《啟蒙附論》之《河圖》《洛書》與相關數學題

-1-

《啟蒙附論》之《河圖》《洛書》

與相關數學題



上傳書齋：瀟湘館112

何世強

HoSaiKeung



提要：李光地認為〈河圖〉〈洛書〉數與句股數有聯繫，與1至9、1至

10之連續數和有關，本文詳述其聯繫之理由。

關鍵詞：李光地、《啟蒙附論》、句股法、〈河圖〉、〈洛書〉、句股數、

生數、成數、羃、五行數、江永、《河洛精蘊》。







第1節清?李光地《啟蒙附論》簡介





清?李光地著《啟蒙附論》，其書附於《御纂周易折中》之後。《御纂周易

折中》乃康熙時由李光地統領編纂之《易》學名著，其中以朱熹之《周易本義》

及《易學啟蒙》為主，《御纂周易折中》卷二十一即為《啟蒙附論》。

編纂《御纂周易折中》時李光地為“總裁”，其官職為文淵閣大學士兼吏部

尚書。

李光地（1642年－1718年），字晉卿，號厚庵，又號榕村。祖籍福建泉州安

溪湖頭，閩南人。清聖祖康熙九年庚戌（1670年）登進士第五名，其後官至直隸

巡撫、吏部尚書、文淵閣大學士。主要著作有《曆像要義》、《啟蒙附論》、《四

書解》、《性理精義》、《朱子全書》等書。

《御纂周易折中》凡例曰：

今案《易》學當以朱子為主，故列《本義》於先，而經傳次第，則亦悉依《本

-2-

義》原本，庶學者由是以復見古經，不至習近而忘本也。

“習近而忘本”指習近代之《易》而忘《易》之本也，“近代”者，清之近

代也，《易》之本者，朱熹之《周易本義》及相關著作也，故清代《易》學以朱

子之說為領風騷也。李光地《啟蒙附論》曰：

朱子之作《啟蒙》，蓋因以象數言《易》者，多穿穴而不根，支離而無據。…

今摭圖書卦畫蓍數之所包蘊，其錯綜變化之妙，足以發朱子未盡之意者凡數

端，各為圖表而繫之以說。

故李光地之作《啟蒙附論》目的為“發朱子未盡之意”，補《易學啟蒙》之

不足，其實其說多偏重數學，與《易》之聯繫較少。

其後江永著《河洛精蘊》，其部分內容可能取材自《啟蒙附論》。江永（1681

年－1762年），字慎修，婺源縣（今屬江西省）江灣村人。清朝經學家、音韻學

家及數學家。《河洛精蘊》作於乾隆二十四年﹝1759年﹞，江永時年七十九，其

書刊刻於乾隆甲午年﹝即乾隆三十九年，1774年﹞。《河洛精蘊》雖含“精蘊”

一辭，但其內容過多，所涉者只略作提及，未能深入，予人亂雜無章之感。







第2節“〈洛書〉句股圖”之問題





《啟蒙附論》有〈洛書句股圖〉，其圖指句三股四弦五之直角三角形，是為

Δ一(3,4,5)，其三邊分別乘以三，是為Δ二(9,12,15)，Δ二之三邊分別乘以

三，是為Δ三(27,36,45)，其三邊又分別乘以三，是為Δ四(81,108,135)；Δ

四三邊分別乘以三，可得(243,324,405)，若只取其個位數，可回復得Δ一，如

此可循環不息。《啟蒙附論》曰：

句三、股四、弦五。

句九、股十二、弦十五。

句二十七、股三十六、弦四十五。

句八十一、股一百零八、弦一百三十五。

此《洛書》四隅合中方而寓四句股之法者，推之至於無窮，法皆視此。

李光地無說清楚自第二三角形開始只取三邊之個位數，但能說出“推之至於

無窮”，可知其有相當之數學水準。

以下為〈洛書〉九數圖：



-3-

492

357

816

以下為《啟蒙附論》之〈洛書句股圖〉。此圖宜注意九數之位置及相關之句

股弦長。



上圖〈洛書句股圖〉黃色為Δ一，綠色為Δ二，藍色為Δ三，紅色為Δ四。

以下為〈洛書句股圖〉之原圖：



-4-

上圖以○9○4○3為Δ一，○7○2○9為Δ二，○1○6○7為Δ三，○3○8○1為Δ四。除○9

○4○3Δ一外，其他三三角形之長與實際不符，此等三角形只表示其位置及其個位

之長符合〈洛書〉之數，例如股“一百零八”之八在下，句“八十一”之一在右，

股“三十六”之六在右，句“二十七”之七在上，股“十二”之二在上，句“九”

之九在左，股“四”之四在左，句“三”之三在下，如此逆時針方向循環一周，

其他三角形亦如此。

下表為句股弦之個位數及其循環次序：

排序遞推法1遞推法2句股弦Δ

(1)…(1)×30345一

(2)(1)×3(1)×3191215二

(3)(2)×3(1)×32273645三

(4)(3)×3(1)×3381108135四

(5)(4)×3(1)×34243324405一

(6)(5)×3(1)×357299721215二

(7)(6)×3(1)×36218729163645三

(8)(7)×3(1)×376561874810935四

…………………

(n)(n–1)×3(1)×3n–13×3n–14×3n–15×3n–1一

(n+1)(n)×3(1)×3n3×3n4×3n5×3n二

(n+2)(n+1)×3(1)×3n+13×3n+14×3n+15×3n+1三

(n+3)(n+2)×3(1)×3n+23×3n+24×3n+25×3n+2四

…………………

本題其實涉及初等數論，即3、4、5三數不斷乘以3，第一數之個位數不外

乎3、9、7、1；第二數之個位數不外乎4、2、6、8；第三數之個位數永遠為5，

5為斜邊置於中宮，3、9、7、1則處於正方形四邊之中點，4、2、6、8則處於

正方形之四角，此即為〈洛書句股圖〉之要義。



-5-

《啟蒙附論》有〈河洛未分未變方圖〉。

〈河〉〈洛〉者，〈河圖〉〈洛書〉也，〈河圖〉有十數而〈洛書〉有九數，

〈洛書〉九數之排列圖見前，〈河圖〉之十數排列如下圖﹝10分拆為上5及下

5﹞：

7

2

│

│

│

8,3-----------------5,10-------------4,9

│

│

│

1

6

以下為〈河洛未分未變方圖〉：



“未變方”即〈河圖〉之十數與〈洛書〉之九數未排列成各自之方陣圖，即

只有十數與九數，此九數與十數合併排列成點陣方圖﹝10×10﹞，故曰“〈河〉

-6-

〈洛〉未分”。又上圖之黑點為〈洛書〉，白點為〈河圖〉，“為斜界而中分之”。

又從上圖可知：

從右至左〈洛書〉數和為1+2+3+4+5+6+7+8+9，

從下至上〈河圖〉數和為1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。

今將兩組數列成下表﹝〈洛書〉數序倒排﹞，最右一欄為和：



河圖數1234567891055

洛書數987654321---45

和10101010101010101010100

〈洛書〉數和?

?

9

1r

r=45，〈河圖〉數和?

?

10

1s

s=55，李光地稱和為“積數”。

於是?

?

9

1r

r+?

?

10

1s

s=45+55=100。《啟蒙附論》稱100為“天地之全數”。

又從〈河洛未分未變方圖〉及上表可得一重要概念：

?

?

9

1r

r+?

?

10

1s

s=(9+1)×10=10×10=100。此100是為“河洛未分未變

方”。

此情況可推廣如下：

若??

?

1

1

n

r

r=21(n–1)n為推廣〈洛書〉數和；?

?

n

s

s

1

=21n(n+1)為推廣

〈河圖〉數和，則推廣〈洛書〉數和+推廣〈河圖〉數和：

??

?

1

1

n

r

r+?

?

n

s

s

1

=21(n–1)n+21n(n+1)

=21n2–21n+21n2+21n

=n2。

以上之n2是為“推廣河洛未分未變方”，即??

?

1

1

n

r

r+?

?

n

s

s

1

=n2，而

-7-

n>10。宜注意者〈洛書〉數n–1須為平方數方可成高階方陣，若非平方數，

上式仍然滿足。



《啟蒙附論》有〈河洛未分未變三角圖〉。“〈河〉〈洛〉未分”之義與上

圖相同，而〈河洛未分未變三角圖〉之要點為〈河〉與〈洛〉點數合併而成一三

角形之圖，李光地稱之為〈河洛未分未變三角圖〉，此三角形含〈河圖〉之一至

十數，又含〈洛書〉之一至九數。

〈河〉〈洛〉之數與上述相同。〈河圖〉生數居內，成數居外；〈洛書〉奇

數居正，偶數居偏。《啟蒙附論》曰：

又就點數十位，中涵羃形九層，以為〈河〉〈洛〉合一之數，則雖其象未分，

其位未變，而陰陽相包之理、三極互根之道，已粲炙然默寓其中矣。

所謂“生數”與“成數”，“生數”指天地生五行之次序，“成數”指天地

數所成五行之數。《漢書?卷二十一?律曆志》曰：

天以一生水，地以二生火，天以三生木，地以四生金，天以五生土。

隋?蕭吉《五行大義?卷第一?第三明數》曰：

天地之數本五十五。天五與地十通，天一與地六通，數之者，氣則有并，并

則宜減焉。大衍減五，故有五十，其用減一，故四十有九。不并者，不可減

也。今總其數五十者，天一至地十，凡五十五也，此合生成之數。若止言生

數，唯十有五，從一至五也。

同書又曰：

《尚書?洪範》曰：“五行，一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。”

皆其生數。《禮記?月令》云：“木數八，火數七，金數九，水數六，土數

五，皆其成數，唯土言生數。

土數之成數為十，《禮記?月令》時相信未有土數之成數為十之說。土之成

數亦稱為“重五”。

“生數”和“成數”表列如下：

生數﹝天﹞1﹝地﹞2﹝天﹞3﹝地﹞4﹝天﹞5

所生五行水火木金土

成數﹝地﹞6﹝天﹞7﹝地﹞8﹝天﹞9﹝地﹞10

注意天生數為奇，地生數為偶；天成數為奇，地成數為偶。

以下為〈河圖生數成數圖〉，五行生數居內，成數居外圖﹝10為成數，由5

-8-

+5而得，算在外；5為生數，在內。在內黃色，在外藍色﹞，見下圖。

〈河圖〉生數成數圖

7成數

8成

數

2生數

9成

數3生數

5成數

4生數5生數

5成數

1生數

6成數

中曰正而偏曰隅，以下為〈洛書〉奇數居正，偶數居偏圖：

4居偏9居正2居偏

3居正5居正7居正

8居偏1居正6居偏

以下為〈河洛未分未變三角圖〉原圖：



上圖有小圓55，是為〈河圖〉總數，有三角形﹝尖向上﹞45，是為〈洛書〉

-9-

總數，此圖是為含“〈河〉〈洛〉合一之數”。

今將其兩數分開，如下兩圖所示。

下圖藍點為〈河圖〉數，以藍點右方之中文數字表之：



下圖紅三角為〈洛書〉數，以三角內左方之中文數字表之﹝見前圖﹞：





至於李光地所云“陰陽相包之理”乃指陰陽數之交錯，依陽奇陰偶之義，從

上圖可知陽數包陰數，但陰數亦包陽數。所謂“三極”乃指三角形之三尖端，“河

洛未分未變”圗可從三角度視之，相信此乃“互根之道”。“三極”亦有他義，

-10-

即“三才各具一太極”，是為“三極”，見下文。



《啟蒙附論》有〈點數應河圖十位〉圖，此圖分成兩圖，下圖圖一為三角形，

其圖形如下：



《啟蒙附論》曰：

周圍三角，分三重，中一重九，次內一重二九一十八，外一重三九二十七，

除中心，凡五十四。若自上而下作三層，亦如之。

河圖十數之和為五十五，上圖加上中心一點，亦為五十五。以上圖點之排列

其實為以下等差級數之和：

9(1+2+3)=9+18+27=54。此級數與9有關，因《易》以九為陽。

若將此級數推廣至n項，則可得：

9(1+2+3+…n)=29n(n+1)，若n=3，即為上式。

圖二為一六角形圖，其圖形如下：

-11-



《啟蒙附論》曰：

中含六角，亦分三重。中一重六，次內一重二六一十二，外一重三六一十八，

除中心，凡三十六。若自上而下作三層，亦如之。

以上圖點之排列其實為以下等差級數之和：

6(1+2+3)=6+12+18=36。此級數與6有關，《易》以六為陰。

若將此級數推廣至n項，則可得：

6(1+2+3+…n)=26n(n+1)=3n(n+1)，若n=3，即為上式。

《啟蒙附論》有〈羃形應洛書九位〉圖，此圖亦分兩圖。《啟蒙附論》曰：

周圍三角，分三重，中一重九，次內一重三九二十七，外一重五九四十五，

凡八十一。若自上而下作三層，亦如之。

以上圖點之排列見下頁之圖，是為圖一。其點之排列其實為以下等差級數之

和：

9(1+3+5)=9+27+45=81。若將此級數推廣至n項，則可得：

9[1+3+5+…(2n–1)]。今先求出：

1+3+5+…(2n–1)=21[1+(2n–1)]n=n2。

以9乘之則得9n2，若n=3，即9×32=81，即為上式。

以下為〈羃形應洛書九位〉圖一：



-12-



本題與〈洛書〉九位之聯繫薄弱，如前圖，此級數與9有關，為陽數。

〈羃形應洛書九位〉圖二：





《啟蒙附論》曰：

中含六角，亦分三重。中一重六，次內一重三六一十八，外一重五六三十，

凡五十四。若自上而下作三層，亦如之。

以上圖點之排列其實為以下等差級數之和：

6(1+3+5)=6+18+30=54。此級數與6有關，以六為陰。

若將此級數推廣至n項，則可得：

6[1+3+5+…(2n–1)]。

因為1+3+5+…(2n–1)=n2﹝見前﹞。

以6乘之則得6n2，若n=3，即6×32=54，即為上式。

-13-

以上四圖李光地稱之為“九六之變”，其特色為每圖分三層﹝李光地稱之為

“重”﹞，三層為中央、內層及外層，若視為立體，可分為上、中及下，上為外

層，中為內層，下為中央。

《啟蒙附論》曰：

就每重每層論之，則九為天而包地，六為地而涵於天，心為人而主乎天地。

又曰：

九六者，在天為陰陽，在地為柔剛，在人為陰陽柔剛之會。

又曰：

而其心則天地人之極也，以上下分者，其心有三，所謂三極之道，三才各具

一太極也。以內外分者，其心惟一，所屬人者天地之心，三才統一太極也。

其情況可表列如下：

外層外一重上天陰陽天之極為天心天以天心為太極

內層內一重中人陰陽柔剛人之極為人心人以人心為太極

中央中一重下地柔剛地之極為地心地以地心為太極

李光地非常強調十與九兩數之重要性，〈河圖〉與〈洛書〉雖出於兩不同之

時代，但乃可以一圖以概括之，並無衝突者也，其《啟蒙附論》辯之曰：

十中涵九，故數終於十，而止於九，此天地自然之紀，而〈圖〉〈書〉所以

相經緯而未嘗相離也。非有十者以為之經，則九之經無以立，非有九者以為

之緯，則十之用無以行，不知〈圖〉〈書〉之本為一者。

《周易?繫辭上傳?第九章》

天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十，天數五、

地數五，五位相得而各有合。天數二十有五，地數三十，凡天地之數五十有

五，此所以成變化而行鬼神也。

以上天地之數可見於第7頁之“生數”和“成數”表。故“天地之數”即

〈河圖〉積數，其數為55，而〈河圖〉積數加〈洛書〉積數，其數為100，是為

“天地之全數”。

又《啟蒙附論》有“羃形為算法之原”圖，其圖形如下：



-14-



此圖其實為一等差級數求和之公式。最左方之數目字為項數，圓形反白之數

目為該列之三角形數，例如○一有一三角形，○三有三三角形，其餘類推。此數

亦為級數之最後一項；最右方之數為級數之和，是一平方數。

此級數;第一項為1，第二項為3，第三項為5，…第n項為2n–1。

又從上圖可知，連續兩項數之和為後項之末項。例如：

1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9，5+6=11，6+7=13，7+8=15，

8+9=17，…(n–1)+n=2n–1。

上圖其實表達以下各式：

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

1+3+5+7+9+11=36=62

1+3+5+7+9+11+13=49=72

1+3+5+7+9+11+13+15=64=82

1+3+5+7+9+11+13+15+17=81=92

若加至n項，即1+3+5+…(2n–1)，其和為n2。其証明如下：

可簡寫為?

?

?

n

s

s

1

12

-15-

=2?

?

n

s

s

1

–n

=2×21n(n+1)–n

=n2+n–n

=n2。

或依級數和公式：1+3+5+…(2n–1)=21[1+(2n–1)]n=n2。

又從第6頁可知：??

?

1

1

n

r

r+?

?

n

s

s

1

=n2----------------------(1)

又從上可知?

?

?

n

s

s

1

12=n

2----------------------------------------(2)

即(1)=(2)，即??

?

1

1

n

s

s+?

?

n

s

s

1

=?

?

?

n

s

s

1

12=n

2﹝寫成相同變量﹞。

又從上式可知第n項末數為(n–1)+n=2n–1，左右方取連和及轉換變量

為s，可得：

?

?

?

n

s

s

1

1+?

?

n

s

s

1

=?

?

?

n

s

s

1

12-----------------------------------(3)。因為左方：

?

?

?

n

s

s

1

1+?

?

n

s

s

1

=21(n–1)n+21n(n+1)

=21n2–21n+21n2+21n

=n2。

但右方?

?

?

n

s

s

1

12=n

2，故(3)左右方相等。又比較(1)和(3)可知：

??

?

1

1

n

r

r=?

?

?

n

s

s

1

1，亦可寫成相同變量s，即?

?

?

1

1

n

s

s=?

?

?

n

s

s

1

1。

其實“羃形為算法之原”圖與《易》之連繫不大，甚至與《洛書》之連繫亦

薄弱，其連繫止於上圖有九層，而《洛書》亦有九數而矣。

-16-

《啟蒙附論》有〈河洛未分未變方圖〉及〈河洛未分未變三角圖〉，江永《河

洛精蘊》亦有此兩圖，相信後者取材於前者。