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《河洛精蘊》之“五音變數”說
上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112
何世強HoSaiKeung
提要：《河洛精蘊》有題目涉及“五音變數”，亦有“五音變數圖”，此乃
〈河圖〉數之算法變化，其變數法始於南，主要為兩〈河圖〉數之相
加，或減去中央之5﹝或其倍數﹞，此變令數由一方轉至另一方，江
永稱之為“五音變數”；此變法在數學上具意義，若以音律而言，則
難言其所指。唯此變化所得之數與《史記?律書》之說法“上九，商
八，羽七，角六，宮五，徵九”配合，故其說仍有可取之處。本文詳
述其“變化”之法。
關鍵詞：《河洛精蘊》、五音、《史記?律書》、五音變數。
第1節《河洛精蘊》之“〈河圖〉五音變數法”
江永《河洛精蘊》提及〈河圖〉之“五音變數”，其變數法主要為兩〈河圖〉
數之相加，或減去中央之5﹝或其倍數﹞，此變令數由一方轉至另一方，江永稱
之為“五音變數”；此變法在數學上具意義，若以音律而言，則難言其所指。唯
此變化所得之數與《史記?律書》之說法“上九，商八，羽七，角六，宮五，徵
九”配合，故其說仍有可取之處。
未談五音變數之前，先談五音本數與〈河圖〉之關係，《河洛精蘊?卷之七?
外篇?〈河圖〉五音本數圖》有以下之圖：
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上圖指出五音所配之〈河圖〉數。下圖為〈〈河圖〉五音變數圖〉：
上圖指出以下變數：
二七火徵變四九金商﹝由南變西﹞
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四九金商變三八木角﹝由西變東﹞
三八木角變一六水羽﹝由東變北﹞
一六水羽變二七火徵﹝由北變南﹞
以上之變可循環不息，而中宮五、十土則不變。
〈河圖〉五音十數之排列如下圖：
7
2
南火徵
│
│
木角8,3東-------------5,10-------------西4,9金商
宮土
│
│
北水羽
1
6
江永之五音變數法如下：
(1)從南方數2與7開始，二數相加得9，9減中宮5得4：
2+7=9，
9–5=4。
故二七火徵可變為四、九金商。
(2)西金商4與9二數相加得13，13減中宮10得3，減中宮5得8：
4+9=13，
13–10=3，
13–5=8。
故四、九金商可變為三、八木角。
(3)東角木3與8二數相加得11，11減中宮10得1，減中宮5得6：
3+8=11，
11–10=1，
11–5=6。
故三、八木角可變為一、六水羽。
(4)北水羽1與6二數相加得7，7減中宮5得2：
1+6=7，
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7–5=2。
故一、六水羽可變為二、七火徵。
以上之變數循環一周。
以上之變數次序應為由南轉至西，至東，再至北，由北再至南，中宮則不變。
注意西與東之變數為其和減中宮數5及10。以下為〈〈河圖〉五音變數次序圖〉：
〈河圖〉五音變數次序圖
其實〈河圖〉數排列可成一組算術級數，其第三數﹝方格陰影之數﹞之排列
如下圖：
12
7
2
南火徵
│
│
木角13,8,3東--------------5,10,15-------------西4,9,14金商
│
│
北水羽
1
6
11
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若取第二、三數作變數﹝在上圖有方格之數﹞，依江永之變數法，可作如下
之運算：
(1)從南方數7與12開始，二數相加得19，19減中宮10得9：
7+12=19，
19–10=9，
19–5=14。
七、十二火徵可變為九、十四金商。
(2)西金商9與14二數相加得23，23減中宮15得8，減中宮10得13：
9+14=23，
23–15=8，
23–5=13。
故九、十四金商可變為八、十三木角。
(3)東角木8與13二數相加得21，21減中宮15得6，減中宮10得11：
8+13=21，
21–15=6，
21–10=11。
故八、十三木角可變為六、十一水羽。
(4)北水羽6與11二數相加得17，17減中宮10得7，減中宮5得12：
6+11=17，
17–10=7
17–5=12。
故六、十一水羽可變為七、十二火徵。
以上之變數亦可循環一周。
據以上所云，南火徵含9數，西金商含8數，北水羽含7數，東角木含6
數，此乃重要之結果，蓋可解釋《史記?律書》所言之數﹝見下文﹞。
第2節〈河圖〉五音相生及“〈河圖〉五音變數推
廣法”
注意五音之相生序與變數序有異。《河洛精蘊?卷之七?外篇?〈河圖〉五音
變數圖》曰：
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由中而南、而西、而北、而東數之。
以上為五音之相生序。由中央土宮始，至木角之東為終，但木角可生中央之
變宮，中央之變宮可生南方之變徵，共成七音。
故五音之相生序為中宮→南徵→西商→北羽→東角→中變宮→
南變徵，筆者有另文詳細論及。
以下為本七音相生圖：
本七音相生圖
《史記?律書》曰：
生黃鐘術曰：以下生者，倍其實，三其法。以上生者，四其實，三其法。上
九，商八，羽七，角六，宮五，徵九。置一而九三之以為法，實如法，得長
一寸，凡得九寸，命曰“黃鐘之宮”。故曰音始於宮，窮於角；數始於一，
終於十，成於三；氣始於冬至，周而復生。
《史記?律書》所云下生者即乘以32，上生者即乘以34，並無難解之處。唯
“上九，商八，羽七，角六，宮五，徵九”歷朝律數家皆未詳其義，事實此六數
不論如何運算，皆不可得。
江永在其《河洛精蘊》釋曰：
南方徵變為九，西方商變為八，北方羽變為七，東方角為六。故《史記?律
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書》曰“上九，商八，羽七，角六，宮五，徵九”，此古樂家相傳用音律之
法，上九者，謂宮五上生徵九也，下言徵九者，申明徵是九數也。此十二字，
讀者皆不得其解，謂其文有誤字，不知其數出於〈河圖〉，非誤也。
依上文第1節所云，南火徵含9數，西金商含8數，北水羽含7數，東角
木含6數，依江永所言，此即《史記?律書》所言之數也。
又江永意指宮五上生徵數二與七，其和九也，“下言徵九者，申明徵是九數
也”，若此“上九”與“徵九”義重複。
江永之說雖牽強，但無他義可合《史記?律書》之說法，故只有視江永之說
為是。又從〈本七音相生圖〉可知五音“始於宮，窮於角”﹝不計變宮與變徵﹞。
“數始於一，終於十”相信指〈河圖〉十數。“成於三”指上生及下生皆以
3為除數。至於《史記?律書》之“九三之以為法、氣始於冬至”本文不作解說。
以下為〈五音《史記?律書》數表〉：
五音《史記?律書》數表
五音宮徵商羽角宮
合河圖數1中10南98北76中5
合河圖數254西32東110
第三列合河圖數2乃江永引申所得。於是可得“十宮生九徵，八商生七羽，
六角生五宮，四徵生三商，二羽生一角”。
首尾之宮其實相同，表左之宮為生九徵之宮，表右之宮乃六角所生之宮，此
宮迴轉至表左之宮，用其5數﹝第三列﹞，其後為“四徵生三商，二羽生一角”，
即止於1。
《河洛精蘊》曰“徵羽在宮前，商角在宮後”疑作“徵羽在宮後，商角在宮
前”。徵羽為9與7，在宮5之後，商角為3與1，在宮5之前也。
五音“徵羽在宮後，商角在宮前”表
五音徵羽宮商角
合河圖數1南9北7中586
合河圖數24210西3東1
《河洛精蘊》又曰：
九七五三一，為徵羽宮商角，〈河圖〉之西南中東北也，以合數觀之，徵羽
在宮前者，一三在五前也；商角在宮後者，七九在五後也。
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以上引文疑作“〈河圖〉之南北中西東也，以合數觀之，商角在宮前者，一
三在五前也；徵羽在宮後者，七九在五後也”。
《河洛精蘊》有以下之濁音至清音說，其序為9、7、5、3、1，如下表所示
﹝單位為寸﹞：
濁至清五音表
徵羽宮商角
南9北7中5西3東1
林鍾倍律南呂倍律黃鍾正宮太蔟正律姑洗正律
13.3483985411.8920711510.000000008.9089871877.937005271
13121098
第四列為《河洛精蘊》所載之律長﹝以黃鍾正律10寸為標準﹞，其來源及
算法可參閱筆者之〈朱載堉十二平均率與《河洛精蘊》之“算律之法”〉一文。
上表宜注意其律長之下降序，第五列為近似值，羽與宮相差二寸，其他相差一寸。
《河洛精蘊》同章尚載有以下七弦琴所帶之五音及律呂：
弦數五音及律呂
第一弦林鍾徵
第二弦南呂羽
第三弦黃鍾宮
第四弦太蔟商
第五弦姑洗角
第六弦林鍾少徵
第七弦南呂少羽
上表與〈濁至清五音表〉比較，第一弦林鍾徵應為林鍾倍律，第二弦南呂羽
為南呂倍律，第三弦黃鍾宮應為黃鍾正宮，第四弦太蔟商應為太蔟正律，第五弦
姑洗角應為姑洗正律，第六弦林鍾少徵可能為林鍾半律，第七弦南呂少羽可能為
南呂半律，但《河洛精蘊》無言明是否如此。
江永指出先儒說法以黃鍾宮最長，君之象也，他音及律呂應短於黃鍾宮，臣
之象也，“有過於宮聲者，即為臣陵君”﹝見《河洛精蘊?卷之七?外篇?〈河
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圖〉五音變數圖》﹞，“陵”同“凌”，欺侮也。
江永指出徵、羽在宮之前，乃大於宮，故無大於宮者，非也。江永曰：
有過於宮聲者，即為臣陵君，是知有體而不知有用也。徵羽在宮之前，安得
謂無大於宮者哉！
以五音及變宮變徵而言，以宮為最長，但以上表而言，若第一弦為林鍾倍律，
第二弦為南呂倍律，則其長必長於黃鍾宮。若第六弦為林鍾半律，第七弦南呂半
律，則此二律過短，即其音過高。
又第1節之〈河圖〉變數可寫成一般連續之兩數，若南方數為2+5n與
2+5(n+1)，西方數為4+5n與4+5(n+1)，東方數為3+5n與3+5(n+1)，
及北方數為1+5n與1+5(n+1)，如下圖之〈推廣〈河圖〉數圖〉：
推廣〈河圖〉數圖
2+5(n+1)
2+5n
南火徵
│
│
木角3+5(n+1),3+5n東----5(n+1),5(n+2)-----西4+5n,4+5(n+1)金商
宮土
│
│
北水羽
1+5n
1+5(n+1)
若n=0，各數即為〈河圖〉之十數。
其變數算法如下：
(1)從南方數2+5n與2+5(n+1)開始，二數相加得9+10n，9+10n分
別減中宮5n及得5(n+1)得下式：
2+5n+2+5(n+1)=9+10n
9+10n–5n=4+5(n+1)
9+10n–5(n+1)=4+5n
故西方數金商為4+5n與4+5(n+1)，若n=0，第二式退化成
9=9，可略。以上之算法即第5頁之(1)。
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(2)西方數為4+5n與4+5(n+1)，二數相加得13+10n，13+10n分別
減中宮5(n+1)及得5(n+2)得下式：
4+5n+4+5(n+1)=13+10n
13+10n–5(n+2)=3+5n
13+10n–5(n+1)=13+5n–5=8+5n=3+5(n+1)
故東方數木角為3+5n與3+5(n+1)，若n=0，以上之算法即第
5頁之(2)。
(3)東方數為3+5n與3+5(n+1)，二數相加得11+10n，11+10n分別
減中宮5(n+1)及得5(n+2)得下式：
3+5n+3+5(n+1)=11+10n
11+10n–5(n+2)=1+5n
11+10n–5(n+1)=6+5n=1+5(n+1)
故北方數水羽為1+5n與1+5(n+1)，若n=0，以上之算法即第
5頁之(3)。
(4)北方數為1+5n與1+5(n+1)，二數相加得7+10n，7+10n分別減
中宮5n及得5(n+1)得下式：
1+5n+1+5(n+1)=7+10n
7+10n–5n=7+5n=2+5(n+1)
7+10n–5(n+1)=2+5n
故南方數火徵為2+5n為2+5(n+1)，若n=0，第二式退化成
7=7，可略。以上之算法即第5頁之(4)。
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