奇质数和与差适用范围的推导摘要：这是中国人自己推导出来的数学基础知识，推导不同于猜想，推导出来的东西具有肯定性，而猜想不具有肯定性。奇质数和
与奇质数差，都等于偶数，它们各自都等于哪些偶数？我们在这里进行具体地推导。关键词：偶数；质数；余数。一、基本概念偶数，能够被2整
除的数，叫偶数。质数，只能被1和自身数整除的整数，叫质数。（1不是质数）。因为，1不是质数，由此得出质数的两个特性：1，质数
不能被其它质数整除；2，大于3的质数，是不能被小于它根号以下的所有质数整除的整数；反过来，大于3的任意整数，只要不能被小于它根号
以下的所有质数整除时，它就是质数(用作质数的判断)。二、奇质数和与奇质数差定理用推理的方法判断为真的命题叫做定理。定理是能够广泛运
用的数学原理。通过质数与偶数的内在联系，得出偶数与质数在特定条件下，偶数减去质数必然是质数；质数减去偶数必然是质数。该原理还可以推
广应用于相应的数理判断。（一）、质数和定理的推导例1，50=3+47=7+43=13+37=19+31由此可知:令偶数为M
，在M=A+B中，A与B存在的区域在M之内，即，都小于M；在M=A+B中，当A与B都是质数时，我们令A+B为偶数M的质数对（下面简
称质数对）。我们用“√”代表根号，把A与B存在的区域缩小到:大于√M，小于M-√M，也就是例1中的质数13，19，31，37所存在
的区域。令，A与B为大于√M的质数，按照质数的两个特性，质数是不能被其它质数整除的整数，如，质数13是不能被自身数以外的其它质数整
除的整数，当然，质数13的其它质数也包括小于√50的质数，即，不能被小于√50的质数2，3，5，7整除；又如，验证13是不是质数，
只须用13除以小于√13的质数2，3都不能整除，就可以断定13是质数。我们在这里把大于√M，小于M-√M的数是否是质数统一确定为：
它们是不会被小于√M的质数整除的数，这不会影响它们是质数的本质。即，在A+B=M中，A存在于大于√M，小于M-√M之间时，当A为
整数，且不能被小于√M的所有质数整除时，A就是质数；B是质数的条件虽然是相同的，我们换一个角度来看：B是质数的条件与A和M有什么联
系呢？令，小于√M的任意质数为X，因为，B=M-A，我们同时除以X等式仍然成立，即B/X=M/X-A/X，只有当M/X-A/X不
为0时，也就是M/X与A/X余数不相同时，B/X才不能整除，当A除以小于√M的所有质数的余数不与M除以小于√M的所有质数的余数一一
对应相同时，B必然是质数。由此得偶数的奇质数对定理：当A存在于M之内，因1不是质数（1≠A≠M-1），当A除以小于√M的所有质数
的余数，既不余0，也不与M除以小于√M的所有质数的余数一一对应相同时，A必然组成偶数M的质数对。如，31存在于大于√68，小于68
-√68之间。小于√68的质数有2，3，5，7。31/2余1，68/2余0；31/3余1，68/3余2；31/5余1，68/5余3
；31/7余3，68/7余5，即，31除以这些小质数的余数，既不为0，也不与68除以这些小质数的余数一一对应相同，那么，31必然组
成偶数68的质数对，这里说的31必然组成偶数68的质数对，也就是68-31必然是质数的意思。（二）、质数差定理的推导例2，37-3
1=6，我们令相差偶数N的两个质数，为相差偶数N的质数组（下面简称质数组），如，31与37为相差6的质数组。因，37是质数，根据
质数的特性，则，37除以小于√37的所有质数不能整除；又因31也是质数，且31大于√37，所以，31除以小于√37的所有质数也不能
整除。由此得质数差定理：具体推理同上（略），令B为大于3的任意整数，令N为小于B的偶数，因1不是质数(B-N≠1)，当B除以小于√
B的所有质数的余数，既不为0，也不与N除以小于√B的所有质数的余数一一对应相同时，B必然与B-N组成相差N的质数组，这就是质数差定
理。最低剩余质数从上面的两个定理都提到同一个概念：除以连续小质数2，3，5，7，…R的余数，既不为0，也不与偶数除以小质数2，3，
5，7，…R的余数一一对应相同。我们按照这一概念，特制作最低剩余质数表，作为两个定理的应用工具。我们以小质数为2，3，5，7为例，
所有偶数除以小质数2，3，5，7不同的余数组合为105个，这里的105为除了小质数2以外的其它小质数的乘积357=105个，即
，所有偶数除以小质数2，3，5，7，…R不同的余数组合为357…R个。这是什么意思呢？就是要站在所有偶数的角度看变化规律。
其实，我们用不着对105个不同的余数组合都用定理去一一进行检测，我们只须要在105个不同的余数组合中寻找到最低的剩余质数个数，其它
余数组合的剩余质数个数必然大于或等于最低的剩余质数个数。例1，当小质数为2，3，5，7时，在大于7，小于49之间（也就是在连续小质
数中最大的质数方阵之内，下同）的整数中，除以小质数2，3，5，7的余数，既不能为0，也不与所有偶数中任意一个偶数除以小质数2，3，
5，7的余数一一对应相同的最少剩余质数是多少？在质数7的方阵之内的整数中，除以小质数2，3，5，7不能整除的整数，除了自然数1（当
偶数除以小质数都不余1时，剩余数中存在自然数1），就是这区间的奇质数：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，
47。因为，按照偶数的质数对原理，小质数2不能删除这些奇质数（所有奇质数除以2都余1，所有偶数除以2都余0，即余数不相同不能删除
），我们从小质数3开始进行计算。这些质数除以3余1的数有5个：13，19，31，37，43；除以3余2的有6个：11，17，23，
29，41，47。我们都选择删除数字最多的（下同），剩余的必然是最少的，即，删除余2的6个，剩余余1的5个；剩余5个质数除以5，
余3的最多，为2个进行删除，还剩余19，31，37。这3个数除以7余数各不相同，不论偶数除以7余几，至少剩余2个数，也就是在质数
7的方阵内，最低剩余质数为2个。说明：当小质数为2，3，5，7，…，R时，R较大时，如除以小质数X，余数最多的数同时有N个，N个不
同的余数我们都要走到底，最后所剩余的最少的才是真正最少的。例2，当小质数2，3，5，7，…,R。R为2时，在大于2，小于2^2中存
在一个3，3/2的余数，既不为0，也不与所有偶数除以2的余数相同。也就是在质数2的方阵内，最低剩余质数为1个。我们按照上面在R^2
之内，针对所有偶数寻找最低剩余质数的方法，进行寻找后的最低剩余质数表为：最大的小质数R：02，03，05，07，11，13，1
7，19，23，29，31,R^2内最低剩余质数：01，01，02，02，04，04，08，08，10，17，17,结论：从该表
可以看出，当小质数为2，3，5，7，…，R时，在R到R^2内，除以小质数2，3，5，7，…，R的余数，既不为0，也不与所有偶数中任
意一个偶数除以小质数2，3，5，7，…，R的余数一一对应相同的最低剩余质数个数的规律是：1，最低剩余质数一直存在，因为，该表检验
的是所有偶数与小质数的变化规律，所以，从该变化规律得出:最低剩余质数永远存在；2，当最大的小质数R1与R2相差为2（或小于2）时，
最低剩余质数个数不降低；当最大的小质数R1与R2相差大于或等于4时，最低剩余质数个数必然增长。四、偶数的适运范围因为，最低剩余质
数表是针对所有偶数制定的，那么，它与所有偶数的必然联系是什么？（一）、奇质数+奇质数等于哪些偶数？例1，奇质数和，能否等于50到
120的偶数？（人类目前检验偶数能否表示为两个奇质数的和，是一个一个的偶数进行单独检验，我们这里是针对一段一段的偶数进行统一检验）
。50到120的偶数，共有36个，它们除以小质数2，3，5，7不同的余数组合为36个（因为，这一段连续偶数的个数，小于所有偶数除以
2，3，5，7的余数组合个数，所以，它们的余数组合各不相同）。它们有三个共同的特点：1，小于它们根号以下的所有小质数都是2，3，5
，7。2，它们都有一个共同的区域：7到49之内的质数。3，它们都存在于所有偶数之内，即，除以小质数2，3，5，7不同的余数组合，都
包括在所有偶数除以小质数2，3，5，7的105个不同的余数组合之中。由此，正好对应上面的最低剩余质数表中最大的小质数为7，最低剩
余质数为2个，即，偶数50到120中的任意一个偶数，在大于7，小于49之内能够组成它的质数对的质数个数不低于2个，表明这一段偶数都
能组成奇质数之和。如，98在这区间有3个质数19，31，37能够组成它的质数对，符合不低于2个的推理。说明：1，当A能够组成M的质
数对，存在于7到49之内，B=M-A，B不一定存在于7到49之内，如98-19=79；2，在7到49之内至少存在2个数能够组成M的
质数对，不包括在偶数之内的其它区域能够组成偶数质数对的质数个数。如偶数98还有61，67，79符合质数对原理，能够组成它的质数对。
例2，偶数6和8，因为，小于它们根号以下有质数2（1个小质数），对应表中最大的小质数2，至少有1个剩余质数，即，在2到2^2中存在
1个3，因3/2余1，偶数6和8除以2都余0，符合质数对原理，有6=3+3；8=3+5.符合在2的方阵内，至少有1个质数能够组成它
们质数对的推理。结论：因为，最小的奇质数为3，而3+3=6，又因为，最低剩余质数从最大的小质数为2开始一直存在，并且永远存在，
表明偶数从6开始，所有偶数都能够组成两个奇质数之和。又因为，随着偶数的不断增大，它们的小质数中最大的小质数也不断增大，最低剩余质数
个数有规律地不断地缓慢增加，表明能够组成它们质数对的质数缓慢地增加，决定它们的质数对个数缓慢地增长。(二)、奇质数-奇质数等于哪
些偶数？最低剩余质数，对于质数差定理怎样理解运用，它的作用是什么?我们在研究自然规律时，必须实实在在，客观公正，才能站得住脚。当最
大的小质数为R时，令仅大于R的质数为E，在R方阵内的最低剩余质数个数为S个。因为，小素数2，3，5，7，…，R在删除能被它们整除的
数时，必然把它们自身删除了，故，剩余的质数必然大于R，所以，这些剩余质数不可能组成小于E+E的偶数的质数对。那么，按理来说，不能组
成这些偶数的质数和，就应该组成相差这些偶数的质数差，相差这些偶数中的任意一个偶数的质数组应该不低于S组。令，任意剩余质数为B，因为
，B除以小于√B的质数的余数不与偶数N除以小于√B的质数的余数一一对应相同，决定了B-N之差不能被小质数2，3，5，7，…，R整除
，也就是B-N之差不是小质数本身（或者为付小质数），但是，可以为1或者-1。因为，B-N可以为1和-1，即，最多为2个不是质数组的
差。那么，当S大于2时，在R方阵内相差小于E+E的任意偶数的质数组都必然存在。当最大的小质数为7时，最低剩余质数个数S为2，所有偶
数中小于11+11的偶数有2到20，我们看一下在7到7^2内的质数中，是否存在相差这些偶数的质数组；相差2的有：13-11，19-
17，31-29，43-41为4组；相差4的有：17-13，23-19，41-37，47-43为4组；相差6的有：17-11，19
-13，23-17，29-23，37-31，43-37，47-41为7组；相差8的有：19-11，31-23，37-29，为3组；
相差10的有：23-13，29-19，41-31，47-37为4组；相差12的有：23-11，29-17，31-19，41-29，
43-31为5组；相差14的有：31-17，37-23，43-29为3组；相差16的有：29-13，47-31为2组；相差18的有
：29-11，31-13，37-19，41-23，47-29为5组；相差20的有：31-11，37-17，43-23为3组。都符合
不低于2组的推理，即，从这里开始，当小质数为2，3，5，7，…，R，E时，令E为仅大于R的质数，当最大的小质数为R时，令，表中的最
低剩余质数个数为S，则，在R^2之内的质数中，相差小于E+E的偶数的质数组个数不低于S组。在所有偶数中，小于E+E的偶数随着最大的
小质数R的增长而不断地增加，逐步增加到所有偶数，即，逐步过度到相差所有偶数的质数组都存在。又因为，随着小质数中最大的小质数的不断增
大，最低剩余质数也在不断地有规律地缓慢增加，表明相差任意偶数的质数组，都将逐步增加。也就是相差任意偶数的质数组都永远存在道理。由
此看来，当小质数为2，3，5，7，…，R，令在R^2之内的最低剩余质数为S个，按两个定理，把所有偶数分成了四段：1，小于E+E的偶数，在R^2之内的质数中，相差小于E+E的任意偶数的质数组不低于S组；2，从E+E到R^2之内的偶数，在大于R，小于R^2的质数中，组成这些偶数质数对的质数个数，与相差该偶数的质数组个数合计不低于S。（组成质数对的质数一般为两个符合质数对条件的质数；相差偶数质数组的质数为符合质数差条件的一个质数与减去该偶数的其它数组成）；3，大于R^2，小于E^2的任意一个偶数，在大于R，小于R^2的质数中，能够组成它的质数对的质数个数不低于S个；4，大于E^2的所有偶数中的任意一个偶数，在大于R，小于R^2的质数中，最低剩余质数的基础不低于S个，即根基是永远稳固的。四川省三台县工商局王志成 |
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