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推导及图示一般固有洛伦兹变换邓晓明2015年11月30日engineerdxm@sina.com摘要：给出一般固有洛伦兹变换详细的推导步骤和图示。推导出空间转动矩阵，并进行讨论。关键词：狭义相对论，一般洛伦兹变换，普遍洛伦兹变换，一般固有洛伦兹变换中国分类号：O412.1前言
物理对象是客观的，引入的惯性系S与S~是主观的。根据数学处理的需要，S~系相对S系的姿态也是人为认定的。为数学上的方便，大多数情况下都选择特殊洛伦兹变换条件。但也有必须选择“无空间转动固有洛伦兹变换”或“一般固有洛伦兹变换”条件的情形。如笔者在之前文章[1]所涉及的问题。对一般固有洛伦兹变换的介绍，可参阅刘辽及郑庆璋等[2][3]书籍的相关章节。似乎仅是一种结论性简介。仅提及“空间转动矩阵”，但没有给出数学表达，更没有相应的讨论。本篇将尝试对“一般固有洛伦兹变换”给出详细的推导步骤及对应的图示，推导出“空间转
动矩阵”，并进行讨论（参见附件1）。探索之作，如有错误，恳请批评指正。推导前的准备笔者之前的文章[4][5]讨论过“无空间转动固有洛伦兹变换”，是指在三维空间中两惯性系S与S~以任意相对速度常矢????eev~vv???，3,2,1??(0-1)作相对运动时，对应的空间轴彼此平行?x(?e)//?x~(?e~)，3,2,1??，即两惯性系之间没有
相对转动。本篇将要讨论的“一般固有洛伦兹变换”其实质是“有空间转动固有洛伦兹变换”。参
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见图1，所谓“有空间转动”是指在三维空间中两惯性系S与S~以任意姿态，任意相对速度常矢????eev~~vv???，3,2,1??(0-2)作相对运动时，对应的空间轴?x(?e)与?x~(?e~)彼此不平行。即两惯性系之间存在相对转动。
需要注意的是，这种相对“转动”不是力学意义上的物理转动，仅是数学推理过程中反映在几何意义上的转动。该相对“转动”分别由S和S~系的相对速度分量?v和?v~（等效于，依次绕3及2坐标轴旋转的角度参数?，?及?~，?~），及S~系绕速度矢量v（依次旋转后，绕1轴）相对S系的旋转角度?所描述。旋转角度参数?，?及?~，?~可由(0-2)式的速度空间分量确定。参见图1，通过几何关系，我们容易得到：22211)()(cosvvv???；22212)()(sinvvv???；v2221)()(cosvv???；v3sinv??。
22211)~()~(~~cosvvv???；22212)~()~(~~sinvvv???；v2221)~()~(~cosvv???；v3~sinv??。因为2322212322212)~()~()~()()()(vvvvvv??????v，如果设cv??，cv????，cv???~~?，3,2,1??(0-3)其中c为光速。自然有2322212322212~~~?????????????。将(0-3)式?c?v，???cv?及
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???~~cv?分别代入上述三角函数有22211cos??????；22212sin??????(0-4)????2221cos??；???3sin?(0-5)22211~~~~cos??????；22212~~~~sin??????(0-6)????2221~~~cos??；???3~~sin?(0-7)
参见图1，为推导一般固有洛伦兹变换，我们要进行的操作是：（1）在三维空间中，分别旋转两惯性系S及S~的空间标架（初始系）?x(?e)及?x~(?e)，使空间轴1x及1~x与速度常矢v方向一致；（2）使旋转后的S~系的标架?x~(?e~)绕1~x轴旋转（也可以说绕v旋转），使2x与2~x，3x与3~x轴都平行，得到类似于特殊洛伦兹变换条件；（3）最终，在四维复欧氏时空中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，得到一般固有洛伦兹变换。为了使每一步变换都可辨认，下文将每次旋转后的坐标系用不同英文字母表示。第1步
参见图1及图2-(a)，将初始坐标系?x及?x~分别绕空间轴3x及3~x旋转?及?~使两系的1轴分别落在由矢量3e及v；3~e及v（参见图1）所确定的平面上，此时得到过渡坐标系?y及?y~。其坐标变换分别为：XRY??(1-1)XRY~~~??(1-2)其中
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??????????????1000010000cossin00sincos?????R(1-3)??????????????1000010000~cos~sin00~sin~cos~?????R(1-4)为旋转矩阵。过度系及初始系的坐标为：??TyyyyY4321?；??TxxxxX4321?；??TyyyyY4321~~~~~?
；??TxxxxX4321~~~~~?。
需要注意的是，这种旋转不是单纯的三维空间的旋转，事实上是四维复欧氏时空中的四维正交坐标系的整体行为。在三维空间中，我们可以简单地理解为分别绕空间轴3x及3~x所进行的旋转。如果拓展到四维空间，?及?~角所在的平面也分别正交于时间轴4x(4e)及4~x(4~e)，即在绕空间轴3x及3~x旋转的同时，也在绕时间轴4x及4~x旋转。体现在旋转矩阵(1-3)及(1-4)上，就是两个坐标对应元素为1，即两个坐标在旋转中不变，即3x=3y；3~x=3~y；4x=4~x。
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此外，确保(1-1)，(1-2)及下文将要提及的旋转变换得以成立的先决条件为，四维复欧氏时空中的绝对矢量不变，例如时空间隔矢量不变jjjjxxee~~?，4,3,2,1?j。第2步参见图2-(a)及(b)，将过渡坐标系?y及?y~分别绕空间轴2y及2~y旋转?及?~，使两系的1轴都与速度矢量v重合，此时得到目标坐标系?z及?z~。其坐标变换分别为YRZ??(2-1)YRZ~~~??(2-2)
与上节同理，?及?~角的旋转矩阵分别为??????????????10000cos0sin00100sin0cos?????R(2-3)????????????????10000~cos0~sin00100~sin0~cos~?????R(2-4)??TzzzzZ4321?及??TzzzzZ4321~~~~~?为目标系的坐标。第3步
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参见图2-(b)，目标系?z与?z~的1轴共轴且与v重合。显然32zz?平面与32~~zz?平面平行。但一般情况下，轴2z与2~z，3z与3~z并不平行。参见图3，绕1~z轴单独旋转?z~系，最终使两系的对应坐标轴平行，其坐标变换为ZRW~~??(3-1)其中??????????????10000cossin00sincos00001?????R(3-2)
为旋转矩阵。??TwwwwW4321~~~~~?为?w~系的坐标。第4步参见图3，坐标系?z及?w~与相对速度常矢v的关系，完全符合特殊洛伦兹变换条件。此时有?2z2~w；?3z3~w。与该两系相对应的四维系的虚角旋转变换可写为我们所熟悉的形式LZW?~(4-1)其中??????????????????iiiiLcos00sin01000010sin00cos
(4-2)为常见的特殊洛伦兹变换矩阵。众所周知，其中???ii?sin；???icos(4-3)其几何本质为，在四维复欧氏时空中，正交系jz~（4,3,2,1?j）绕?2z2~w及?3z3~w轴，旋转了虚角?i。第5步将(1-1)式代入(2-1)式得XRRZ
???(5-1)
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将(1-2)式代入(2-2)式得XRRZ~~~~???(5-2)(5-2)式的逆变换为ZRRX~~~~11?????(5-3)将(3-1)式的逆阵代入(5-3)式WRRRX~~~~111???????(5-4)将(4-1)式代入(5-4)式得LZRRRX111~~~???????
(5-5)将(5-1)式代入(5-5)式得XRLRRRRX?????111~~~????(5-6)(5-6)式即为一般固有洛伦兹变换。第6步参见笔者前文对(0-2)式的描述，一般固有洛伦兹变换是指，在四维复欧氏时空中，一般情况下，两初始坐标系?x与?x~之间存在空间转动，也即两者所对应的惯性系，在三维空间
中对应的坐标轴彼此不平行。设两者的坐标变换为DXX?~(6-1)其中D为四维复欧氏时空中的空间转动矩阵，可由(0-2)式的速度空间分量?v及?v~，3,2,1??，分别描述绕2（及4）及3（及4）轴的转动，由给定转角?描述绕1（及4）轴的转动（后文将详细讨论）。参见图1，图2及图3，如果仅考虑纯空间转动，初始坐标系?x与?x~分别经过?-?及?~-?~-?旋转后所得到的?z与?w~系的对应坐标轴（在三维空间中）彼此平行。由于两惯
性系S及S~一旦选定，它们之间的相对空间旋转“角度”则为常量，不随时间和距离而变。因此，参见图3，考虑两系在原点重合时有关系WZ~?，将(2-1)及(3-1)式代入得：YR?ZR~??，再将(1-1)，(2-2)及(1-2)依次代入得
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XRRRXRRWZ~~~~????????(6-2)将(6-1)代入(6-2)，整理后得111~~?????????RRDRRR(6-3)其逆阵为111~~?????????RDRRRR(6-4)由(6-3)或(6-4)式，可得四维复欧氏时空中的空间转动矩阵?????RRRRRD111~~????(6-5)第7步
将(6-4)式代入(5-6)式，得?X~11????RDRLXRR??(7-1)比较(5-6)式，这里的(7-1)式即为我们最终需要的（几何意义明确的）形式，即“一般固有洛伦兹变换矩阵”等于“无空间转动固有洛伦兹变换矩阵”左乘一个“空间转动矩阵D”。参阅笔者之前文章所讨论的无空间转动固有洛伦兹变换“?X~11????RRLXRR??”[5]，不难发现(7-1)式的变换矩阵仅多出了个空间转动矩阵D。无空间转动固有洛伦兹变换矩阵中元素的求法可由(0-4)及(0-5)式求得，具体运算不再赘述，请参阅笔者之前的文章[5]。将(7-1)式写成矩阵形式则为：????????????????????????????????????????????????????????????????
43213213223232231223222222112312212214321)1(11)(1)(1)()1(11)(1)(1)()1(1~~~~xxxxiiiiiiDxxxx??????????????????????????????????????????????(7-2)或写为??????????????????????424/)1(~~xxiiDxxkkjkjjkj??????????，3,2,1,?kj(7-3)将(0-3)式代入(7-3)式，并注意ictx?4，ticx~~4?，整理后可写出其矢量形式
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??????????????????????????tctDt????22])1[(~~xvvxvvxx(7-4)显而易见，(7-2)式中的D如果为单位阵，ID?，其几何意义为，初始坐标系?x与?x~之间的空间没有相对转动，即在三维空间中，两系所对应的惯性系坐标轴彼此平行，(7-2)式将还原成我们所熟悉的形式---无空间转动固有洛伦兹坐标变换。完毕！关于四维复欧氏时空中“空间转动矩阵D”的详细讨论，如感兴趣，请继续阅读“参考文献”后面的附件1。参考文献[1]邓晓明.经典牛顿力学拒绝相对论改造.国科社区.国家科技成果网.2015年9月25日.
http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=37896[2]刘辽等.狭义相对论.102-105页.科学出版社.2008年7月第二版.2011年4月第二次印刷.[3]郑庆璋等.广义相对论基础教程.110-117页.中山大学出版社.1991年12月第一版.1991年12月第一次印刷.[4]邓晓明.无空间转动的固有洛伦兹变换的一种新的推导方法.国科社区.国家科技成果网.2015年10月28日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=38153[5]邓晓明.详细图解无空间转动固有洛伦兹变换.国家科技成果网.2015年11月9日.
http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=38292附件1参见(6-5)式，为讨论方便，不妨将四维复欧氏时空中的空间转动矩阵写在这里?????RRRRRD111~~????(0-a)为求其解析式，我们需要如下运算。由(1-3)及(2-3)两式可得????????????????10000cossinsincossin00cossin0sinsincoscoscos??????????????RR(0-b)
由(1-4)及(2-4)两式可得
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????????????????????10000~cos0~sin0~sin~sin~cos~cos~sin0~sin~cos~sin~cos~cos~~11??????????????RR(0-c)设?????????????44434241343332312423222114131211ddddddddddddddddD(0-d)将(3-2)式的逆阵，(0-b)及(0-c)式代入(0-a)式，可求矩阵(0-d)各元素，具体可得形如?????????????1000000333231232221131211dddddddddD(0-e)
的一般形式的空间转动矩阵。顾名思义，由(0-e)矩阵不难看出，在四维复欧氏时空中，这种转动，的确是绕时间轴的空间转动。参见(7-4)式，此时一般固有洛伦兹坐标变换的矢量形式可写为])1[(~2tDD???????vxvvxx；)(~2cttxv????(0-f)矩阵(0-e)中诸元素jkd为：???????~sin~cos(sincoscos~cos~cos11??d????sin)~sincossin???~sin(sin??????cos)~sin~coscossin????????????sin)~sinsinsin~sin~cos(coscossin~cos~cos
12???d???????cos)~sincos~sin~cossin(sin????????????cos~sin~coscossin~sincossin~cos~cos13???d???????????sin)~coscossin~sin~sin(sincoscos~cos~sin21???d???????cos)~cossin~sin~sincos(sin?????????????sin)~sin~sincos~cossin(sinsincos~cos~sin22???d
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???????cos)~coscos~sin~sinsin(sin????????????cos~sin~sincossin~coscossin~cos~sin23???d??????????coscossin~cossinsin~coscoscos~sin31???d??????????cossinsin~cossincos~cossincos~sin32???d?????coscos~cossin~sin33??d014?d；024?d；034?d；041?d；042?d；043?d；144?d。可见，(0-a)为一般形式的空间转动矩阵，上述jkd为其一般形式的元素。若将(0-4)~(0-7)
式代入，也可得),~,(?????jkd形式的元素。其中4,3,2,1,?kj，3,2,1,???。根据5个转角?，?，?，?~及?~的不同组合，可了解特殊情况下的空间转动矩阵的几何意义。本篇仅给出几个典型情况进行讨论：讨论1当???~；???~；0??时，将其代入上述诸式jkd，或直接由(0-a)式（此时IR??1?）可得四维复欧氏时空中的空间转动矩阵为单位阵ID?(1-a)
参见图a的示意，在三维空间中，其几何意义为，惯性系S~相对于惯性系S没有空间转动（对应空间轴彼此平行）。将(1-a)式代入(7-2)式，可得到大家所熟悉的，无空间转动固有洛伦兹坐标变换。
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讨论2当???~；???~；0??时，在三维空间中，惯性系S~相对于惯性系S没有绕1轴的空间转动（参见图2及图3的变换次序），但存在绕2及3轴的空间转动。这两个转动取决于速度分量?v及?v~，3,2,1??。参见图b的示意。
此时IR??，由(0-a)式可得，四维复欧氏时空中的空间转动矩阵为????RRRRD11~~???(2-a)由(2-a)式或将???~；???~；0??代入上述诸式jkd，可得矩阵元素如下：????coscos~cos~cos11?d??~sinsin?????~sin~coscossin?????cossin~cos~cos12?d??????~sincos~sin~cossinsin????????~sin~coscossin~cos~cos13??d????coscos~cos~sin21?d??????~cossin~sin~sincossin??????sincos~cos~sin
22?d??????~coscos~sin~sinsinsin????????~sin~sincossin~cos~sin23??d??????cossin~coscoscos~sin31??d??????sinsin~cossincos~sin32??d
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????cos~cossin~sin33??d014?d；024?d；034?d；041?d；042?d；043?d；144?d。讨论3当???~；???~；0??时，在三维空间中，惯性系S~相对于惯性系S没有绕2及3轴的空间转动（参见图2及图3的变换次序），仅存在绕1轴（或v）的空间转动。参见(0-a)式，此时四维复欧氏时空中的空间转动矩阵为?????RRRRRD111????(3-a)
由(3-a)式或将???~；???~；0??代入上述诸式jkd，可得矩阵元素如下：??2211coscos?d??cossin2????coscossin22??????sinsincossincos212??d????coscoscossin2???????????cossincoscossinsincossincoscos13???d?????sinsincoscossin221??d????coscoscossin2???2222sincos?d?????coscoscossinsin222????????????cossinsincossincoscossincossin23???d??????????coscossincossinsincoscoscossin
31???d
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??????????cossinsincossincoscossincossin32???d???coscossin2233??d014?d；024?d；034?d；041?d；042?d；043?d；144?d。讨论4当???~；???~；0??时，在三维空间中，惯性系S~相对于惯性系S没有绕1及2轴的空间转动，仅存在绕3轴的空间转动。此时IR??，将相关条件代入(0-a)式，得此种情形下的四维复欧氏时空中的空间转动矩阵为
??RRD1~??(4-a)
由(4-a)式，或将???~；???~；0??代入上述诸式jkd，可得???????????????????1000010000cos~cossin~sinsin~coscos~sin00cos~sinsin~cossin~sincos~cos~1??????????????????RRD或写为????????????????????1000010000)~cos()~sin(00)~sin()~cos(~1??????????RRD(4-b)比较图d，此种情形为，初始系?x~相对于?x绕3轴（3x或3~x）转动了???~角。
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讨论5当0~????；0~????；0??时，将其代入(0-a)式得1???RD(5-a)参见(3-2)式，此时四维复欧氏时空中的空间转动矩阵仅为绕1轴的转动。
参见图d，如果0??，则构成特殊洛伦兹变换条件。考虑(0-4)及(0-5)式，如果此时再将0??及0??代入(7-2)式，则可得我们所熟悉的特殊洛伦兹坐标变换。完
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