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无空间转动的固有洛伦兹变换的一种推导方法邓晓明2015年10月28日engineerdxm@sina.com摘要：复欧氏时空中，无空间转动的固有洛伦兹变换的一种新的推导方法。关键词：狭义相对论，固有洛伦兹变换，一般洛伦兹变换，普遍洛伦兹变换中国分类号：O412.1前言
笔者认为对洛伦兹变换的分类应该参照刘辽老师等所著的《狭义相对论》[1]中的方法（具体条件请参阅该书的102-106页的介绍）：分为（一）特殊洛伦兹变换：该形式为大多数文献或教课书中所采用；（二）固有洛伦兹变换：该形式又分为两种（1）无空间转动：即在三维空间中两惯性系S及S~的三个相对应的空间轴彼此平行??xx~//，3,2,1??，两惯性系之间的相对速度????eeu~uu???为任意方向的常矢。目前几乎所有文献，教科书及网上所讨论的诸如“一般洛伦兹变换”或“普遍洛伦兹变换”等都属于此类。笔者认为这些称谓容易引起误解，实际上这种洛伦兹变换仍然有限制条件，不应
用“一般”或“普遍”来形容。如按照刘辽老师的分类，可称其为：无空间转动的固有洛伦兹变换；（2）有空间转动：此种情况较为复杂，如S~系所描述的空间分别绕S系的一个空间轴?x（3,2,1??）转动；同时绕两个空间轴?x转动；及同时绕三个空间轴?x都有转动的“全转动”。显然，只有这种“全转动”的固有洛伦兹变换才能用“一般”和“普遍”来形容。洛伦兹变换，是由荷兰物理学家洛伦兹（H.A.Lorentz）在1904年，根据麦克斯韦方程组在任意惯性系中数学形式不变的事实导出的。早于爱因斯坦于1905年所创立的狭义相对论。现有文献及教科书都将洛伦兹变换归结为，以爱因斯坦所提出的“狭义相对性原理”及
“光速不变原理”为前提的一个原理性推论。笔者之前诸篇文章的逻辑结果，否定了“狭义相对性原理”[2][3][4][5][6]。表明脱胎于麦克斯韦方程组的洛伦兹变换仅适用于电磁学。电磁学所依赖的复时空具有对称性（也可称其为相对性）。
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根据这种对称性及“光速不变原理”，我们可以得到时空间隔矢量不变的推论。将此作为前提，笔者在下文将给出一种推导无空间转动的固有洛伦兹变换的新方法。本推导过程不借助任何数学软件（如有学者借助Maple[7]），涉及的所有方程的解，都利用一定的数学技巧解出。为便于轻松阅读，正式推导步骤中不采用爱因斯坦求和约定。复欧氏空间中固有洛伦兹变换的推导步骤在四维复欧氏空间中，任意选取两个四维正交系O及O~，可描述一个客观存在的不变量---时空间隔矢量jjjjxddxee~~?或写成44~~~~eeeeticdxdicdtdx???????(0-1)
其中4,3,2,1?j；3,2,1??。je与je~为与O及O~相对应的单位基矢，jdx与jxd~为基下的分量。其中icdtdx?4，ticdxd~~4?为时间分量，其余为空间分量。将该式写成矩阵形式为?????????????????????????????????4321432143214321~~~~~~~~xdxdxdxddxdxdxdxeeeeeeee(0-2)在等式两边同时左乘矩阵??T4321~~~~eeee，整理后得到?????????????????????????????????????????????????????
4321443424144333231342322212413121114321~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~dxdxdxdxxdxdxdxdeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee(0-3)令其中元素为kjjkaee??~，根据所选择的边界条件可确定洛伦兹变换矩阵??jkaL?。需注意：其中的刚性条件之一为，与O及O~系相对应的两惯性系S与S~之间的相对速度是一个不随时间而变的常矢????eeu~~uu???，3,2,1??，0?dtdu(0-4)为下面讨论方便，我们可设cuc??u?及cu????(0-5)
根据(0-4)式的关系，自然有
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2322212???????(0-6)另设22211/11??????cu(0-7)一般洛伦兹坐标变换可写为?????????????????????????????????????4321444342413433323124232221141312114321~~~~dxdxdxdxaaaaaaaaaaaaaaaaxdxdxdxd或简写为kjkjxax?~(0-8)
其中4,3,2,1,?kj。求固有洛伦兹变换矩阵的步骤如下：第1步(0-1)式的模方可写为2423222124232221)~()~()~()~()()()()(xdxdxdxddxdxdxdx???????(1-1)在此需要特别提醒读者注意：只有线性变换才能保持二次奇式不变。也就是说，?x~只能是?x的线性函数。而保证线性性质的前提条件，要求两惯性系之间的相对速度，参见(0-4)
式，为常矢。现有理论在描述质点力学时，用变矢替换(0-4)式[1]，其结果根本导不出洛伦兹变换矩阵。将(0-8)式代入(1-1)式，并比较系数得21)(dx项系数：1)()()()(241231221211????aaaa(1-2)22)(dx项系数：1)()()()(242232222212????aaaa(1-3)23)(dx项系数：1)()()()(243233223213????aaaa(1-4)24)(dx项系数：1)()()()(244234224214????aaaa(1-5)21dxdx
项系数：04241323122211211????aaaaaaaa(1-6)31dxdx项系数：04341333123211311????aaaaaaaa(1-7)32dxdx项系数：04342333223221312????aaaaaaaa(1-8)
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41dxdx项系数：04441343124211411????aaaaaaaa(1-9)42dxdx项系数：04442343224221412????aaaaaaaa(1-10)43dxdx项系数：04443343324231413????aaaaaaaa(1-11)第2步参见(0-8)式，如果令O~系空间坐标为零0~~~321???xdxdxd，矩阵前三行有0414313212111????dxadxadxadxa(2-1)0424323222121????dxadxadxadxa(2-2)0
434333232131????dxadxadxadxa(2-3)在四维复欧氏空间中，这3个三维超平面相交，得一直线，这是用O系的坐标描述的O~系的时间轴方程。用4dx除(2-1)，(2-2)及(2-3)式得：014431342124111????adxdxadxdxadxdxa；024432342224121????adxdxadxdxadxdxa；0
34433342324131????adxdxadxdxadxdxa。将其写成矩阵形式：????????????????????????????????342414434241333231232221131211///aaadxdxdxdxdxdxaaaaaaaaa。注意：icdtdx?4，则有???????????????????????????????342414321333231232221131211///aaadtdxdtdxdtdxaaaaaaaaaci(2-4)因为我们令O~系空间坐标为零0~~~321???xdxdxd，这意味着与O~系相对应的惯性系S~
与粒子随动，此时粒子相对于惯性系S（与O系相对应）的空间速度等于这两个惯性系之间的相对速度????eeu~uu???，3,2,1??。参见(0-5)式（此时惯性系S~原点在S系测
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得的坐标dtudx???）有????cdtdxu??，1,2,3??。(2-5)将(2-5)式代入(2-4)式得???????????????????????????????342414321333231232221131211aaaiiiaaaaaaaaa???(2-6)参见(0-8)式，当0~~~321???xdxdxd时，时间变换行为4444343242141~xddxadxadxadxa????
，两边同时数乘4~/1xd得1~~~~4444434342424141????xddxaxddxaxddxaxddxa。将(2-5)式代入，并注意icdtdx?4，ticdxd~~4?，dttddxxd~~44?，则有dttdaiaiaia~44343242141???????(2-7)参见(0-1)式，当0~~~321???xdxdxd，可将其写为44~~eeeticdicdtdtu????，求其模，
有22/11~cutddt???，若考虑时间的正向，参见(0-7)式，则有??tddt~，将其代入(2-7)式得44343242141/1aiaiaia????????(2-8)由(2-6)式可写出14313212111aiaiaia??????(2-9)24323222121aiaiaia??????(2-10)34333232131aiaiaia??????(2-11)
第3步将(2-9)，(2-10)，(2-11)及(2-8)式代入(1-5)式，展开得321312311311211211232132221221211222?????????aaaaaaaaa??????
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322322312321212221232232222221221222?????????aaaaaaaaa??????323332313331213231232332223221231222?????????aaaaaaaaa??????324342314341214241232432224221241222?????????aaaaaaaaa??????1/1/2/2/22343242141????????????iaiaia(3-1)将(1-2)，(1-3)及(1-4)式代入(3-1)式，简化为321312311311211211222??????aaaaaa???322322312321212221222??????aaaaaa???
323332313331213231222??????aaaaaa???324342314341214241222??????aaaaaa???1/1/2/2/223432421412??????????????iaiaia(3-2)将(1-6)，(1-7)及(1-8)式代入(3-2)式，最终简化为1/1/2/2/223432421412??????????????iaiaia(3-3)将(3-3)式写成1/1)(223432421412????????????iaiaia，并将(2-8)式代入得1/1)1(22
442?????????a，解之得??44a(3-4)第4步将(3-4)式代入(1-9)，(1-10)及(1-11)式，并写成：41343124211411aaaaaaa?????；42343224221412aaaaaaa?????；43343324231413aaaaaaa?????。
将该三式写成矩阵形式
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??????????????????????????????????342414332313322212312111434241aaaaaaaaaaaaaaa???(4-1)将(2-6)式代入得????????????????????????332313322212312111434241aaaaaaaaaaaa???????????????????????321333231232221131211???iiiaaaaaaaaa，相乘后得????????????????????????????????????????????????????321233223213333223221312333123211311333223221312232222212323122211211333123211311323122211211231221211434241??????iiiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(4-2)将(1-2)，(1-3)，(1-4)及(1-6)，(1-7)，(1-8)式代入(4-2)，整理后得?????????????????????????????????????
321243434243414342242424143414241241434241111??????aaaaaaaaaaaaaaaaiaiai(4-3)解之得343242141???aaa??(4-4)将(4-4)式分别代入(4-3)式，如第一行，注意(0-6)式，有0214112412???????aia解之得根一：141??ia??；242??ia??；343??ia??(4-5)
根二：12141??????ia；12242??????ia；12343??????ia(4-6)分别将(4-5)及(4-6)式代入(3-3)式进行验算，唯有(4-5)式能够满足(3-3)式，因此，舍弃(4-6)式，取(4-5)式为合理的根。第5步将(4-5)式代入(1-2)，(1-3)及(1-4)式得2122312212111)()()(??????aaa(5-1)2222322222121)()()(??????aaa(5-2)2322332232131)()()(??????aaa
(5-3)
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将(3-4)式代入(1-5)式得22342242141)()()(?????aaa(5-4)将(4-5)式代入(1-6)，(1-7)，(1-8)，(1-9)，(1-10)及(1-11)式得212323122211211??????aaaaaa(5-5)312333123211311??????aaaaaa(5-6)322333223221312??????aaaaaa(5-7)12343124211411??iaaaaaa???(5-8)
22343224221412??iaaaaaa???(5-9)32343324231413??iaaaaaa???(5-10)第6步参见(0-3)及(0-8)式，如果无空间转动，即在三维空间中，惯性系S与S~的对应空间轴彼此平行??xx~//，3,2,1??，则有????????eeee~~???aa，3,2,1,???。此时(2-6)及(4-1)式中的方阵为对称矩阵。第7步
由(5-5)，(5-6)及(5-7)式得123231212112aaaa?????1323213122aaa?????2313123222aaa?????(7-1)123231212222aaaa?????1323213122aaa?????2313123222aaa?????(7-2)?33a1232312122aaa?????1323213122aaa?????2313123222aaa?????(7-3)将(7-1)，(7-2)及(7-3)式分别代入(5-1)，(5-2)及(5-3)式，整理后得
1223132122(aaa????1323123122aaa?????2231312322)2aaa?????2122132121)()(??????aa(7-4)?212)(a1223132122(aaa????1323123122aaa?????2231312322)2aaa?????2222231)(?????a(7-5)
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??223213)()(aa1223132122(aaa?????1323123122aaa?????2231312322)2aaa?????2321????(7-6)用(7-4)式减(7-5)式得2332212a????2231221aa???1332212a?????2131221aa???2231331aa???2321332aa???2313122221)(aaa????(7-7)用(7-4)式减(7-6)式得2332212a????2231331aa???1223212a?????1321231aa???2231221aa???2321232aa???2313122321)(aaa????(7-8)
用(7-5)式减(7-6)式得1332212a????2321332aa???1223212a?????2321232aa???2131221aa???1321231aa???2313122322)(aaa????(7-9)第8步可将(7-7)及(7-8)式分别写为1221(a??2231331)aa???13122221)[(aa????32212?????2321332]aa???1332212a?????2131221aa???0?(8-1)
1331(a??2231221)aa???13122321)[(aa????32212?????2321232]aa???1223212a?????1321231aa???0?(8-2)将(8-1)及(8-2)视为关于23a的二次方程。由于二次项系数相等，用比较系数法可得两方程一次项系数的关系为：13122221)(aa?????21332a??13122321)(aa???21232a???。将其写成标准二次方程的形式：0)()(32131222232131232??????????aaaa
解之得两个根321312???aa(8-3)
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231312????aa(8-4)(8-1)及(8-2)式“常数项”的关系为133222a???213122aa??122322a????132123aa??。将其整理为0))((1312322123132???aaaa?????可得另外两个根321312???aa(8-5)3221312????aa(8-6)
不难看出(8-3)，(8-4)，(8-5)及(8-6)这4个根，唯有(8-3)与(8-5)两个根相同，即根321312???aa能够同时满足(8-1)及(8-2)式（即同时满足一次项和“常数项”的系数关系）。舍弃(8-4)及(8-6)两根。同理，可将(7-8)及(7-9)式分别写为2332(a??2121331)aa???23212[?????22321a???1223132321])(aaa????2332212a?????2231331aa???0?(8-7)2332(a??2121331)aa???23212[?????21321a???1223132322])(aaa????1332212a?????
2321332aa???0?(8-8)将(8-7)及(8-8)式视为关于12a的二次方程。由于二次项系数相等，用比较系数法可得两方程一次项系数的关系为22321a??23132321)(aa????21321a???23132322)(aa????。整理后得：0)()(21231321222231321??????????aaaa解之得两个根212313???aa；122313????aa。
两式“常数项”的关系为2332212a????2231331aa???1332212a?????2321332aa???。整
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理后得：0))((2313212132231???aaaa?????解之得两个根212313???aa；2122313????aa。比较这四个根，唯有212313???aa(8-9)同时满足(8-7)及(8-8)式。
由(8-3)及(8-9)两根可得312312???aa(8-10)第9步将(8-9)及(8-10)式代入(7-4)式，注意(0-6)及(0-7)两式，整理后得4234a?22322322)1(2a?????043424?????(9-1)解(9-1)式，得4个根：23223)1(???????a及23223)1(???????a，可将其写为
根一：23223)1(??????a(9-2)根二：23223)1(??????a(9-3)根三：23223)1(??????a(9-4)根四：23223)1(???????a(9-5)如果四维正交系O及O~选定为右手系，所描述的四维绝对矢量sd（初始设定）处在O
及O~的正向，参见(0-1)式，而洛伦兹变换不改变这种正向，那么(9-2)式将是唯一符合要求的根。我们将在后面的《附件1》中加以说明，其它三个根(9-3)，(9-4)及(9-5)是由于坐标系的手则，或坐标轴的反射所带来的副产物，应该舍弃。
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第10步将(9-2)式分别代入(8-9)及(8-10)式得22112)1(??????a；23113)1(??????a(10-1)将(9-2)及(10-1)各式代入(7-1)，(7-2)及(7-3)式，并注意对称性????aa?，3,2,1,???。可得22111)1(1??????a；22222)1(1??????a；22333)1(1??????a(10-2)
将(9-2)，(10-1)及(10-2)各式分别代入(2-6)式，并注意对称性????aa?，3,2,1,???。可得114??ia?；224??ia?；334??ia?(10-3)将(3-4)，(4-5)，(9-2)，(10-1)，(10-2)及(10-3)各式代入(0-8)式中的矩阵，并注意对称性????aa?，3,2,1,???，可得无空间转动的固有洛伦兹变换矩阵：???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
321322323223122322222211231221221)1(11)(1)(1)()1(11)(1)(1)()1(1~iiiiiiLkjjkee(10-4)4,3,2,1,?kj。推导完毕！参考文献[1]刘辽等.狭义相对论.科学出版社.2008年7月第二版,2011年4月第二次印刷.[2]邓晓明.四维时空中共轭虚时间是洛伦兹变换内在逻辑的推论.国科社区.国家科技成果网.2014年6月24日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=34980.[3]邓晓明.狭义相对论中的绝对理论初探：关于四维复欧氏空间质点力学相关问题的探讨.国科社区.国家科技成果网.2014年10月10日.
http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=35329.[4]邓晓明.“狭义相对论”中的绝对理论初探（下篇）：实欧氏空间牛顿力学与复欧氏空间
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电磁学具有本质区别.国科社区.国家科技成果网.2015年8月12日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=37615[5]邓晓明.关于爱因斯坦质能方程的讨论.国科社区.国家科技成果网.2015年9月7日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=37716[6]邓晓明.经典牛顿力学拒绝相对论改造.国科社区.国家科技成果网.2015年9月25日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=37896[7]史良马.一般洛伦兹变换的推导.巢湖学院学报.2011年第13卷第6期.附件1
与“第10步”的操作相同，由(9-3)，(9-4)及(9-5)式（另外三个根）可分别得到?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3213223232231223222222112312212211)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1)1(iiiiiiLjk(a)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
3213223232231223222222112312212211)1(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)1(iiiiiiLjk(b)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321322323223122322222211231221221)1(11)(1)(1)()1(11)(1)(1)()1(1iiiiiiLjk(c)4,3,2,1,?kj。为便于理解，笔者将在下文给出简要说明（笔者将另行撰文给出详细说明）。
因为较一般的形式包含特殊形式。为舍弃不合题意的结论（进行否定判断），我们可以用特殊形式进行判定。参见固有洛伦兹变换矩阵(10-4)，如果采用特殊洛伦兹变换条件，则
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有032????，因(0-6)式的关系，得212???。此时可将(10-4)矩阵转化成我们所熟悉的特殊形式。为方便比较，将其写为坐标变换式??????????????????????????????????????????43214321000100001000~~~~dxdxdxdxiixdxdxdxd??????(d)同样采用特殊洛伦兹变换条件，则(a)，(b)及(c)矩阵分别转化为（也写成坐标变换式）??????????????????????????????????????????????43214321000100001000~~~~dxdxdxdxiixdxdxdxd??????(e)????????????????????????????????????????????
43214321000100001000~~~~dxdxdxdxiixdxdxdxd??????(f)????????????????????????????????????????????43214321000100001000~~~~dxdxdxdxiixdxdxdxd??????(g)与特殊洛伦兹坐标变换式(d)进行比较，不难发现，(e)，(f)及(g)各个变换式，变换后其空间分量?xd~，3,2,1??，或全部或部分与(d)式的相差一个负号。这说明：（1）(e)式的O~系空间坐标轴1~x，2~x及3~x都为(d)式的反射；
（2）(f)式的O~系空间坐标轴有两个，即2~x及3~x为(d)式的反射；（3）(g)式的O~系空间坐标轴有一个，即1~x为(d)式的反射。由于我们初始约定变换后的空间分量为正向，参见(0-1)式，故变换(e)，(f)及(g)不符合题意要求，所以变换矩阵(a)，(b)及(c)应该舍弃。
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