11.3两条直线位置关系
一、教学内容分析
本小节的内容大致可以分为两部分：一是两条直线的交点、位置关系；二是两条直线的夹角.预计需要三课时:第一课时,两条直线的交点和位置关系;第二课时,两条直线的夹角;第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.
在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中，我们用代数方法，在平面直角坐标系中，研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系，体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.
本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断，以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上，抓住“形与数”的对应，理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解，将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题，由此得出两条直线的三种位置关系：相交、平行、重合，对于相应的二元一次方程组就是：有唯一解、无解、无数多个解.
然后对两直线相交的情况作定量的研究，规定两条相交直线所交成的锐角或直角通过两直线的讨论，运用已有知识解决新问题的能力数形结合能力
六、教学过程设计
一、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线，移动两条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.
思考并回答下列问题
1、平面上两条直线有几种位置关系？各有什么几何特征？
解答：两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合.
从几何特征上看：相交有唯一的公共点；平行没有公共点；重合至少有两个公共点，进而有无数个公共点.
[说明]通过教具演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系，由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出，垂直是相交的一种特殊情况.
2、在直角坐标系中，这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢？
[说明]通过对已有相关知识的回顾，自然地提出此问题（暂不要学生回答），给出下面的引例，引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习，明确了本节课的学习目标，促进学生学习的主动性.
二、学习新课
关于两直线的交点、位置关系
1、概念引入
引例：解下列方程组：
（1）；（2）；（3）．
然后，请你回答：上述方程组所表示的两条直线的交点个数？如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
解答：由直线方程的概念，我们知道
方程组（1）有唯一的解，两条直线有且只有一个公共点为；
方程组（2）有无数组解，两条直线有无数个公共点；
方程组（3）无解，两条直线无公共点.
[说明]①启发学生观察，并得出如下结论：方程组（1）~（3）的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的；方程组（1）的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例，引导学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入.
2、概念形成
一般地，设两条直线的方程分别为
：（不全为零）……①
：（不全为零）……②
两条相交直线的交点坐标
思考并回答：如何求直线、的交点？
解答：由直线与直线方程的对应关系，若两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解，反之，若两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线、交点的求法：
联立与的方程:……(Ⅰ)，此方程组的解,即为直线、交点.
两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系
思考并回答：由方程①②如何判断直线、的位置关系？
解答：由引例分析、归纳出：直线、的三种位置关系：相交、平行、重合，对于直线、的方程联立的方程组是：有唯一解、无解、无数多个解．因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线、的位置关系.
联立与的方程，得方程组:…(Ⅰ)，此方程组的解的个数与直线、交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:，，.则
当时，方程组(Ⅰ)有唯一的解为，此时、相交于一点，交点坐标是.
当且中至少有一个不为零时，方程组(Ⅰ)无解，此时、没有公共点，即直线与平行.
当时，方程组(Ⅰ)有无穷多个解，此时、有无数多个公共点，即直线与重合.
[说明]①这个问题是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”；②指出：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究、的值，判断两直线的平行、重合、相交.②通过引例（2）（3）指出，前提条件是直线方程为一般形式.
3、概念的辨析
两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:
与相交方程组(Ⅰ)有唯一解即；
与平行方程组(Ⅰ)无解且中至少有一个不为零；
与重合方程组(Ⅰ)有无穷多解.
时，与平行或重合，即是与平行的必要非充分条件.换言之，∥；若两条直线不重合，则//．
[说明]引导学生得出：①两条直线的位置关系，可以通过计算系数构成的行列式得到；②对易出错的概念进行反思.
4、例题分析
例1已知直线：与：，求实数的值，使直线与平行.（补充例题）
解：先把直线的方程化为一般形式：.
,由,∴，解得或，
当两方程化为与显然平行；
当两方程化为与两直线重合.
∴不符合，∴即为所求．
[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，将学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．②强调是两直线平行的必要条件，求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合，注意检验.
例2讨论直线下列各组直线之间的位置关系.（课本p17例2）
(1)与;
(2)与.
[说明]①及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解，在解题步骤和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思考，以及严谨认真的数学学习习惯;②小题(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.
例3求经过原点且经过直线与直线的交点的直线方程．
解：解方程组：得，∴与的交点是，
设经过原点的直线方程为，把点代入，得，
所以，所求的直线方程为．
[说明]例题的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用，由浅入深，循序渐进的不同层次要求.
例4若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？（补充例题）
解:三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.
（1）若三条直线交于同一点时,
解方程组,得，即与的交点是（），把点（）代入直线的方程得．
（2）若其中至少有两条直线平行时，
由//得：;由得:，
综上：当或或时三条直线不能构成三角形.
[说明]①本例为直线位置关系的综合运用，涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上，列式求解.
5．问题拓展
从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?
与的一个方向向量分别是=,=;一个法向量分别是=,=.则与有如下关系：
相交不平行不垂直;
平行平行垂直;
重合平行垂直.
三种位置关系可以用直线的斜率表示吗？
由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.
若至少有一条直线的斜率不存在，则设此直线方程为,通过图示观察,易知其关系.
若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为:，:,则有
①//且；
②和重合且；
③和相交.
[说明]判断直线位置关系的方法并不唯一，可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯，这种方法更具一般性，便于使用，是本节课学习的重点.
三、巩固练习
练习11.3（1）
[说明]进一步强化判断两条直线位置关系的方法，反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度.
四、课堂小结
本课我们主要学习了哪些？应当注意什么？本节课主要学习了.3----2,3,4,5,6,7,8,9
2、思考题：设直线的方程为，求证：不论m为何值，所给的直线经过一定点.
解方法一：取m=0,1得:,把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m,原方程均成立,
即不论m为何值，所给的直线经过一定点(3,4).
方法二：对于任意实数m,关于的方程
的解都相同
对于任意实数m恒成立,
得:,
即不论m为何值，所给的直线经过一定点(3,4).
[说明]①作业布置1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业布置2设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.
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课堂小结并布置作业
两条直线的位置关系与方程组的解的关系
两条直线的交点坐标
问题引出如何用直线方程判断两直线的位置关系
两条直线的位置关系
（相交、平行、重合）
情境引入
运用与深化(概念辨析、例题解析、巩固练习、问题拓展)
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