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从实例入手认识张量邓晓明2016年5月12日engineerdxm@sina.com题记：并矢是矢量的自然延伸。都说，张量是矢量的拓展，不如说，是张量这个纯粹的数学概念把矢量和并矢给收编了，对其重新进行抽象的定义，使其脱离原本很“接地气”的物理概念。这似乎标志着数学上的进步......前言
从经典物理学的角度来看，标量和矢量的概念清晰易懂，因为两者的原形就在我们周围的世界之中。而张量却有所不同，不论从它的现代定义或古典定义来看，它都是一个纯粹的数学概念。许多初学者急切想看到张量长的什么样，翻遍了教科书，查遍了网却依然不见庐山。有的人甚至认为张量是为“牲口”准备的，不是人学的玩意儿。因为绝大部分张量的入门教材，就张量而论张量，开篇就是一系列的抽象表述。对于一般初学者而言，这种违反认识规律的，从抽象到抽象的结果，自然是云山雾罩，一塌糊涂了。当然不排除背功一流的学霸，一股脑全然死记于心，但要真正理解，恐怕还是要在接触若干实例之后才能慢慢实现。的确也有极少部分“非正统”教材从实例入手，但讲解的并不细致，对初学者而言，存在推理盲点，致使对某些关键的知识点不知所云。
笔者将回忆，整理以前的学习体会，同时也对矢量、并矢及张量的概念，及其之间的关系进行相应的讨论。部分心得及公式表达（包括角标运算）是笔者自己的总结。如果有错误，欢迎批评指正，如果还有那么一点价值，愿与感兴趣的朋友分享，如果对读者真能有所助益，岂不是一大快慰！必要的张量知识，是学习，理解或质疑现代物理学的必备工具。笔者个人观点，如果不是玩儿纯数学的，就先不要被那些五花八门的抽象数学空间所迷惑，从实际例子出发，似乎是张量学习的敲门砖。如果只想玩儿物理学（包括工程学等），先搞懂二阶张量足矣。具体例子有：应力张量，应变张量，各种梯度张量，电磁场张量等。本篇以引用最多的笛卡尔应力张量实例入手。因为它本来就是张量起源的原形，只是张量理论的发展，成型得益于黎曼几何。今后如果有时间再与朋友们分享一般张量的学习体会。万
事开头难，天道酬勤，孰能生巧，巧能旁通。只要付出努力，张量知识是不难掌握的。笔者自身的经验，仅供参考。对于初学者而言，以下几点需要多加注意：（1）张量是一个纯数学概念，其定义与以往的物理或数学概念不同，例如不像矢量定义那样的直白，乍看
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起来似乎有点怪异，但却扩大了概括的范围。笔者先用初学者所熟悉的经典线性代数和矢量分析等相关知识，推出所有公式，然后自然地过渡到张量状态。张量的古典定义也放在最后给出；（2）张量的表达形式也不像以往的物理或数学变量，仅限为一个或两个，如矢量的整体代数形式和列矢（矩阵）形式，进阶到张量状态，似乎打通了“任督二脉”，其表达形式也多种多样，这种灵活性虽然表现了数学的魅力，但也往往是初学者困惑的地方。笔者将几种表达形式的来龙去脉讲清楚后，以表格的形式放在一起，以便比较；（3）二阶张量的变换式，通常有矩阵形式和分量形式。这也是初学者容易搞混的地方。笔者给出详细的推导过程，并说明了两者之间的关系；（4）以往物理或数学变量的角标仅仅是一种简单的区分功能，张量状态的角标则要与数学公式一样，严肃认真地对待，因为它是一种实实在在的运算。笔者
不但在通篇推理过程中即时进行说明，也在最后的附件1中，给出具体实例及详细的推导过程，供感兴趣的朋友分享。为便于初学者比较，所有的表达式也都尽量给出其“展开式”、“分量式（或简记）”及“矩阵式”这三种形式。笔者建议，在阅读时，如果能按照笔者的思路，亲自再推导一遍这些公式（这一点很重要），或许在你读完时，就已经了解张量的基本概念了。阅读本文必备的基础为：经典线性代数，及一点矢量分析，牛顿力学，弹性力学（或材料力学）中的静力平衡方面的知识。1应力张量概念的引出
参见图1-(a)，考察处于受力平衡状态的某弹性体，将其内的任意一点q按坐标面截取一个微小的四面体元V?，并将其放大为图1-(b)的情形。
其中nAA???为三角形abc的面元矢量，n为该面元的单位法矢量；1A?，2A?，3A?
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分别是三角形qbc，qac，qab的面元矢量；h为q点到面元abc的“特征距离”。ρ为面元（abc）A?上的应力；1σ，2σ，3σ分别为面元（qbc）1A?，（qac）2A?，（qab）3A?上的合应力，显然有关系1312111σσσσ???，2322212σσσσ???及3332313σσσσ???，或写为??????????????333232131332322212123132121111eeeσeeeσeeeσ?????????或简记jijieσ??或???????????????????????????????321333231232221131211321eeeσσσ?????????(1-1)
自然3,2,1,?ji。对应面元iA?上的?????jijiij切应力（模），当法应力（模），当为?。因为n及ie均为单位矢量，矢量n的分量为??????????????),cos(),cos(),cos(333222111enenenenenennnn或简记),cos(iiinenen???(1-2)由此，面元nAA???在各个坐标面上的投影为???????????????????????333222111nnnAenAAAenAAAenAA或简记iiinAenAA??????(1-3)
面元矢量为111112222233333()()()()()()?????????????????????????????AAeeAeAAeeAeAAeeAe或简记iiiiieAeeAA????????))(((1-4)参见图2，根据牛顿第二定律，四面体元的受力情况为aeAσeAσeAσnAρVVf????????????????)()()()(333222111(1-5)其中?为质量密度；V?为四面体元的体积；a为加速度；Vf?为任意与体积关联的力。将(1-3)式代入(1-4)式得iiineAA????，将其及AnA????代入(1-5)式，整理后得
112233fVVnnn???????????aρσσσ0AA参见图2，若“特征距离”0?h，则0??A及0V??。与A?相比，V?为高阶无
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穷小量，则其极限为1122331122330lim()0hfVVnnnnnn????????????????aρσσσρσσσAA即332211σσσρnnn???或简记iinσρ?(1-6)将(1-1)及(1-2)式代入(1-6)式得)(332211332211jjjjjjjjjjjjeeeeeeneeneeneenρ????????????????最终可写为)(
jiijeenρ???(1-7)若令jiijeeσ????(1-8)(1-7)还可写为σnρ????(1-9)这里的σ??（字母顶端戴两个小点）称为r矢端处的应力张量实体，其完全确定了该点的应力状态。参见(1-8)式，其中ij?为应力张量的分量形式，其矩阵形式可写为?????????????
333231232221131211??????????ij(1-10)jiee为基张量。需要注意的是，本篇ij?仅表示分量形式（矩阵中的元素），矩阵表示则写为??ij?。因为分量形式和矩阵形式，在运算上是有区别的（后文将有介绍）。大部分现有文献或教材不加区分，都写成ij?（初学者很容易误会，只有熟练后才能习惯）。需要注意四个符号ijσ，ij?，iσ及σ??的不同意义及关系。（1）ijσ已在图1-(b)中画出，表示各个坐标方向的应力；（2）某个具体的ij?，例如23?是个标量，即可表示矢量2σ，参见(1-1)式，的第3个分量，也可表示张量σ??，参见(1-8)或(1-10)式，的第(2,3)个分量；（3）
整体的ij?，则表示一个张量，称为张量的分量形式，参见(1-10)式，对于二阶张量也可表示为一个矩阵??ij?；（4）参见(1-1)式，iσ表示应力矢量；（4）参见(1-8)式，σ??表示张量（并
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矢）。对于这些表示方法及其关系，用一个简单的比较即可理解和记忆。表1矢量矢量的实体形式矢量的分量形式矢量的列矢形式矢量：实体形式，分量形式，列矢形式，完全等价本文例题jijieσ??本文例题??Tiii321???一般表示iixex?一般表示ix一般表示??Txxx321
张量张量的实体（并矢）形式张量的分量形式张量的矩阵形式张量：并矢形式，分量形式，矩阵形式，完全等价本文例题jiijeeσ????本文例题ij?本文例题??????????333231232221131211?????????一般表示jiijTTee?一般表示ijT一般表示??????????333231232221131211TTTTTTTTT参见表1及图1，一旦坐标系),(ioe选定，则矢量的基ie及张量的基jiee也就唯一确定了。此时仅用由分量组成的有序数组就可完整表达一个矢量或张量。只不过矢量与张量数组的有序性表现不同，如矢量（一阶张量）为“线性”，有一个角标；而二阶张量为“平面性”，有两个角标。需要注意的是，高于二阶的张量就不能用矩阵形式表达了。后文将会有介绍，
张量不只局限于并矢。2应力张量的实体不变性(1-7)至(1-8)式是最为关键的一步，引出了张量概念。为什么说应力张量σ??完全确定了弹性体内q点的应力状态？答案要从两方面理解：（1）在给定坐标系),(ioe的情况下，基张量jiee是固定的。参见图1-(b)，q点的各个应力张量分量ij?也都是定数，因此应力张量σ??不变。即与面元A?（单位矢量n）的变化无关。参见(1-9)式，某面元A?上的应力矢量ρ仅随n变化，其物理意义是明显的，即任意给定面
元A?上的应力ρ是不变的；（2）如果选取另一个共原点的新坐标系)~,(joe描述q点的应力状态，假定n不变，自然面
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元A?上的应力ρ也不变，重复从(1-1)至(1-9)的推理过程，最终可写出σnρ~????。与(1-9)式相比较可得σσ~?????(2-1)由此可见q点的应力张量实体与坐标系的选择无关。重复第一节的推理过程，我们也可得到)~,(ioe系所表达的q点的应力张量及相关公式，如与(1-1)式形式相同的公式??????????????333232131332322212123132121111~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~eeeσeeeσeeeσ?????????或简记hkhkeσ~~~??或???????????????????????????????321333231232221131211321~~~~~~~~~~~~~~~eeeσσσ?????????(2-2)
及与(1-8)式形式相同的公式hkkheeσ~~~~????(2-3)这里3,2,1,?hk。基于以上两点，可以说，应力张量σ??完全确定了弹性体内q点的应力状态。虽然q点的应力张量不变，但一般情况下弹性体内其它点的应力张量随位置矢量r而变，因此称弹性体内各点应力张量的集合为应力张量场。3笛卡尔系的过渡矩阵及坐标变换本节的3.1，3.2及3.3小节的内容都是经典线性代数里的知识，不妨复习一下。
3.1过渡矩阵如果引入另一个新的共原点的（笛卡尔系）正交系)~,(ioe，由经典线性代数的知识容易知道，其与上节所用的老正交系),(joe的关系取决于过渡矩阵??????????????333231232221131211aaaaaaaaaaAij(3-1)即???????????????????????????????
321333231232221131211321~~~eeeeeeaaaaaaaaa或??????????????333232131332322212123132121111~~~eeeeeeeeeeeeaaaaaaaaa或简记jijiaee?~(3-2)如果用ke点乘上式可得
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????????????????????),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(),~cos(~332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeekikiika(3-3)自然，该式还可写为),~cos(~kikiikaeeee???(3-4)显然，其几何意义为基矢ie~在ke轴上的投影。虽然过渡矩阵的概念简单易懂，但却是张量概念中的核心概念。此外，初学者需要熟练角标规则，如(3-2)简记形式中的哑标j可以在某项中随意替换，如也可写成hihiaee?~；虽然自由标也可随意替换，但方程中各个项要统一替换，如也可写成hshsaee?~。角标运用的这种灵活性，也会给初学者带来困惑，熟练后便
可适应。3.2坐标变换：),(joe与)~,(ioe系各自所表达的列矢之间的关系仿射空间中的一般坐标变换为随过渡矩阵的转置逆阵而变，即??????jTijixax1)(~??。因为正交系的过渡矩阵有关系????Tijijaa??1，故不分逆变与协变，坐标都改为下标（为避免干扰，仿射坐标的情形在此可以忽略）。此时坐标变换与基变换(3-2)形式相同，可写为???????????????????????????????321333231232221131211321~~~xxxaaaaaaaaaxxx或??????????????333232131132322212123132121111~~~xaxaxaxxaxaxaxxaxaxax或简记jijixax?~(3-5)
参见表1，这里??Txxx321~~~及??Txxx321(3-6)也可称为列矢。3.3坐标变换：),(joe与)~,(ioe系各自所表达的同一矢量实体之间的关系两系各自所表达的同一矢量的实体形式可写为iixxxxeeeex~~~~~~~~~332211????或jjxxxxeeeex????332211(3-7)因为xx~?。由(3-7)式，可得jjiixxee?~~。用ke~点乘该式两端得jjkiikxxeeee???~~~~，参见(3-4)
式，kjjka??ee~（过渡矩阵中的元素），及由正交系可知kiik???ee~~（克罗内克符号），这两个公式一定要熟记于心。该式还可写为jkjikixax?~?。参见后面的附件1-(2)中的(2-b)式，
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根据ki?的更换角标公式kikixx~~??，最终可得(3-5)式jkjkxax?~（调换一下自由标看看）。这3个小节的内容简单易懂，都是经典线性代数的知识，在此列出的目的有两个：（1）强调一下过渡矩阵，因为它是后文将要介绍的，张量古典定义中的最重要概念；（2）参见表1，通过两种形式的矢量运算，最终的结果殊途同归。这也可以与下面的3.4及3.5小节所介绍的两种形式的张量运算进行比较。3.4坐标变换：),(joe与)~,(ioe系各自所表达的“列张量”之间的关系有趣的是，张量也有与上述矢量相类似的表达关系。将(1-2)式代入(1-6)式得)cos()cos()cos(332211en,σen,σen,σρ???
参见图1-(b)及图2，由于单位矢量n的选取是任意的，如果将其替换成)~,(ioe系的某轴基矢ie~，则该基矢（法向量）所对应面元iA~?上的应力为)~cos()~cos()~cos(~332211e,eσe,eσe,eσσiiii???或简记)~cos(~jijie,eσσ?
参见(3-4)式，最终可写为jijiaσσ?~或展开??????????????333232131332322212123132121111~~~σσσσσσσσσσσσaaaaaaaaa或???????????????????????????????321333231232221131211321~~~σσσσσσaaaaaaaaa(3-8)因为与列矢形似，故笔者称??T321~~~σσσ及??T321σσσ为应力“列张量”。需要注意的是，列矢的有序元素为标量，而应力“列张量”的有序元素则为应力矢量。显然(3-8)式即为
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应力“列张量”的变换。这种形式的应力张量在早期的教科书中常见[1][4]。3.5坐标变换：),(joe与)~,(ioe系各自所表达的同一张量实体之间的关系将(1-2)式代入(1-6)式得iiσenρ??，比较(1-9)式，我们可得应力张量的另一种表达形式iiσeσ???展开式332211σeσeσeσ?????(3-9)参见第2节的讨论，我们也可写出)~,(ioe系的表达jjσeσ~~~???展开式332211~~~~~~~σeσeσeσ?????(3-10)由(2-1)式可得
iijjσeσe?~~(3-11)用ke~点乘(3-11)式得iikjjkσeeσee???~~~~，由于正交系有关系kjjk???ee~~，及参见(3-4)式，kiika??ee~，则该式可写为ikijkjaσσ?~?，根据换标公式，详见后面的附件1-(2)中的(2-a)式，最终为ikikaσσ?~，显然该式与(3-8)式等价。用矢量（参见3.2及3.3小节）与张量（参见3.4及3.5小节）比较，情形类似，不同的是并矢iiσe中的矢量不能随意调换位置（不满足交换律）。为便于比较和记忆，给出表2。显然这也有助于在各种不同的文献或教科书中识别不同
形式的二阶张量。表2张量张量的实体（并矢）形式张量的分量形式张量的矩阵形式张量的这几种表达形式完全等价jiijeeσ????ij???????????333231232221131211?????????iiσeσ???本行的形式在老教科书中常见??T321σσσ4应力张量变换的两种通用形式
4.1应力张量的矩阵形式的变换式将(1-1)及(2-2)式中的矩阵形式代入(3-8)式可得
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???????????????????????????????????????????????????321333231232221131211333231232221131211321333231232221131211~~~~~~~~~~~~eeeeee??????????????????aaaaaaaaa注意正交系有关系ijji???ee，将等式两边同时右（点）乘??321eee，整理后得??????????????????????????????????????????????????333231232221131211333231232221131211332313322212312111333231232221131211~~~~~~~~~~~~~~~~~~??????????????????aaaaaaaaaeeeeeeeeeeeeeeeeee参见(3-1)及(3-3)式，ijjia??ee~，整理后可得1333231232221131211333231232221131211333231232221131211333231232221131211~~~~~~~~~??????????????????????????????????????????aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????????(4-1)
参见过渡矩阵(3-1)式，因为是正交阵，故有关系TAA??1，将其代入(4-1)式得TAA?????????????????????333231232221131211333231232221131211~~~~~~~~~??????????????????(4-2)该式即为应力张量的矩阵形式的变换。4.2应力张量的分量形式的变换式将(1-8)及(2-3)式代入(2-1)式可得张量方程jiijhkkheeee???~~~(4-3)
为了使初学者体会张量的并乘及缩并的由来，不妨还是使用经典线性代数中所熟悉的方法，来处理(4-3)式。回忆从(1-6)到(1-7)式的推理，及之后的张量概念的引出过程，自然可将(4-3)式调整为jijihkhkeeee???~~~，如果用se~，3,2,1?s，点乘该等式两端可得jijishkhkseeeeee?????~~~~~(4-4)因为siisa??ee~，skks???ee~~。将该两式代入(4-4)式得jijsihkhskaee????~~。根据sk?的更换角标公式khsksh???~~?，详见后面的附件1-(2)中的(2-b)式，则该式可写为jijsihshaee???~~(4-5)
因为(4-5)式已退化为矢量方程，可写为ijjsishha??ee?~~。重复刚才的操作，用le~，3,2,1?l，
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点乘该等式得ijjlsishhla??eeee???~~~~，即ijljsishlhaa????~，根据lh?的换标公式shlhsl???~~?，详见附件1-(2)中的(2-c)式，最终可写为ijljsislaa???~(4-6)该式就是应力张量的分量形式的变换式，也是一般文献或教科书中的常用形式。有了上述矢量运算过程，也就不难理解张量的运算规则为什么那样规定。例如，用单位矢量se~（一阶张量）并乘张量(4-3)式得，三阶张量方程jisijhkskheeeeee~~~~~???（三个矢量并在一起称三重矢），然后缩并（两个相邻的基矢点乘）jisijhkskheeeeee???~~~~~??，这也很容
易理解，为什么缩并一次降两阶，变成了矢量（一阶张量）jijsihkhskaee????~~，同理再用基矢（一阶张量）le~进行同样的操作，最终得(4-6)式。4.3二阶张量的矩阵形式变换与分量形式变换的关系对(4-1)或(4-2)式进行矩阵运算，第一步得???????????????????????????????iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211333231232221131211333231232221131211~~~~~~~~~??????????????????第二步得?????????????????????
jiijjiijjiijjiijjiijjiijjiijjiijjiijaaaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????????332313322212312111333231232221131211~~~~~~~~~矩阵对应元素相等，两边矩阵对应元素下的数字角标，用一样的自由标（英文字母s及l）替代，两边矩阵内的任意元素可写为：jilisjslaa???~。在上两步矩阵运算中，由于i及j均为哑标，可以自由调换，该式又可写成ijljsislaa???~，比较(4-6)式，两者完全相同。由此不难体会分量变换式就是矩阵变换式中的某一元素的通用公式表达。需要注意的是，矩阵变换式(4-2)中各个矩阵的位置不能相互调换；而由于分量变换式(4-6)是矩阵内的某一元素，因此各项的位置可以随意调换，如又可将其写为ljsiijslaa???~或ljijsislaa???~。需要注意的是，张量不是矩阵，矩阵只是一阶和二阶张量的一种表达形式而已。对于高
于二阶的张量，就只能用分量形式来表达。如三阶张量ijkT还可写为“三维立体矩阵”的形式，而四阶张量ijklT就只能想象为“四维超立方体矩阵”（参见周法哲的系列博文[6]）。
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5张量的古典定义初学者容易产生误会，似乎一阶张量都是矢量；二阶张量都是并矢。情况并非如此，数学家喜欢将一些概念推向一般，更为确切的说法是：所有的矢量都是一阶张量，但一阶张量不只局限于矢量；所有的并矢都是二阶张量，但二阶张量也并不只局限于并矢。在此，仅举一个一阶张量不是矢量的例子，就可以理解了。我们所熟悉的三维欧氏空间中的平面方程的，一般形式可在),(joe及)~,(ioe两系中分别写为1?iixc及1~~?jjxc(5-1)
其矩阵形式分别为??1321321???????????xxxccc及??1~~~~~~321321???????????xxxccc(5-2)将(3-5)式中的矩阵形式代入(5-2)的右式得??1~~~321333231232221131211321?????????????????????xxxaaaaaaaaaccc(5-3)将(5-3)式与(5-2)的左式进行比较，可得????
321333231232221131211321~~~cccaaaaaaaaaccc???????????(5-4)因为是正交阵，转置并乘逆阵后得???????????????????????????????321333231232221131211321~~~cccaaaaaaaaaccc或简记jijicac?~(5-5)虽然(5-5)式与(3-5)式的形式完全相同，但我们知道??Tccc321及??Tccc321~~~或简记ic(5-6)并不是，如(3-6)式所表达的列矢，它们只是一组决定平面方程的系数。自然，我们也可以找
到类似于
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??????????333231232221131211TTTTTTTTT及??????????333231232221131211~~~~~~~~~TTTTTTTTT或简记ijT(5-7)这样的一类“平面”数组，它们也都不是，如(1-10)式所表达的并矢的分量。为在更高的数学抽象层次上“统一”诸如，(3-6)与(5-6)式这类“线性”数组，及(1-10)与(5-7)式这类“平面”数组，而将它们统一称为：有序数组。有了这一概念，加之过渡矩阵(3-1)的概念，我们就可给出（仅限于本篇所讨论内容的）笛卡尔张量的古典定义：在三维欧氏空间中，如果某个量（在任意正交系下）可由有序数组????????93-33-13-210元素的个数为：元素的个数为：元素的个数为：ijiTTT，作为其分量，在坐标变换jijixax?~下，其分量的变换满足????????
ijljsisljijiTaaTTaTTT~~~，则称这个量为笛卡尔张量?????二阶张量：张量一阶张量：矢量零阶张量：标量更高阶笛卡尔张量的概念可顺势推广。要了解更多的张量入门知识，可参阅周法哲的系列博文[6]，那里有生动易懂的介绍。6关于应力张量“模样”的讨论不用说张量的现代定义，仅由古典定义便可知，张量是一个概括广泛的，纯粹的数学概念，很难在现实物理世界中给出具象。然而，通过我们在第1节，引出应力张量概念的推理过程中，不难发现并矢（张量）是矢量的一种自然延伸。是否能像矢量那样，画出应力张量的模样？
图1-(b)所给出的，是示意性的几何直观，那个小四面体应该是一个固定在q点，在其
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体积不断趋近于零这一过程当中，某一片刻的快照。参见图3的左图，我们所关心的也仅仅是小四面体三个坐标面上的9个应力最后的位置。显然，这9个应力ijσ会平移，相互靠拢，最终所有的矢尾都会与q点重合（为了看清各个应力的位置，图中仍然保留一点间隙）。图3的右图，是各个应力的模的分布状态，难道这张图就是q点应力张量的模样？情况并非那么简单，但这张图的确给予了某种启示。显然各个应力的模是一种有序的分布（是一种有序的数据结构），这刚好对应(1-10)式，即??????????333231232221131211?????????，所表达的“矩阵形式”的应力张量。至此，读者可能会说，虽然不能准确地画出张量，但图3的右图，就应该是应力
张量的示意性几何直观了吧。笔者认为情况还是没有那么简单，这似乎又引出了一个发人深省的问题。如果说，图3的右图，是应力张量的矩阵形式或分量形式的一种不太严格的，示意性几何直观，那也仅仅是扑捉到了应力张量的某种“硬件”影子，(1-10)式所表达的应力张量还应该包括其“软件”部分，即：人为的操作，和对应的运算。只有“硬件”与“软件”合体，才能构成由(1-8)式所表达的，真正完整的应力张量实体jiijeeσ????。关于这一点，用矢量（一阶张量）的例子来解释就一目了然了。如列矢（“矩阵形式”的矢量）??Txxx321，只有“软件”和“硬件”合体，才能表达真正完整的矢量实体??
332211321321eeeeeexxxxxxx??????????????。显然，矢量实体iixex?可以用一个带箭头的有向线段画出；而应力张量jiijeeσ????则“只能意会不可言传”，是画不出来的。然而，这很正常，现实物理世界中的许多对象和关系是画不出来的，即使是矢量，如力矢量或速度矢量，在物理世界中也是没有形象的，那个带箭头的线段仅仅是一种我们大脑中的抽象。虽然用矩阵或分量形式所表示的矢量（一阶张量）或二阶张量，完全能够满足分析的需要，但只有真正完整的实体形式的矢量iixex?和应力张量jiijeeσ????才能在数学形式上直
接表示一个与坐标系选择无关的不变量。进而可直接写出矢量方程jjiixxeexx~~~???，及由(2-1)或(4-3)式所表达的张量方程hkkhjiijeeeeσσ~~~~?????????。
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7一点思考作为一门纯数学，抽象的张量理论被归类于现代线性代数的一个分支，称作多重线性代数。与其庞大的理论体系相比较，作为数学工具在物理学及工程学上实际使用的，仅是其极其有限的一小部分。事实上，绝大部分物理学及工程学理论都能用微积分、经典线性代数及矢量分析等进行严格的描述（至今仍然如此）。然而，作为一种数学工具，张量在物理学和工程学等学科的应用，的确具有一定的优势，首先它能对某些物理对象及其关系进行整体把握，加深对物理本质的认识和理解，使推理演算更加凝练清晰；其次便是美学上的展现，彰显人类智慧在现阶段的结晶。似乎有必要强调的一个事实是：虽然张量，与经典矢量理论相比，是高一阶的理论，但作为数学工具在某学科中的具体运用，是没有高低贵贱之分的。也
不是说一个理论用了张量以后，矢量分析就不用了，实际上是各种数学手段融会贯通。举一个浅显的例子便可说明，如小学数学题中的2+2=2就是谬误，而2+2=4就是举世公认的真理，在此使用高深的数学理论来推论，不但做作，而且也不符合奥卡姆剃刀原理中的“简单有效的经济原则。”现代版的物理学及工程学等学科，如弹性力学，电动力学，狭义相对论，量子力学等，越来越多地引入张量作为数学工具，特别是广义相对论，其本身就是用张量描述的。这似乎是一种进步，但也同时存在一种尴尬的局面。那就是无形当中筑起了数学壁垒，让更多的人望而生畏，最终形成了保护该理论，减少质疑机会的“防火墙”。历史的经验表明，创建一种理论往往需要一个或少数几位天才，但要检验这一理论则需
要众多人来做两方面的工作：（1）对该理论进行实验或观测检验，这是一个漫长的历史过程。并不像现今主流权威学者所认为的那样，仅仅几个实验结果就能判断某个理论完全正确。因为有鼻子有眼，有四条腿的不仅仅是马，所以不能仅根据有限的几个必要条件判断命题“它是马”的真伪。操之过急，很有可能犯指鹿为马的错误；（2）需要更多科学大脑的审视和质疑。任何理论都应该是开放的。要有更多的人检验其数学推理及逻辑体系等是否存在问题。遗憾的是，现代主流权威学者对相对论等所采取的是，不容置疑的反科学的宗教政策。当然，也存在质疑者数学水平不够或偏离了科学范式等诸多情况。显然，掌握必要的张量知识是，“越狱”突破“防火墙”进行有效反驳的一种必要条件。从严格的意义上讲，实验（或观测）上的一个确凿的反例，或数学推理上的一个致命错
误所导致的逻辑问题，都能证伪该理论。经典牛顿力学（已存在三百多年），经典电磁学（已存在近二百年），经历了无数次的实验验证和技术实践的考验。由于其所用的数学，壁垒不
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高，（中国）现在大一水平的人都能完全看懂，这意味着这两个经典理论的数学推理，逻辑体系，已经经历了无数人的审视，和教学实践的反复考验。因此说两者都是成熟的理论。然而，狭义相对论诞生之初，便有学者声称，世界上只有几个人能懂，据传现在真正搞懂该理论的人也为数不多。难道这是该理论的优势吗？笔者认为，恰恰相反，这意味着与经典理论相比，无论从实验验证，或对其数学推理及逻辑体系的审视，都没有经典理论充分。人们对牛顿和麦克斯韦的尊敬，不是因为他们是神，而是直接理解其理论的精妙，亲身体会其理论的实用。而对爱因斯坦的狂热膜拜，则源于少数几位大牛的推介。间接听说有这么一个故事，他神一般地创造了一种，几乎无人能懂的，华丽玄妙，至高无上的理论。大牛不是神，是人者孰能无过。历史上大牛错判的实例比比皆是。所以说，要想全面了
解现代物理学，特别是广义相对论，一定要掌握必要的张量知识。听别人讲，那山的风花雪月，与我们自己攀登，身临其境地感受高山流水，查看是否存在雪崩或强烈地震引起的山崩，是有本质区别的。8结束语有了笛卡尔应力张量的概念之后，至少是接了地气，脚踏实地了。只要有线性代数和微积分基础，各种抽象的仿射空间中，如斜角直线或曲线坐标系下的一般张量概念，经过努力，也就不难掌握了。如果笔者的讲解没有错误，你又真的受益了，那就是一种境界，正是：采菊东篱下，悠然见南山。参考文献
[1]H.E柯青.向量计算及张量计算初步.商务印书馆.1956年6月第五版第二次印刷.[2]周季生.张量初步.高等教育出版社.1985年10月第一版第一次印刷.[3]黄克智等.张量分析.清华大学出版社.1986年3月第一版第一次印刷.[4]郑百哲等.笛卡尔张量.中国建筑工业出版社.1991年8月第一版第一次印刷.[5]刘新东等.张量分析.国防工业出版社.2009年9月第一版第一次印刷.[6]周法哲.日志分类：线性空间.网易博客.http://zhoufazhe2008.blog.163.com/附件1---关于角标（1）与角标相关的几个实例
例1-1??cbababababbaakkkkk?????????????2122112121
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该式就是爱因斯坦求和约定。其中哑标k可以用任何字母替代，它的功能就是求和，如本例，将两个数量联系起来，变成一个数kkbac?。自然2,1?k。例1-2??????ijjicbabababababbaa???????????????2212211121212,1,?ji。矩阵内4个元素都对应相等，自然有jiijbac?。注：jiba不是矩阵??2121bbaa??????，矩阵不满足交换律，而其元素满足ijjiabba?。现有文献或教科书没有统一的规定细节，初
学者很容易搞混。例1-3??????????ikikkkkkcbabababababababbbbaa????????????212221212121112221121121参见例1及例2，对应元素有关系kikibac?（代表两个表达式）。需要注意的是，ic是2个数（也可以看做1个有序数组），但对于初学者而言，比照??ic更容易理解，因为行矩阵本身就是一个有序数组。例1-4????
ikikkkkkcbabababababababbaaaa??????????????????????????????212221212121112122211211这个例子也是坐标变换的标准形式，在此，有序数组??????21bb及??ic都可看做列矢。自然其分量形式可写为kikibac?。再次提醒，其分量形式满足交换律ikkiabc?，而矩阵形式不满足。例1-5????ijkjikkkkkkkkkcbabababababababababababababbbbaaaa????????????????????????????????22122111222212212122112122121211211211112221121122211211初学者通过本例，可以理解笔者在4.3小节的推理过程。
（2）换角标运算的几个实例有几个基本公式应该牢记，欧氏空间中正交基矢的关系：ijjia??ee~为过渡矩阵中的元
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素；ijjiji?????eeee~~为克罗内克符号。ij?有许多基本特性，相关书籍都有介绍，在此略。下面举几个ij?换角标功能的实例：例2-1????????????时当时当时当3,2,1,321332211jajajaaaaajjjiij????，固有jiijaa??(2-a)同理可证jijiaa??。
例2-2????????????????????????????????)3;3()2;3()1;3()3;2()2;2()1;2()3;1()2;1()1;1(333231232221131211332211kiakiakiakiakiakiakiakiakiaaaaakikikijkij????固有ikjkijaa??(2-b)同理可证ikjkjiaa??，而????????????????????????????????)3;3()2;3()1;3()3;2()2;2()1;2()3;1()2;1()1;1(
332313322212312111332211kiakiakiakiakiakiakiakiakiaaaaakikikikjij????则为kikjijaa??(2-c)显然(2-b)及(2-c)两式需要仔细甄别。笔者已给出了推导方法，其它形式的换标公式也就不难得到了。这里与以往的数学推理不同，是初学者的难点之一。熟能生巧，习惯了，就会感觉简单了。
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