第七讲质数与合数（二）我们已经学习过合数与质数的一些简单知识，对它们有了初步的了解。我们可以按每个整数的约数的个数的不同将自然数分成三类：
第一类：只有一个约数，是“1”；第二类：只有两个约数，即1和本身的，是质数，如“2、3、5、7、…”；第三类：除1和本身之外，还有
其它的约数，是合数，如“4、6、8、9、…”。从上述的分类方式中能够清楚地看出两点，①“1”这个数既不是质数，也不是合数；②“
质数与合数放在一起并不是全部自然数”。这两点十分重要，运用中容易出现问题。如何判断一共大于1的自然数是质数还是合数，下面介绍几种常
见的方法。例1．377是质数吗？解：我们用从小到大的一个个质数试除377，看看有没有能够整除377的，即用2、3、5、7、11、1
3，…去试除。发现377=13×29，所以377不是质数。两千多年前，埃及亚历山大图书馆的管理员埃托色尼就是用这种方法选出质数的。
在全体自然数中，先把1去掉，然后把2的倍数去掉（保留2）再把3的倍数去掉（保留3），……，这样一直做下去，最后剩下的就是质数了。这
种方法叫做“筛选法”。例2．有一个2n+1为的整数(n是整数，n≥1)，这个数是质数还是合数。解法1：我们观察这个数的特征，可以看
出，它的各位数字的和是3的倍数。，由于n+1是整数，所以3是原数的约数。所以是合数。解法2：还可以把这个数分解一下，把中间的“3”
拆开。=。所以是合数。把这个数字拆开的主要目的是能够提出公因数做因数分解。这种方法不但能够说明一个数是合数，还提供了分解因数的一种
方法。对于质数来说，由于它至今没有统一的数学式子来表示，人们对它的了解仍然是很不全面的。已经知道质数有无限多个（今后在初中可以证明
），并且一般来说，随着数值越大就越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况：1~1000中有168个质数；1001~2000中有
135个质数；2001~3000中有127个质数；3001~3000中有120个质数；4001~5000中有119个质数。例3．在
三张纸片上分别写上三个最小的连续的奇质数，如果随意从其中取出至少一张纸片组成一个数，其中有几个是质数？解：三个最小的奇质数指的是3
、5、7.“至少取出一张”的含义是取出一张组成一位数，取出两张组成两位数，取出三张组成三位数。下面分三种情况讨论一下：（1）如果
取出的是一张纸片，则3、5、7都是质数；（2）如果取出的是两张纸片，可能的两位数有35、53、37、73、57、75，其中37、5
3、73是质数；（3）如果取出的是三张纸片，可能的三位数有6个，它们的各位数字的和是3+5+7=15,15是3的倍数，所以这六个数
都是3的倍数，是合数。综上所述，合乎要求的质数一共有6个，分别是3、5、7、37、53、73。例4．5112的约数有多少个。解：首
先把5112分解成质因数的乘积。5112=23×32×71.5112的约数都是由2、3、71这些因子构成，约数中，关于2的因子有
四种情况：含有3个2、含有2个2、含有1个2和不含2；关于3的因子有三种情况：含有2个3、含有1个3、不含3；关于71的因子有2种
情况：含有1个71和不含71.根据乘法原理，含有2、3、71的约数的个数有4×3×2=24（个）。例5．在1~300之间，求出：
约数个数正好是15个的自然数。解：首先看一下组成这个数的质因子的情况是什么样子的。15=1×15=3×5.根据约数个数的公式，这
个自然数只含有两个不同的质因数，不妨设这两个质因数分别为A、B。（1）当15分解为1×15=(0+1)×(14+1)时，说明这个自
然数可以写成A0×B14，即是14个相同的质因数的乘积，考虑到自然数的取值范围在0~300之间，B最小为2，而214>300，超出
范围。因此这种情况是不存在的。（2）当15分解为3×5=(2+1)×(4+1)时，说明这个自然数可以写成A2×B4，当A=2，B=
3时，22×34=324>300(超出300)；当A=3，B=2时，32×24=144(符合条件)；当A=5，B=2时，5
2×24=400>300(超出300)；由此可以得出，对于任何A>3或B>2的取法都不符合条件。所以，在1~300之间，约数个
数是15个的自然数只有144.例6．有一个自然数含有10个不同的约数，但质因数只有2和3.那么这个自然数最大是几？解：设这个自然
数表示为2m×3n(m、n是整数)，根据约数个数的公式：约数个数10=(m+1)×(n+1)=1×10=2×5，这样，m，n的取值
只有4种情况：m=0，n=9；m=9，n=0；m=1，n=4；m=4，n=1。当m=0，n=9或m=9，n=0时，实际上该数只有一
个质因数，不合题意，舍去。即这个自然数有两种可能。当m=1，n=4时，21×34=162；当m=4，n=1时，24×31=48。所
以符合要求的最大的自然数是162.例7．房间里有100盏电灯，并且编号，号码为1、2、3、……、100.每盏灯上有一个拉线开关，开
始时电灯全都是关的。100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是1的倍数的灯的开关拉动一下；第二位同学把编号是2的倍数的灯的
开关拉动一下；第三位同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下；……；第100位同学把编号是100的倍数的灯的开关拉动一下；这时房间里
那些号码的灯是亮的。解：根据这个约定，第一位同学应该拉动1、2、3、……、100各个编号的灯；第二位同学应该拉动2、4、6、……、
100各个编号的灯；第三位同学应该拉动3、6、9、……、100各个编号的灯；……；第100位同学应该拉动100号的灯；由于灯开始是
关着的，拉动偶数次灯的开关，灯还是不亮；拉动奇数次灯的开关，灯才是亮的。灯的编号有多少个约数，它就被该约数号码的所有同学拉动多少次
。看来1~100中每个整数的约数的个数是偶数还是奇数，决定最后的结果。我们可以分析几个数的约数，看其奇偶性的规律。灯号123456
78910约数个数1223242434奇偶性奇偶偶奇偶偶偶偶奇偶观察得出：编号为平方数1、4、9、……时，都有奇数个约数。在1~1
00内平方数还有16、25、36、49、64、81、100，一共有10个。因此有10盏灯是亮的，编号是1、4、9、16、25、36
、49、64、81、100。附：（1）在1~100中，若一个数是质数，那么它一定有两个约数，约数个数为偶数；（2）若该数为合数，且
可以写成am×bn的形式，它的约数的个数是(m+1)×(n+1)，当m、n中至少有一个是奇数时（不妨设m为奇数），则(m+1)×(
n+1)为偶数（因为m+1是偶数）；（3）若该数是am时（m为偶数），这个数是一个平方数，它的约数的个数是奇数；（4）若该数为am
×bn，m，n都是偶数且m=n时，这个数就是一个平方数，它的约数的个数是奇数；（5）若该数am×bn为合数，m，n都是偶数且a≠b
，m≠n时，这个数最小是32×24=144；由上述分析得到在1~100中，只有平方数的约数的个数是奇数个，其余的数，它们的约数的个
数都是偶数个。练习题1．下列的说法对吗？为什么？（1）质数与合数组成了自然数；（）（2）所有的偶数都是合数；（）（3）所有
的奇数都是质数；（）（4）质数一定不是偶数；（）（5）两个质数的和一定是偶数；（）（6）任意两个自然数的积都是合数；（）答
案：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×；（6）×；解：（1）1既不是质数，也不是合数；（2）2是偶数，但不是合数；（
3）9是奇数，但不是质数；（4）2是偶数，也是质数；（5）2、3都是质数，它们的和是5，不是偶数；（6）1和3都是自然数，它们的乘
积3是质数，不是合数。2．两个相邻的自然数的积是756，这两个数是和。解：分解质因数756=2×2×3×3×3×7=27×2
8。答：这两个数分别是27和28.3．写出1155的所有两位数的约数。解：分解质因数1155=3×5×7×11.它的两位数的
约数有11、15、21、33、35、55、77。4．2340的约数的个数是个。解：2340=22×32×5×13，所以它的约数的
个数是3×3×2×2=36（个）。5．有四个小学生的年龄相乘是11880，问他们的年龄分别是几岁？解：11880=23×33×5×
11，小学生的年龄在6~13岁之间。他们的年龄可以是9岁、10岁、11岁、12岁。6．在1~20内，有一个质数，它加上10是质数，
加上14也是质数，则这个数是。解：在1~20内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。显然2不满足条件，试一下3，3+
10=13是质数，3+14=17也是质数，所以这个数是3.其他的几个数满足条件吗？请自己试一下。7．两个质数的和是40，则这两个
质数的乘积的最大值是；最小值是。解：把40表示成两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11+29=3+37。17×23
=391，11×29=319，3×27=81.所以乘积的最大值是319，最小值是81。8．连续九个自然数中最多有几个质数？为什么？
解：在连续的九个自然数中，偶数（除2以外）都是合数，从2开始看，这九个数是2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中2、3、5、7
是质数。也就是有4个质数。如果从大于2的数开始数，若从偶数开始，那么九个数中有5个偶数，它们都是合数，最多剩下的4个奇数可能是质数，即质数的个数不会大于4个。如果从奇数开始数，如3~11，5~13中，其中有4个偶数，剩下的奇数中有3、5、7、11或5、7、11、13为质数，也是4个质数。如果从奇数开始数，且最小的奇数大于5，则九个数中有4个偶数，在剩余的五个奇数中，一定有一个奇数的个位数字是5的，这个奇数是5的倍数，当然是合数。所以在连续九个自然数中，最多有4个质数。 |
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