从一道高考试题谈函数的凹凸性
徐解清
（江苏省苏州市相城区教研室
２１５１３１
）
１
引例
近日做到这样一题：已知函数
犳
（
狓
）
＝ｔａｎ狓
，
狓
∈
（
０
，
π
２
），若
狓１
，
狓２
∈
（
０
，
π
２
），且
狓１
≠
狓２
，证
明：
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
＞犳
狓１＋狓２
（）
２
．
思路
１
根据不等式的意义，只要证明
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
－犳
狓１＋狓２
（）
２
＞
０
即可
．
证明
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
－犳
狓１＋狓２
（）
２
＝
１
２
（
ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２
）
－ｔａｎ
狓１＋狓２
２
＝
１
２
ｓｉｎ狓１
ｃｏｓ狓１
＋
ｓｉｎ狓２
ｃｏｓ狓
（）
２
－
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
１＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
）
＝
１
２
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
１
ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
－
２
１＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
［］
）
＝
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
１－
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
１＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
［］
）
＝
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
·
１－ｃｏｓ
（
狓１－狓２
）
１＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
）
．
因为
狓１
，
狓２
∈
（
０
，
π
２
），且
狓１
≠
狓２
，所以
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
＞
０
，
１－ｃｏｓ
（
狓１－狓２
）
＞
０
，
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
＞犳
狓１＋狓２
（）
２
．
运用了证明不等式的基本方法———比较法
．
证明能不能深入下去，关键在于能否根据题设条
件正确地选择公式，进行三角恒等变形
．
思路
２
本题要证
１
２
（
ｔａｎ狓１＋ｔａｎ狓２
）
＞
ｔａｎ
狓１＋狓２
２
，左边运用同角三角函数的基本关系
式与两角和的正弦公式，化为正余弦，得
１
２
ｓｉｎ狓１
ｃｏｓ狓１
＋
ｓｉｎ狓２
ｃｏｓ狓
（）
２
＝
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
，右边运用
半角正切的有理表达式，得
ｓｉｎ
（
狓１＋狓２
）
１＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
）
．
两
式的分子相同，只要比较分母
２ｃｏｓ狓１ｃｏｓ狓２
与
１
＋ｃｏｓ
（
狓１＋狓２
）的大小，不等式即可得证（证略）
．
试题考查的数学知识主要包括：三角函数的
图象和性质，同角三角函数的基本关系式，两角和
正弦公式、积化和差公式与半角正切的有理表达
式，不等式的意义和基本性质等
．
覆盖的知识点比
较多，涉及了三角函数的大多数基础知识
．
试题设
计在三角函数和不等式知识的交汇点处，匠心独
具，使学生感到既熟悉又陌生，是一道构思巧妙、
值得称道的好题
．
实际上，此题为
１９９４
年全国高考数学（理科）
第
２２
题，该题还有多种证法，如分析法、换元法、
几何方法和函数凹凸性等
．
因为在高中数学教学中，对二阶导数没有教
学要求，所以函数的凹凸性这一概念在高中数学
的课本中还未曾被提及，但是利用函数凹凸性解
决某些函数类问题和不等式问题的案例已经在全
国各地的高考中频繁出现，并且有些题目若利用
函数的凹凸性解题，则可收到事半功倍的效果
．
２
凹凸函数的定义
如果函数
犳
（
狓
）对其定义域中任意的
狓１
，
狓２
都
有如下不等式
犳
（
狓１＋狓２
２
）
≤
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
①
成立，则称
犳
（
狓
）是下凸函数（图
１
），当且仅当
狓１
＝狓２
时取等号；如果函数
犳
（
狓
）对其定义域中任意
的
狓１
，
狓２
都有如下不等式
犳
（
狓１＋狓２
２
）
≥
１
２
［
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）］
②
成立，则称
犳
（
狓
）是上凸函数（图
２
），当
且仅当
狓１＝狓２
时取等号
．
（注：国内外数学界对函
数凹凸性的定义尚不一致）
图
１
图
２
从几何意义来看，不等式
①
表示定义域中任意
两点
狓１
，
狓２
的中点
犕
所对应的曲线上的点
犙
位于弦
上对应点
犘
的下面
．
不等式
②
则有相反的意义
．
利用上述关系，不仅可以深刻地研究函数的
有关性质，较为准确地绘制函数的图象，而且可以
为许多问题的求解带来积极的启迪作用，对优化
学生思维的品质十分有益
．
·
５５
·
２０１４
年第
４
期
中学数学月刊
３
典例分析
例
１
（
２００５
年北京卷）设函数
犳
（
狓
）
＝２
狓
，对
于任意的
狓１
，
狓２
（
狓１
≠
狓２
），有下列命题：
①犳
（
狓１
＋狓２
）
＝犳
（
狓１
）
犳
（
狓２
）；
②犳
（
狓１狓２
）
＝犳
（
狓１
）
＋
犳
（
狓２
）；
③
犳
（
狓１
）
－犳
（
狓２
）
狓１－狓２
＞
０
；
④犳
狓１＋狓２
（）
２
＜
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）
２
．
其中正确的命题序号是
．
分析
２
狓
１
·
２
狓
２
＝２
狓
１
＋狓
２，所以
①
成立；
２
狓
１
＋
２
狓
２
≠
２
狓
１
狓
２，所以
②
不成立；函数
犳
（
狓
）
＝２
狓
在
犚
上是单调递增函数，若
狓１
＞
狓２
，则
犳
（
狓１
）
＞
犳
（
狓２
），则
犳
（
狓１
）
－犳
（
狓２
）
狓１－狓２
＞
０
；若
狓１
＜
狓２
，则
犳
（
狓１
）
＜犳
（
狓２
），则
犳
（
狓１
）
－犳
（
狓２
）
狓１－狓２
＞
０
，故
③
正
确；因为
犳
（
狓
）
＝２
狓
是下凸函数，所以
犳
狓１＋狓２
（）
２
＜
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）
２
，故
④
正确
．
本题
根据指数的运算性质和指数函数的单调性以及凹
凸性对
①②③④
进行逐一进行判定即可
．
例
２
（
２００５
年湖北卷）在
狔＝２
狓
，
狔＝ｌｏｇ２狓
，
狔＝狓
２
，
狔＝ｃｏｓ２狓
这四个函数中，当
０
＜
狓１
＜
狓２
＜
１
时，
犳
狓１＋狓２
（）
２
＞
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）
２
恒成立的
函数的个数是（
）
．
（
Ａ
）
０
（
Ｂ
）
１
（
Ｃ
）
２
（
Ｄ
）
３
分析
运用数形结合思想，考察各函数的图
象
．
注意到对任意
狓１
，
狓２
∈
犐
，且
狓１
＜
狓２
，当
犳
（
狓
）
总满足
犳
狓１＋狓２
（）
２
＞
犳
（
狓１
）
＋犳
（
狓２
）
２
时，函数
犳
（
狓
）在区间
犐
上的图象是上凸的，由此否定
狔＝
２
狓
，
狔＝狓
２
，
狔＝ｃｏｓ２狓
，应选
Ｂ．
本题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四
个基本初等函数，要求考生根据函数的图象研究
函数的性质———凹凸性
．
对试题中的不等关系式
既可以利用函数的图象直观地认识，也可以通过
代数式的不等关系来理解
．
考查的重点是结合函
数的图象准确理解凹凸的含义
．
例
３
（
２００６
年重庆卷）如图
１
，单位圆中弧
犃犅
的长为
狓
，
犳
（
狓
）表示弧
犃犅
与弦
犃犅
所围成的
弓形面积的
２
倍，则函数
狔＝犳
（
狓
）的图象是
（
）
．
分析
扇形
犗犃犅
的面积为
狓
２π
·
π＝
狓
２
，
△犃犅犗
的面积为
ｓｉｎ狓
２
，所以弓形面积为
狓
２
－
图
１
ｓｉｎ狓
２
，则
犳
（
狓
）
＝狓－ｓｉｎ狓．
因为
狔＝ｓｉｎ狓
，当
狓
∈
（
０
，
π
）时为上凸函数，当
狓
∈
（
π
，
２π
）时为下凸函
数，所以
犳
（
狓
）
＝狓－ｓｉｎ狓
，当
狓
∈
（
０
，
π
）时为下
凸函数，当
狓
∈
（
π
，
２π
）时为上凸函数
．
观察四个
选项，只有
Ｄ
符合
．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变
化，其中根据已知计算出函数的解析式，从而分析
函数
犳
（
狓
）
＝狓－ｓｉｎ狓
，利用凹凸函数的性质及图
象表象是解答本题的关键
．
４
高中数学中常见函数的凹凸性
以下列出的中数学中常见函数的凹凸性：
（
１
）反比例函数
狔＝
犽
狓
（
犽
≠
０
）：当
犽
＞
０
且
狓
∈
（
－∞
，
０
）时，为上凸函数；当
犽
＞
０
且
狓
∈
（
０
，
＋∞
）时，为下凸函数
．
当
犽
＜
０
且
狓
∈
（
－∞
，
０
）
时，为下凸函数；当
犽
＜
０
且
狓
∈
（
０
，
＋∞
）时，为
上凸函数
．
（
２
）二次函数
狔＝犪狓
２
＋犫狓＋狓
（
犪
≠
０
）：
犪
＞
０
时为下凸函数，
犪
＜
０
时为上凸函数
．
（
３
）指数函数
狔＝犪
狓
（
犪
＞
０
，且
犪
≠
１
）为下凸
函数
．
（
４
）对数函数
狔＝ｌｏｇ犪狓
（
犪
＞
０
，且
犪
≠
１
）：
０
＜
犪
＜
１
时为下凸函数，
犪
＞
１
时为上凸函数
．
（
５
）“双勾”函数
狔＝犪狓＋
犫
狓
（
犪
＞
０
，
犫
＞
０
）：
狓
∈
（
－∞
，
０
）时为上凸函数，
狓
∈
（
０
，
＋∞
）时为
下凸函数
．
（
６
）三角函数
狔＝ｓｉｎ狓
：
狓
∈
（
０
，
π
）时为上凸
函数，
狓
∈
（
π
，
２π
）时为下凸函数；三角函数
狔＝
ｃｏｓ狓
：
狓
∈
（
－
π
２
，
π
２
）时为上凸函数，
狓
∈
（
π
２
，
３π
２
）
时为下凸函数；三角函数
狔＝ｔａｎ狓
：
狓
∈
（
－
π
２
，
０
）
时为上凸函数，
狓
∈
（
０
，
π
２
）时为下凸函数
．
事实上，有些涉及对数函数、指数函数以及一
些三角不等式的计算或证明，往往看起来很复杂，
甚至无从下手，但如果利用凹凸函数的性质给予计
算或证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果
．
·
６５
·
中学数学月刊
２０１４
年第
４
期
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