第二讲分数的拆分问题一．分数拆分的初步知识我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先看下面的例题。
如果把上题改为填空：，你会填吗？有了上面的结果，就可以填出。把一个分数拆成两个或两个以上的分数的和的形式，叫做分数的拆分。怎样才能
把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们仍然以为例，因为（扩分）（拆开）（约分）所以。通过以上可以看出，拆分主要有以下几个步骤：
（1）把的分母写成质因数乘积的形式。即；（2）把的分子和分母同时乘以5，成为的形式，这叫做扩分；注意为什么要乘以5？因为5正好是分
母6的两个质因数2与3的和。（3）把分子拆成分母的两个质因子的和，再拆成两个分数的和。即：；（4）把拆开后的两个分数约分，化为最简
分数。例1．填空：，并写出过程。解：，事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子和分母都乘以这个分
母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。例2．填空：。解：18分解质因数后有六个约数：1、2、3、6、9、18，取
不同的两个约数的和，可以得到不同的结果。①；②；③；④；⑤；⑥；……可以看出，由于每次所选的两个约数不同，所得的解也就不相同。但是
当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如选1和2、3和6、9和18时，或选2和3、6和9时，解就相同。二．把一个分数拆成几个分
数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。例3．填空：。解：18分解质因数后有六个约数：1、2、3、6
、9、18，可以任意取不同的三个约数的和，得到不同的结果。①；②；③；……三．把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分
数的差的形式呢？观察下面的分数运算，看看左右两边有什么关系。和；和；和；由上面的例子可知：当一个分数为（n为自然数）时，可以拆分成
的形式。即。（公式1）例4．填空：①；②；③。解：①；②；③；观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系？和；和；和；以上每个分数
的分子都是分母中两个因数的差。当n、n+d都是自然数时，可以转化为两个分数相减的形式。即：（公式2）当d=1时，公式（2）转化为公
式（1）。利用公式（2），可以把一些分数拆成两个分数差的形式。例5．把下列各数写出两个分数差的形式：（1）；（2）；（3）；（4）
。解：（1）；（2）；（3）；（4）；由公式（2）可以导出（公式3）。如，，，。观察下面的等式，左右两边有什么关系？与，与，与，通
过上面的算式，可以得到这样的结论：（公式4）如；；。由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。四
．拆分方法在分数加减运算中的应用例5．计算。解：原式===。例6．计算：。解：前三个分数相加可直接写成，所以原式=。例7．计算
：。解：由公式（2）原式==。例8．计算：。解：由公式（3）原式==。例9．计算：。解：由等差数列的求和公式得，所以原式中每个
分数可以拆分为，，，……，，因此原式==。例10．计算：。解：6=1×2×3，24=2×3×4，60=3×4×5，根据公式（4）
，，，，所以原式==。例11．计算：。解：根据公式（4），原式==。例12．求的和。解：先把同分母的分数相加。，，，所以原式=
2+3+4=9.例13．计算。解：利用例12的结论进行计算。原式=1+2+3+……+2016==2033136。练习题1．在下
列各式中填上适当的整数：①；②；答案：①；②解：①；②。2．在下列各式中填上适当的整数：①；②；答案：①；②；解：①3
2的约数有1、2、4、8、16、32，；②24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24，。3．在下列各式中填上适当的整数：
①；②；答案：①；②；解：①；②4．把下列各数写成两个分数的差的形式：①；②；答案：①；②；解：①；②。5．先观察，找出规律。，；，；，；然后在（）内填上适当的整数。。答案：；解：=。6．计算：.答案：；解：原式=。 |
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