2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=
(A)0(B)2(C)2i(D)2+2i
2.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是
(A)6(B)5(C)4(D)3
3.抛物线y2=4x的焦点坐标是
(A)(0,2)(B)(0,1)(C)(2,0)(D)(1,0)
4.为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
(A)向左平行移动个单位长度(B)向右平行移动个单位长度
(C)向上平行移动个单位长度(D)向下平行移动个单位长度
5.设p:实数x，y满足x>1且y>1，q:实数x，y满足x+y>2，则p是q的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
6.已知a函数f(x)=x3-12x的最小值点，则a=
(A)-4(B)-2(C)4(D)2
7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为
(A)35(B)20(C)18(D)9
9.已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足=1,=，则的最大值是
(A)(B)(C)(D)
-lnx，0
设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交
Lnx,x>1
于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是
(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.=。
12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积。
从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率是。
14.若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0
15.在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
(若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.
(单位圆上的点的“伴随点”还在单位圆上。
(若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。
其中的真命题是。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。
（I）求直方图中的a值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。
17.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD。
在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。
18.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
19.（本小题满分12分）
已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N
(Ⅰ)若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2，
20（本小题满分13分）
已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳
21.（本小题满分1分）
设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文史类）试题参考答案
一、选择题
1.C2.B3.D4.A5.A6.D7.B8.C9.B10.A
二、填空题
11.12.13.14.-215.②③
三、解答题
16.（本小题满分12分）
（）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，
解得a=0.30.
（）由（），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.
（）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5
所以2≤x<2.5.
由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
17.（本小题满分12分）
（I）取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：
因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM,且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.
又AB平面PAB,CM平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
（II）由已知，PAAB,PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，
所以PA平面ABCD.
从而PABD.
因为AD∥BC,BC=AD，
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD，所以BDAB.
又AB∩AP=A,所以BD平面PAB.
又BD平面PBD,
所以平面PAB平面PBD.
18.（本小题满分12分）
（）根据正弦定理，可设
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.
代入中，有
，可变形得
sinAsinB=sinAcosB=sin(A+B).
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，
所以sinAsinB=sinC.
（）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sinA=.
由（），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB=cosB+sinB，
故tanB==4.
19.（本小题满分12分）
（）由已知，两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等差数列，可得，所以，故.
所以.
（）由（）可知，.
所以双曲线的离心率.
由解得.所以，
，
（I）由已知，a=2b.
又椭圆过点，故，解得.
所以椭圆E的方程是.
（II）设直线l的方程为，，
由方程组得，①
方程①的判别式为，由，即，解得.
由①得.
所以M点坐标为，直线OM方程为，
由方程组得.
所以.
又
.
所以.
21.（本小题满分14分）
（I）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（II）令=，则=.
当时，>0，所以，从而=>0.
（iii）由（II），当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（I）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令=().
当时，=.
因此在区间单调递增.
又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.
综上，.
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