2016年伊金霍洛旗初中毕业升学模拟试卷(二）
数学答案与试题解析
一、选择题：（共10个小题，30分）
1．A2.D3．D4．D5．C．6．B7．D．8．C9．A10．C．
二、填空题：（共6个小题，18分）
11．1.4×107．12.413．40°12′14．
15．16.5
三、解答题：（共8个小题，72分）
17.(1)计算解：原式=3＋×－2－1＋3=4……4分
(2)先化简，再求值：（a+1﹣）÷（﹣），其中a=+1．
解：原式=÷……2分
=?=a（a﹣2），……3分
当a=+1时，原式=（+1）（+1﹣2）=2﹣1=1．……4分
18．解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），
只有2名外来务工子女的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），……2分
条形统计图补充完整如下
……3分
该校平均每班外来务工子女的人数为：
（1×2+2×2+3×3+4×4+5×5+6×4）÷20=4（个）；……5分
答：该校平均每班外来务工子女的人数为4个……6分
（2）由（1）得只有2名外来务工子女的班级有2个，共4名学生，……7分
设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，
画树状图如图所示；
……9分
由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，
则所选两名外来务工子女来自同一个班级的概率为：=．……10分
19．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．
（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；
（2）确定点C相对于点A的方向．
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
解：（1）如右图，过点A作AD⊥BC于点D，∠ABE=∠BAF=15°，
由图得，∠ABC=∠EBC﹣∠ABE=∠EBC﹣∠BAF=75°﹣15°=60°，……1分
在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，
∴BD=50，AD=50，……2分
∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150，……3分
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC==100≈173（km）．……4分
答：点C与点A的距离约为173km．……5分
（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，
BC2=2002=40000，
∴AB2+AC2=BC2，……6分
∴∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．……7分
答：点C位于点A的南偏东75°方向．……8分
20．如图，在平面直角坐标系xoy中，双曲线和的图象关于y轴对称，直线与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB。
（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标。
（1）依题意得解得……2分
∴A（－3，1），B（1，3）
∵点B在双曲线上，∴k＝1×3＝3……3分
∵点C为线段AB的中点，∴点C坐标为（，），即为（－1，2）……4分
（2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（－1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；……5分
将线段OC平移，使点C（－1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；……6分
线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（－1，2），则点O（0，0）移到点D（－2，－1），此时四边形BODC是平行四边形。……7分
综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（－2，－1）。……8分
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACM=∠ABC．
（1）求证：CM是⊙O的切线；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的面积．
（1）证明：如图，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，……1分
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠ACM=∠ABC
∴∠ACM+∠OCA=90°……2分
∴OC⊥CM
∴CM是⊙O的切线……3分
（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圆的直径是AC，……4分
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴=，……5分
⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∴=，
∴BC2=12，……6分
∴BC=2，
∴AC==2，
∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．……7分
∴△ACE的外接圆的面积为S=……8分
22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90 售价（元/件） x+40 90 每天销量（件） 200﹣2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，……2分
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；……4分
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，……5分
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，……6分
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，……7分
当x=50时，y最大=6000，……8分
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；……9分
23．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
（1）证明：如图1，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF=BE，……1分
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），……2分
∠BAE=∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．……3分
（2）解：如图2，根据题意得，
FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，……4分
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2，
∴x=，……5分
∴sin∠BQP===．……6分
（3）解：∵正方形ABCD的面积为4，
∴边长为2，
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，……7分
∴=，
∴=，
∴S△AGN=，……8分
∴S四边形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，
∴四边形GHMN的面积是．……9分
24．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．……1分
解得：，……2分
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；……3分
（2）∵y=﹣x2+x+2，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．……4分
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
作CM⊥x对称轴于M，
∴MP1=MD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；……7分
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．……8分
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．……9分
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．……10分
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．
=﹣（a﹣2）2+……11分
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．……12分
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x
y
x
y
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