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狭义相对论中的绝对理论初探上篇：关于四维复欧氏矢量空间质点力学相关问题的探讨邓晓明2014年10月7日engineerdxm@sina.com摘要：定义了洛伦兹变换矢量形式。给出了分量及方向余弦都是洛伦兹变换协变量，即模及方向都不变的四维绝对矢量概念。补全了传统理论中所忽视的四维矢量表达式中O~系的物理量。揭示四维矢量的物理意义就是O~系的物理量本身。强调四维矢量表达式本身的分量必须
满足洛伦兹变换这一根本要求。由补全后完整的四维动量矢量的模，直接得到狭义相对论的核心定律。证明“四维力矢量”及“四维加速度矢量”表达式本身的分量不满足洛伦兹变换。由此断定两者都不是狭义相对论的物理对象。表明狭义相对论质点力学存在困难。关键词：洛伦兹变换；闵可夫斯基空间；四维速度；四维动量；四维力；四维加速度中国分类号：O412.1前言复欧氏矢量空间[1]，也有文献称复Minkowski矢量空间[2]，是适用于狭义相对论领域的一种特殊的四维欧氏空间。其度规是欧氏的，其三个空间分量为实数，一个时间分量为虚
数。间隔矢量的模长不同于一般的复空间，所以0???sss，其中s是s的共轭。其特殊的空、时分量结构决定时空间隔线元s的性质。当0?s时，也存在零模，即类光间隔0???sss。因为类时间隔为虚数02???sss，所以不满足一般公理化的正定性要求。四维复欧氏矢量空间中的元素是既有模又有方向的四维矢量。是不依赖于任何坐标系而独立存在的客观物理实体。其模和方向都是不变量，其分量满足洛伦兹变换协变性要求。传统理论中仅讨论“模方”不变，忽略了“方向”这一重要几何特征。“模方”是某矢量模的平方，如2aaa??。本来这只是计算过程中间状态的一个术语，现在却作为某种物
理概念加以运用。有的甚至给出了“模方长度（squaredlengthof~）[3]”来强调这一概念的合法性。笔者认为“模方”并不是真正的几何或物理概念。如时间的“模方”，空间位移的“模方”（绝不是面积）及时空间隔的“模方”都没有具体的物理意义。既然一个矢量的模本身就是这个真实物理概念，那又为什么避之而不及呢？答案很简单，这一尴尬概念的出现，就是为了躲避令人生畏的虚数，不得已而采取的一种权宜。然而，满足狭义相对性原理的四
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维时空几何的内在逻辑必不可免要出现虚数[4]。即使用“模方”这块魔术遮布，企图借用度规概念绕过去，也不能完全掩盖虚数幽灵的踪迹。例如“间隔模方”小于零0s2?，即使不提及那个敏感的字眼，而把它称作“类时”（或“类空”），但它的本质就是虚数。1.洛伦兹变换的矢量形式笔者之前的文章[4]已经证明，虚时间ict是四维时空中洛伦兹变换内在逻辑的一个推论。虚单位i是不可随意去掉的符号。给出了四维复欧氏矢量空间的定义μμxes?或μμ~x~~es?(1-1)
这里41,2,3,μ?。参见文章[4]，如果考虑时间分量ctx4i?或t~cx~4i?，则(1-1)式可写成4ctxeesi????或4~t~c~x~~eesi????(1-2)这里1,2,3??。显然?x或?x~为空间分量，cti或t~ci为时间分量。由于时空间隔矢量是某两个确定“事件1”与“事件2”的坐标差。如在O系或O~系，该两事件分别记为：“事件1”：)0,0,0,0(o或)0,0,0,0(~o；“事件2”：ct),p(xi?或)t~c,x~p(i?。由于O系及O~系描述的是同一个客观几何实体，因此有ss~?。由(1-2)式得4ctxeesi????4~t~c~x~eei????(1-3)
我们不妨称(1-3)式为洛伦兹变换的矢量形式。因为可以用?e~及?e，41,2,3,μ?，分别点乘(1-3)式而得到洛伦兹坐标变换及其逆变换。由于νμνμμν~~δeeee??，1,2,3,4νμ,?，其中μνδ为克罗内克符号。参见文章[4][5]，得洛伦兹变换为?????????????????????????????????????????ctxxx~~~~~~~~~~~~~~~~t~cx~x~x~32144342414433323134232221241312111321iieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee（逆变换略）(1-4)传统文献及教科书中通常采取特殊洛伦兹变换矩阵νμ~Lee?，其元素为：
2211/cv11ωcos~???iee，2241/cv1cvωsin~???iiee，2214/cv1cvωsin~?????iiee；2244/cv11ωcos~???iee，1~~3322??eeee，其余的0~νμ?ee，νμ?。
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特殊洛伦兹变换矩阵L虽然能够简化数学处理，但有许多局限性。（与O系相对应的）惯性系S及（与O~系相对应的）惯性系S~的空间轴彼此平行，νx~//νx，1,2,3ν?，的一般形式的洛伦兹变换矩阵，在四维复欧氏空间中可以通过坐标旋转得到???????????????????????????????????????γγβγβγβγβββ)1(γ1βββ1)(γβββ1)(γγββββ1)(γββ)1(γ1βββ1)(γγββββ1)(γβββ1)(γββ)1(γ1LRR~L3213223232231223222222112312212211νμμνiiiiiiee(1-5)
这里R为四维系O及O~分别转向惯性系S及S~之间不变的相对速度矢量u的空间旋转矩阵。其中cvβ?；cuβνν?，1,2,3ν?；222β11/cv11γ????。设相对速度矢量的模为u?v，则有2322212)(u)(u)(uv???，进而有关系2322212ββββ???。最一般的洛伦兹变换矩阵要求惯性系S及S~空间轴νx与νx~，1,2,3ν?，彼此不平行。此时，在四维复欧氏空间中可以通过左乘一个空间旋转矩阵G来实现（由于受篇幅的限制，笔者将另起一文，对这两个一般形式进行专题讨论并给出详细的图示）LRGR~L1νμg???ee(1-6)
参见(1-4)式，由于基矢νμ~ee，1,2,3,4νμ,?，构成确定的洛伦兹变换矩阵，在复欧氏空间中，任何四维矢量X的分量μX~与μX如果满足(1-3)式，如μμμμ~X~XeeX??(1-7)1,2,3,4μ?。就自然满足类似于(1-4)式的洛伦兹变换。而且类空及类时分量的物理内涵是一一对应的，左、右两边坐标分量分别是S系及S~系各自对物理量测量的结果。2.四维绝对矢量参见(1-3)式，洛伦兹变换的矢量形式保留了完整的几何物理信息。两个客观事件的间隔
矢量s不以观察者所处的惯性系为转移，我们所选择的共原点的四维O系或O~系（甚至什么别的O~~系），仅仅是改变了描述（客观）s的（主观）角度。矢量s不但给出了时空间隔
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线元sss??不变的绝对长度，而且在四维复欧氏空间中确定了一个不变的绝对方向。参见(1-3)式，如果绝对方向由时空间隔矢量的单位矢量刻画，则有4νν4νν~t~c~x~ctxesesesesss?ii?????(2-1)1,2,3ν?。设方向余弦：sννxcosα?，sctcosα4i?，sννx~α~cos?，st~cα~cos4i?，可将(2-1)式写成μμμμα~cos~cosαee???(2-2)1,2,3,4μ?
。显然，单位矢量?为间隔矢量s的绝对方向。其模为1??，方向余弦μcosα与μα~cos满足洛伦兹变换。我们不妨将这种分量及方向余弦都满足洛伦兹变换协变性要求，线元的绝对长度及方向都不变的矢量称为四维绝对矢量。参见(2-1)及(2-2)式，也可将洛伦兹变换的矢量形式(1-3)式写为μμμμ~α~coscosαeses?ss???(2-3)1,2,3,4μ?。显然传统理论忽略了绝对方向不变性这一本质特征。这个方向性更具深刻的物理内涵：
空间方向决定于，如实验粒子的运动方向，但时间方向永远是由过去指向未来。我们能够以这个不变的绝对方向为基准建立坐标系，来刻画四维矢量物理规律。3.复欧氏矢量空间初探笔者在文章[4]中曾猜测四维复欧氏时空或许是电磁学意义上的某种“复时空实验效应”。即使情况果真如此，假设时序及因果结构与现实物理时空相同，也是一个合理的选项。参见图1(a)，不妨用2+1维示意四维（3+1维），虽然复欧氏时空中严格意义上不存在“现在”时刻（因为0t?时，ctx4i?是个实数，为极限情况下的“类空”量），也可用“三维复光锥面”将时空分为“绝对过去”和“绝对将来”两个因果关联区域。与真欧氏几何不同
的是，由于时间的不可逆性，这种因果关联是单向的，即由“绝对过去”影响“现在”和“绝对将来”。“现在”是流动的，是个“主观”概念，与坐标系的选择有关。在四维复欧氏时空中，选择了某个四维系O或O~，参见图1(a)，其坐标原点处伴随自动张开的上、下两个“复
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光锥”。理论上我们可以描述任何类时区域的事件。
参见图1(b)，在四维复欧氏空间中的某一微小区域，由事件o及事件p构成一个绝对矢量，其绝对方向为?。对其描述可以选取任意一组基矢μe或μ~e，1,2,3,4μ?。坐标原点的选取可以是任意的，如m点或n点。如果将O系的坐标原点选在m点处，事件o及事件p的位矢分别记为μμ(t)x(t)eR?(3-1)及μμdt)(txdt)(teR???(3-2)那么该两事件o及p的间隔绝对矢量可写为(t)dt)(tdRRR???
(3-3)笔者将证明，符合洛伦兹坐标变换的O系及O~系的坐标原点只能重合，O~系的坐标原点不可能选在如图1(b)所示的n点。这一点不同于真欧氏空间，在四维复欧氏空间中，时
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空坐标的平移不满足洛伦兹变换。假设O~系的坐标原点选在了n点，我们同样可将事件o及事件p的位矢分别记为μμ~)t~(x~)t~(~eR?(3-4)及μμ~)t~dt~(x~)t~dt~(~eR???(3-5)显然，该两事件的间隔矢量可写为)t~()t~dt~(~~dRRR???(3-6)
比较(3-3)式，虽然有RR~dd?，不难证明，矢量r及r~的坐标不满足洛伦兹变换。参见图1(b)，O~系坐标原点在O系的位矢（由m点指向n点）为r，其表达式可写为40ν0νct)(txeeri??(3-7)1,2,3ν?。同理，O系坐标原点在O~系的位矢（由n点指向m点）为r~，其表达式可写为40ν0ν~t~c~)t~(x~~eeri??(3-8)1,2,3ν?。因为矢量rr~??，由(3-7)及(3-8)式得：??40ν0νct)(txeei40ν0ν~t~c~)t~(x~eei??。比照(1-3)式，这不是洛伦兹变换的矢量形式。参见(1-4)式，因为用μ~e，1,2,3,4μ?，点乘
该式所得的洛伦兹变换矩阵元素异号νμ~ee?，1,2,3,4νμ,?。因此不满足洛伦兹变换。这一点似乎不难理解，因为O系描述的r与O~系描述的r~不是同一个矢量。但如果仅考虑“模方”似乎会产生误解。设O系与O~系的坐标原点重合0~???rr，并可选择在任意点，如m点或n点，但要求目标对象，如绝对间隔矢量op落在“复光锥”的类时区域。此时有?(t)R)t~(~R及??dt)(tR)t~dt~(~?R(3-9)将(3-1)，(3-2)及(3-4)，(3-5)式代入(3-9)式得μμ(t)x(t)eR?μμ~)t~(x~e?
及μμdt)(txdt)(teR???μμ~)t~dt~(x~e??(3-10)比较(1-3)或(1-7)式，不难看出(3-10)两式是洛伦兹变换的矢量形式。用μ~e或μe，41,2,3,μ?，分别点乘该两式，可得到洛伦兹坐标变换或其逆变换。可见在四维复欧氏空间中洛伦兹变换
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的表现形式是共原点的“旋转”变换。显然矢量(t)R及dt)(t?R都是四维绝对（间隔）矢量。这一点不难理解，因为选定坐标原点本身就是四维复欧氏时空中的一个事件。如果坐标原点选定为m（也可选n），(t)R则是两事件m与o的间隔矢量，dt)(t?R则是两事件m与p的间隔矢量，它们都是洛伦兹变换的不变量，即绝对矢量。绝对矢量满足矢量空间的一般运算规则。见(3-3)及(3-6)式，有(t)dt)(t~ddRRRR????)t~(~)t~dt~(~RR???(3-11)RR~dd?就是我们所预设的目标客体，即绝对间隔矢量op。将(3-1)，(3-2)及(3-4)，(3-5)
式代入(3-11)式得μμμμμμ~)]t~(x~)t~dt~(x~[(t)]xdt)(t[x~ddeeRR???????(3-12)1,2,3,4μ?。比较(1-3)或(1-7)式，(3-12)式是洛伦兹变换的矢量形式。参见(1-4)式，用μ~e或μe，41,2,3,μ?，分别点乘(3-12)式，可得到洛伦兹坐标变换或其逆变换。其坐标差分量也满足洛伦兹变换。这是因为，如果(t)R及)t~(~R是某同一个粒子在共原点的O系及O~系所表达的位矢，那么其矢端（o点）坐标基矢为μμx???Re及μμx~~~???Re，1,2,3,4μ?。参见
图1(b)，这相当于将两个新的四维系的坐标原点选在了o点，参见图1(c)，其坐标分别为μdx及μx~d，41,2,3,μ?。这也相当于在o点的两个四维系的旋转变换。洛伦兹变换矩阵为????????xx~~~LμνμgRRee，其逆阵为?????????x~~x~Lμνμ1RReeg，1,2,3,4νμ,?。不难看出，洛伦兹变换矢量形式的几何本质是共原点的O系及O~系所描述的同一粒子世界线轨迹的全微分相等μμμμx~dx~~dxx~dd???????RRRR(3-13)
参见图1(d)，因为绝对矢量op刻画一个线元，习惯上将其记为Rsdd?。由于坐标系选取的任意性，为简化或给出新的物理定义，我们可以保持O系原有姿态不变，令O~系的时间轴方向4~e与op的绝对方向?同向。参见(1-3)式，此时可将洛伦兹变换的矢量形式写成
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微分形式44ν~t~cddtcdxdeeesνii???(3-14)1,2,3ν?。其物理意义为，粒子相对于（与O~系相对应的）惯性系S~静止，即惯性系S~相对（与O系相对应的）惯性系S的速度等于粒子相对惯性系S的速度u。参见图1(d)，显然此时绝对矢量op在O~系的三个空间分量为零0x~dν?，1,2,3ν?。参见(1-5)或(1-6)式，需要注意的是，这种处理只能是在一般形式的洛伦兹变换基础上进行。因为特殊洛伦兹变换的分量有关系0dxx~d22??及0dxx~d33??，这将有碍于下面四
维矢量的继续讨论，因为特殊洛伦兹变换要求绝对矢量op在41xx?平面上，这将改变O系的原有姿态。传统理论对这一点没有提及，大部分教材甚至用特殊洛伦兹变换来作说明，这种做法是应该纠正的。4.狭义相对论“自由质点”的三个例子如果“合力为零”状态下的质点被定义为“自由质点”，那么其本身就可看作是一个惯性系。惯性系是洛伦兹变换的前提条件，变换是指任何两个惯性系之间的坐标变换。由于本节的内容，在物理角度上，不涉及外力对质点做功。因此质点的世界线是直线；在数学角度上，参见(1-3)及(3-14)式，仅仅是对洛伦兹变换矢量形式所进行的数乘操作，是对其模大小
的缩放，不改变绝对方向。因此所得到的四维矢量自然满足变洛伦兹变换的性质。4.1.四维位移矢量考察(3-14)式，该式是O系及O~系分量分别为dt)c,dx,dx,(dx321i及)t~cd(0,0,0,i时的洛伦兹变换的矢量形式。如果将其定义为：四维位移矢量。其物理意义为：实验粒子在O~系中的纯时间间隔矢量。由于该时间可想象为，由该粒子本身所携带的“标准钟”进行计量，一般文献或教科书中将这一特殊的t~d称作固有时，并将其改写为dτ。此时(3-14)式可写为4cdtdxdeesi????4~dτcei?(4-1)
或写为4cdtddersi??4~dτcei?。其中空间位移矢量为??erdxd?，1,2,3??。参见(4-1)式，四维位移矢量sd不变的绝对模长为cdτdi?s，即粒子所在事件点处世界线的线元长本身就是虚固有时间cdτdx~d4i??s。参见(2-1)及(2-2)式，根据定义有
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1dx~dα~cos44??s。由于时空间隔矢量的方向由单位间隔矢量刻画，参见(2-2)式，(3-14)式的单位间隔矢量可写为44μμα~cos~cosαee???(4-2)将1dx~dα~cos44??s其代入(4-2)式得4μμ~cosαee???(4-3)可见这一特殊情况下的4~e就是间隔矢量sd的绝对方向?。参见(2-3)式，(4-1)式可改写为
4cdtdxddee?ssi??????cdτi?(4-4)显然四维位移矢量在O系的三个实数空间分量为?dx，一个虚数时间分量为cdti。通常也称dt为坐标时。因sd及光速c都为不变量，所以dτ也为不变量。0x~d??时，1,2,3??，由洛伦兹变换的一般形式(1-5)或(1-6)式所确定的变换XLX~μν?或XLX~g?中的任何一个，都能构成4个联立方程，解得γdτ/cv1t~ddt22???，将γdtdτ?代入(4-4)式，并求模，考虑坐标的正向得232221)(dx)(dx)(dxvdt???(4-5)
由于粒子相对惯性系S~静止（如固定在坐标原点处），所以粒子在S系的空间位移与S~系（如坐标原点）本身的空间位移相等。4.2.四维速度矢量定义dτdsV?为：四维速度矢量。其数学本质为，用不变量dτ1数乘(4-4)式，因此不改变洛伦兹变换的性质，相应的新分量自然满足洛伦兹变换。此时有?eeVcdτdtcdτdx4ii?????(4-6)参见文章[4]，四维速度矢量的物理意义为：绝对方向?=4~e上的时空当量cki?，也可
理解为狭义相对论意义上的时间流逝的“虚速率”。将γdtdτ?代入(4-6)得
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?eeVcγcdtdxγ4ii?????(4-7)如果粒子的空间速度分量记为dtdxuνν?，ννueu?，1,2,3??。(4-7)式可写为?eeVcγcγu4νii????(4-8)或写成?euVcγcγ4ii???。整理(4-8)式的模，考虑正向，可得232221)(u)(u)(uv????u(4-9)与(4-5)式同理，由于粒子相对惯性系S~静止，所以其在S系的空间速度与S~系本身的空间
速度相等。如果将四维速度矢量的三个实数空间分量记为??γuV?，一个虚数时间分量记为γcV4i?。则(4-8)式又可简写为?eVcVi????，4,3,2,1??。4.3.四维动量矢量定义VP0m?为：四维动量矢量。其数学本质为，用不变量0m数乘(4-8)式（也相当于用两个不变量，dτ1及0m，依次数乘(4-4)式），因此不改变洛伦兹变换的性质，相应的新分量也自然满足洛伦兹变换。此时有?eePcmcγmuγm040νν0ii???(4-10)3,2,1ν?
。实际上我们不需要预先知道粒子的静止质量与相对论性质量的关系0γmm?，直接从O系与O~系物理分量的一一对应关系，参见(4-10)式，由类时分量（44~e?e??），可知：因为c是不变量，如果0m是S~系测量的粒子静止质量，那么S系测量的同一粒子的质量一定为0γm，如将其记为m，则(4-10)式可写为?eePcmmcmu04ννii???(4-11)求(4-11)式的模得：2202222cmcmm???u。由(4-9)式可知u?v，将其代入，整理后得0220γm/cv1mm???
(4-12)这一结果表明，与我们前面的推断是自洽的。
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参见(4-11)式，如果将三维空间动量矢量记为ννννmuPeep??，3,2,1ν?。则(4-11)式可改写为?eePcmmcP04ννii???或?epPcmmc04ii???(4-13)求(4-13)式的模，并将三维空间动量矢量的模记为p?p，整理后得220222cmcmp??(4-14)出于后面讨论的需要，我们暂将“质能关系式”220mccγmε??作为一种具有能量量纲的记号。则有cεmc?，将其代入(4-14)式，整理后得到著名的“能量-动量关系式”
420222cmpcε??或420222cmpcmcε???(4-15)内容大于形式，无疑(4-14)式就是(4-15)式的本质。从实验的角度来讲，能量本身不是一个可直接测量的物理量，真正的可直接测量的物理量都包含在(4-14)式中。显然(4-13)式是“能量-动量关系”更为根本的矢量形式，它保留了完整的物理信息。对于静止质量为零的粒子，如光子0m0?，由(4-15)式得著名的“零静止质量粒子”的“能量-动量关系式”cpε?。同理，将“静止能量”200cmε?也仅作为一种记号，如将cεmc?及cεcm00?同时代入(4-13)式的前式得?eePcεcεP04ii?????
(4-16)由(4-16)式，我们可以看出动量是空间分量，是实数；能量是时间分量，是虚数。同一个四维动量矢量P，在O系中是动量矢量和能量矢量的线性组合，而在O~系的时间轴方向，或者说在动量矢量P绝对方向?=4~e上，则是纯能量矢量。由于该粒子相对惯性系S~静止，故体现为静能。可见四维动量P的物理意义为：绝对方向?=4~e上粒子的虚静能。由于四维动量矢量的三个空间分量为动量，一个时间分量为能量，故也称其为“能量-动量矢量”。如果将其时间虚分量记为mcP4i?。此时可将(4-13)式简化为?eP0μμcmPi??，4,3,2,1??。
通过上面的讨论可以看出，参见(4-5)及(4-9)式，四维矢量的模都有具体的物理意义。参见(4-11)、(4-12)、(4-13)、(4-14)及(4-15)式，笔者通过求四维动量的模，直接得到了狭义相对论的核心定律。需要强调的是，上述四维矢量的本质是洛伦兹变换的矢量形式。等式左右任何一项都是
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不可或缺的整体。参见图2，一般形式的四维矢量X的物理意义就是O~系的物理量本身。
然而，现有理论忽略了O~系所表达的物理量（等式的右边项）。仅定义和讨论O系的分量，这无疑割裂了O系与O~系的内在联系，轻者对问题的讨论不充分，重者将导致下文所涉及的问题。5.狭义相对论“受力质点”的两个例子可以说“自由质点”与“受力质点”的物理性状具有本质的区别。四维复欧氏时空是平直空间，其短程线为直线。在这种平直时空中，沿曲线运动的任何质点都不是“自由坠落”。传统理论，如教科书[2][3]，将与“受力质点”随动的某种坐标系uS（相对S系的加速系）称作“瞬时惯性系”是值得商榷的。笔者将证明，由此所得到的“四维力矢量”及“四维加
速度矢量”存在不可忽视的困难。如前文所述，四维矢量的本质是洛伦兹变换的矢量形式。等式左右任何一项都是不可或缺的整体。现有理论忽略等式右边项，即O~系所表达的物理量，仅定义和讨论O系的分量，是产生这一问题的根本原因。为了方便认清这一情况，本节先按笔者自己的方式导出这两个传统的“四维矢量”，然后将其所存在的矛盾展现出来。
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5.1.四维力矢量现有文献或教科书都假设存在“瞬时洛伦兹惯性系”uS。忽略(4-16)式的右边项?cε0i，直接定义“四维力矢量”为：4ννdτdεcdτdPdτdeePFi???。笔者认为，首先，这一操作本身就破坏了洛伦兹变换矢量形式的物理内涵；其次对动量的导数dτdP不是固有时与其简单的数乘关系。参见(4-16)式，即使狭义相对论容许存在“四维力矢量”，如果选择O系基矢的原有姿态不变，那么完整的定义也应该写为dτdcεdτdεcdτdPdτd04νν?eePFii????
(5-1)考察等式右边项，cε0i为常数。因为“受力质点”的世界线不是直线，其绝对方向（单位基矢）4~e??是一个（旋转）变矢，这种旋转带动O~系的刚性标架一起旋转，即空间基矢ν~e，1,2,3ν?，也协同旋转。因为单位矢量有性质0dτd????，可知新“基矢”dτd?与原基矢4~e??垂直。如果要问O~系随其变矢4~e??旋转，其结果还能保证O系与O~系的分量满足洛伦兹协变性的要求吗？答案将在后面给出。不妨继续按传统思路考察O系的情况。如果将质点的瞬时速度记为(t)u(t)u?，现有
理论给出22u/c(t)u11γ??，并将固有时记为uγdtdτ?。将其代入(5-1)式得???4uννudtdεcγdtdPγeeFidτdcε0?i(5-2)设空间分量中的三维力为ννννfdtdPdtdeepf???(5-3)3,2,1??。其中p为空间动量矢量；f为空间力矢量，νf为其空间分量。
对(4-15)式420222cmpcε??求导得dtdppεcdtdε2?(5-4)
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由于232221)(P)(P)(Pp???，将其代入(5-4)式，并求导得)dtdPPdtdPPdtdP(Pεcdtdε3322112???(5-5)由于ννPep?，其导数为ννdtdPdtdep?。两者的标积为dtdPPdtdPPdtdPPdtd332211????pp。比较(5-5)式，可写为dtdεcdtdε2pp??(5-6)
由于upm?，参见(5-3)式，dtdpf?，将这两式代入(5-6)式得uf??dtdε(5-7)由(5-7)式，传统理论认为，粒子总能量的变化率等于，空间力f对粒子作功的功率。参见(5-3)及(5-7)式，至此我们得到了著名的“相对论质点动力学方程组”：dtdpf?；uf??dtdε。将(5-3)及(5-7)式代入(5-2)式，整理后得dτdcε)(cγfγ04uννu?eufeFii????(5-8)
或写为????)c(γ4ueuffFidτdcε0?i。传统的表达方式，都忽略右边项dτdcε0?i，而将四维力简记为：)c,(γuuffF??i。5.2.四维加速度矢量现有文献或教课书中定义22dτddτdsVA??为“四维加速度矢量”。假设存在“瞬时洛伦兹惯性系”uS，并有22u/c(t)u11γ??及uγdtdτ?。虽然在(4-8)式的基础上构建，却忽略
了其右边项?ci。由于与“四维力矢量”存在同样的问题，在此不赘述。笔者将按传统思路叙述S系的情形。将(4-8)式改写为?eeVc/c(t)u1c/c(t)u1u422ν22νii?????(5-9)
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这里232221(t)}{u(t)}{u(t)}{u(t)u(t)????u。传统理论认为，粒子相对S~系静止，其三维空间速度等于S~系相对S系的速度。考虑uγdtdτ?，并对(5-9)式求复合导数，整理后得dτdc)(cγ)](ucγa[γdτd44uνν24uν2u?eaueauVAii???????(5-10)3,2,1??。其中ννννdtdxueeu??为粒子的空间速度；ν2ν2ννdtxddtdueea??为该粒子的空间加速度（教课书中将其称为牛顿意义上的加速度）。与“四维力矢量”的情形一样，其
绝对方向（单位基矢）4~e??是一个（旋转）变矢，这种旋转带动O~系的刚性标架一起旋转，即空间基矢ν~e，1,2,3ν?，也协同旋转。由单位矢量性质0dτd????，可知新“基矢”dτd?与原基矢4~e??垂直。如果设四维加速度的空间分量为)(ucγaγAν24uν2uνau???，仅考虑空间矢量部分，参见(5-10)式，有uauaeauee)(cγγu)(cγaγA24u2uνν24uνν2uνν??????(5-11)3,2,1??
。将(5-11)式代入(5-10)式，一般文献或教科书都忽略了右边项dτdc?i，而将“四维加速度矢量”简记为：)](cγ,)(cγ[γ4u24u2uauuauaA????i。5.3.“四维力”及“四维加速度”不是狭义相对论的物理对象四维绝对矢量的本质是洛伦兹变换的矢量形式，参见图2，是其在O~系的三个空间分量为零时的一种特殊表达。因此说，任何四维绝对矢量本身必须要满足洛伦兹变换。在此笔者利用洛伦变换的矢量形式，参见(1-3)及(1-4)式，给出一个简易的判别方法，来辨别真伪。
用μe，1,2,3,4μ?，分别点乘(4-1)式（四维位移矢量），(4-8)式（四维速度矢量）及(4-10)式（四维动量矢量）两端，并注意前文的约定4~e??，都得到γβ~νν4νi?????eee?，1,2,3ν?
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及γ~444????eee?。这里cuβνν?，1,2,3ν?。参见(1-4)式，将其与一般洛伦兹变换矩阵(1-5)式的时间变换行（底行）进行比较，可见元素相同。结合定义，因此说，这三个四维矢量是满足洛伦兹变换的绝对矢量。需要说明的是，与(1-6)式的时间变换行进行比较也是一样的。因为，虽然(1-6)式的空间变换行与(1-5)式不同，但时间变换行相同。然而，如果用μe，1,2,3,4μ?，点乘(5-2)式（四维力矢量），其结果是}au)(cγ{cγdτdPεcdτ~ddτdνν22u2uν0ν4ν?????????aueee?ii(5-12)1,2,3ν?。及)(cγdτdεε1dτ~ddτd
24u0444aueee???????(5-13)这里dτ~ddτd4e??是旋转后的单位基矢。将其与一般洛伦兹变换矩阵(1-5)式的时间变换行（底行）进行比较，显然不是洛伦兹变换矩阵中的元素，因此说“四维力矢量”(5-2)式本身的分量不满足洛伦兹变换，不是四维绝对矢量。同理，用μe，1,2,3,4μ?，点乘(5-10)式（四维加速度矢量），其结果与(5-12)及(5-13)式相同。显然“四维加速度矢量”(5-10)式本身的分量不满足洛伦兹变换，也不是四维绝对矢量。
即使按照现有理论的解释，忽略“瞬时惯性系”所对应的O~系在力学意义上的旋转，即用趋于零时，弧长所对应的弦示意绝对方向瞬时不变（这一点仍然是值得商榷的），参见(5-2)式，此时“四维力矢量”的右边项为常矢的导数)cε(dτd0?i=?0，可将(5-2)式改写为???4uννudtdεcγdtdPγeeFi)cε(dτd0?i=?0(5-14)参见(5-10)式，此时“四维加速度矢量”的右边项也为常矢的导数)c(dτd?i=?0，同理有??????44uνν24uν2u)(cγ)](ucγa[γeaueauAi)c(dτd?i=?0(5-15)
此时再用μe点乘(5-14)及(5-15)两式，因为4~e??，两种情况均导致0~μ4??ee，1,2,3,4μ?，将其与一般洛伦兹变换矩阵(1-5)式的时间变换行（底行）进行比较，显然，也不是洛伦兹变
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换矩阵中的元素。显然，无论何种情况，传统理论中的“四维力矢量”及“四维加速度矢量”本身都不是洛伦兹变换的矢量形式，其表达式中的分量不符合洛伦兹变换。加之，正确的四维绝对矢量，如四维位移矢量、四维速度矢量及四维动量矢量的模都有其物理意义，或者其本身就是狭义相对论中的核心定律。而“四维力矢量”及“四维加速度矢量”的模则无意义，特别是“四维加速度矢量”的模，无论是(5-10)还是(5-15)式，致使加速度a?a为虚数。综上所述，我们可以断言，“四维力矢量”及“四维加速度矢量”两者都不是狭义相对论中的物理对象。关于这一点，站在三维角度也是可以理解的。洛伦兹变换的前提条件为，两个惯性系S
及S~之间的三维相对速度u（或u?）是一个常矢。现有理论用变矢，即瞬时速度(t)u替代u的同时，就破坏了这一充要条件。此时，与目标质点随动的坐标系uS（所谓的“瞬时惯性系”）本质上已不是惯性系。而将只有在惯性系之间变换所出现的因子写为22u/c(t)u11γ??，232221(t)}{u(t)}{u(t)}{u(t)u(t)????u(5-16)并对其求导)(cγ}/c(t)u11{dtddtdγ23u22uau????(5-17)
是值得商榷的。(5-16)及(5-17)式反映在现有理论中的实例就是所谓“对牛顿第二定律的相对论改造”dtdpf????(t)}{γdtdm(t)}{mdtdu0uu}dt(t)dγdtdγ(t){muu0uu?(5-18)dtdγcm)(mcdtddtdε(t)u202????uf(5-19)该两式被称作“相对论质点动力学方程组”。将(5-17)式代入(5-18)及(5-19)式，令dt(t)dua?，并注意0umγm?，得其解析式auaufm)m(cγ
22u???(5-20))m(γ2uauuf???(5-21)将(5-21)式代入(5-20)式，又可写为auuffmc2???。尽管常出现在教科书中的这一最终形
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式没有出现敏感的(5-16)式，但其整个推理过程的前提是令人不安的。结论对狭义相对论中的绝对理论进行了初步探讨。明确了洛伦兹变换矢量形式的概念。进而给出了更为根本的不变量，其分量及方向余弦都是洛伦兹变换的协变量，即其模值和绝对方向都是不变量的，四维绝对矢量的概念。以目标客体的绝对方向为基准，调整O~系的时间轴，解释了传统四维矢量本质上是洛伦兹变换的矢量形式，在O~系的三个空间分量为零时的一种特殊表达。补全了传统文献及教科书中所忽视的四维矢量表达式的右边项（O~系的物理量）。强调（以往所忽视的）四维矢量表达式本身的分量必须满足洛伦兹变换这一根本要求。
在此基础上，求四维位移矢量、四维速度矢量及四维动量矢量的模，指出其物理意义，并直接得到了狭义相对论的核心定律。阐明一般形式的四维矢量X的物理意义就是这种特殊表达O~系的物理量，如四维位移矢量sd，四维速度矢量V，四维动量矢量P的物理意义分别是：O~系的纯时间间隔矢量4~cdτdesi?；绝对方向?=4~e上的时空当量cki?，即4~ceVi?；绝对方向?=4~e上粒子的虚静能cmcε00ii?，即40~cεePi?。证明了“四维力矢量”及“四维加速度矢量”本身的分量不满足洛伦兹变换。由此断定两者都不是狭义相对论的物理对象。揭示出狭义相对论质点力学所面临的困难，也是对通常所说的“牛顿力学的相对论改造”提出的质疑。尽管如此，针对狭义相对论所做的诸多实验[6]与本文并不冲突，因为这些实验
是对光速不变原理，洛伦兹变换及本文通过四维动量矢量模所得到的传统定律（直接可测量）等的检验。参考文献[1]刘连寿等.物理学中的张量分析.科学出版社.2008年11月第一版.第一次印刷.[2]刘辽等.狭义相对论.科学出版社.2008年第二版.2011年第二次印刷.[3]MTW.Gravitation.W.H.FreemanandCompany.1973.[4]邓晓明.四维时空中共轭虚时间是洛伦兹变换内在逻辑的推论.国科社区.国家科技成果网.2014年6月24日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=34980.
[5]邓晓明.关于虚角运算的一些公式总结.国科社区.国家科技成果网.2014年6月27日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=34982.[6]张元仲.狭义相对论实验基础.科学出版社.1979年第一版.1994年第三次印刷.
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