领悟数学概念的同时，也对物理概念有了更加深刻的理解，促进了对学科知识之间的融会贯通．探究新课的过程中，通过数与形的结合，深化了对向量的数量积的概念的理解，领悟了向量的数量积的几何意义，整个过程一气呵成．通过师生一起类比、联想、猜测、推导、归纳、总结向量数量积运算的性质，培养严谨的个性和良好的数学思维品质，训练思维能力，提高学习热情和研究兴趣．
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