第八讲整除问题在学习整数除法时，我们已经知道：被除数=除数×商+余数。这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数a、b(b≠0)，a被
b除的余数为零（商为整数）时，则称a被b整除或者b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫做a的约数，记作b|a。如果a被b除所得的余数不
为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作ba。很显然，1是任何整数的约数，即对任何的整数a，总有1|a，0是任何非零整数的倍数
，a≠0，a为整数，则a|0。一般来说，整数a是否能被整数b整除，只要真正做除法就可以判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判
断方法。一．数的整除的特征1．我们已经学过奇数和偶数，正是以能否被2整除来区分偶数和奇数的。因此有下面的结论：末位数字为0、2、4
、6、8的整数都能被2整除。偶数可以表示为2k，奇数可以表示为2k+1（其中k为整数）。2．末位数字为0的整数一定能被10整除。这
种数总可以表示为10k（k为整数）。3．末位数字为0或5的整数一定能被5整除。这种数总可以表示为5k（k为整数）。4．末两位数字组
成的两位数能被4（或25）整除的整数一定能被4（或25）整除。如2016=2000+16因为100是4和25的倍数，所以2000是
4和25的倍数，只要考察16是否为4或25的倍数即可，由于4|16，2516，所以4|2016，252016.能被25整除的整数
，末两位数字只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数字可能是00、04、08、12、16、……、96.5．末三位
数字组成的三位数能被8（或125）整除的整数一定能被8（或125）整除。由于1000=8×125，因此1000的倍数当然也是8和1
25的倍数。如判断765432是否为8的倍数，只需看末三位数字组成的三位数432能否被8整除即可。432÷8=54，即8|432，
所以8|765432.6．各个数位上的数字之和能被3（或9）整除的整数必能被3（或9）整除。如478323是否能被3（或9）整除？
由于478323=4×100000+7×10000+8×1000+3×100+2×10+3=4×(99999+1)+7×(999
9+1)+8×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+3=(4×99999+7×9999+8×999+3×99+2×9
)+(4+7+8+3+2+3).前一个括号里的各项都是3（或9）的倍数，因此判断478323是否能被3（或9）整除，只要考察第二个
括号里的各数之和能否被3（或9）整除。而第二个括号内的各数之和恰好是原数478323的各个数位上的数字之和。因为4+7+8+3+2
+3=27是3的倍数，也是9的倍数，所以478323可以被3（或9）整除。7．一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是1
1的倍数，那么这个整数也是11的倍数。（一个整数的个位、百位、万位、……称为奇数位；十位、千位、十万位、……称为偶数位。）如判断4
2559能否被11整除。42559=4×10000+2×1000+5×100+5×10+9=4×(9999+1)+2×(1001–
1)+5×(99+1)+5×(11–1)+9=(4×9999+2×1001+5×99+5×11)+(4–2+5–5+9)=11×(
4×101+2×91+5×9+5)+(4–2+5–5+9)前一个部分显然可以被11整除，因此只需判断后一部分4–2+5–5+9是
否是11的倍数即可。而这一部恰好是奇数位的数字之和减去偶数位的数字之和的差。由于4–2+5–5+9=11是11的倍数，所以4255
9可以被11整除。现在要判断7295871是否为11的倍数，只需直接计算(1+8+9+7)–(7+5+2)是否是11的倍数即可。(
1+8+9+7)–(7+5+2)=25–14=11是11的倍数，所以7295871是11的倍数。上面所举的例子都是奇数位数字之和大
于偶数位数字之和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和怎么办？这时只需计算偶数位数字之和减去奇数位数字之和即可。我们还发现任何一
个三位数连写两次组成的六位数一定能够被11整除。如186这个三位数，连写两次得到六位数186186，由于这个数的奇数位的数字和是6
+1+8，偶数位的数字和是8+6+1，它们的差为0，所以186186是11的倍数。一般地，三位数连写两次组成的六位数，这个六位数的
奇数位的数字和是c+a+b，偶数位的数字和是b+c+a，它们的差为0，故必有11|。象这样的六位数能否被7整除呢？如186186被
7除后商为26598，余数为零，即7|186186。能否不做186186÷7，而有简单的判断方法呢？由于186186=186000
+186=186×1001，而1001=7×11×13，所以186186一定能被7整除。这也启发我们，由于1001=7×11×13
，故若一个数被1001整除，则这个数必能被7整除，也能被11和13整除。或将一个数分为两部分的和或差，如果其中一部分为1001的倍
数，另一部分是7（11或13）的倍数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。如判断2839704是否是7的倍数？由于283970
4=2839000+704=2839×1000+704=2839×1001–(2839–704)。因为2839–704=2135是
7的倍数，所以2839704也是7的倍数。而2135不是11（或13）的倍数，所以2839704也不是11（或13）的倍数。实际上
，对于2839704这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839和704两个数，看它们的差是否被7（
11或13）整除即可。又如42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952–42=910是否被13整除
即可。由于910=13×70，所以13|910，7|910，但11910，所以13|42952，7|42952，1142952
.8．一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只需看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大
减小）能否被7（11或13）整除。若数字位数过大，可以将多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差
若能被7（11或13）整除，则原来的多位数也能被7（11或13）整除。如3546725可以分为3、546、725三段，奇数段的和为
3+725=728，偶数段为546，二者的差为728–546=182=7×13×2，可以被7和13整除但不能被11整除，所以354
6725能被7和13整除，不能被11整除。二．整除的几条性质整除的以下性质是最基本的，也是最常用的。（1）a|a（a为非零整数）；
（2）若a|b，且b|a，则a=b；（3）若c|b，且b|a，那么c|a；（4）若c|a，且c|b，那么c|(a+b)；若a≥b，
那么c|(a–b)；（5）若m是非零整数，且b|a，则必有bm|am；反之若bm|am，则b|a；（6）如果b|a，c|a，且b、
c没有除1以外的公约数（此时称b、c互质），那么bc|a。对于（3），如由2|4，4|12，可推出2|12。对于（4），如由4|
36，4|16，可推出4|(36+16)，4|(36–16)。对于（5），如由3|9，可推出3×4|9×4；反之由3×4|9×4，
可推出3|9。对于（6），如有3|24，2|24，且3与2互质，可推出3×2|24。例1．求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数
能被9整除，且各位数字均不相同。解：一个以5为首位的六位数5×××××，要想使它的各位数字均不相同且最小，可以写成501234，但
这个数的数字和是5+0+1+2+3+4=15，不是9的倍数，故只能将末位数字改为7。这时5+0+1+2+3+7=18是9的倍数。所
以501237是满足条件的六位数。例2．老师买了72本相同的书，当时没记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两
个数字看不清楚了，总钱数为□137.□元（□中为看不清的数字），你能帮助补上这两个数字吗？解：首先将□137.□化为整数，即□13
7□角。由于每本书的价格相同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都应该整除□137□。由于8|□137□，所以8|3
7□，由此可知当37□=376时，才有8|376。又由于9整除□1376，所以其数字和□+1+3+7+6必为9的倍数，即□+17是
9的倍数，所以□只能是1，因此原数为11376角，即1137.6元。例3．在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3
、4、5整除，且使这个数尽可能的小。解：不妨设补上三个数字后的六位数是。由于这个六位数分别被3、4、5整除，所以它应满足如下三个条
件：（1）数字和5+6+8+a+b+c是3的倍数；（2）末两位数字组成的两位数是4的倍数；（3）末位数字c为0或5。由于4|，故c
不可能为5，只能是0，且b只能是2、4、6、8、0。又因为3|(5+6+8+a+b+c)，所以3|(5+6+8+a+b+0)，当b
=2时，3|(5+6+8+a+2+0)，a可以为0、3、6、9；当b=4时，3|(5+6+8+a+4+0)，a可以为1、4、7；当
b=6时，3|(5+6+8+a+6+0)，a可以为2、5、8；当b=8时，3|(5+6+8+a+2+0)，a可以为0、3、6、9；
当b=0时，3|(5+6+8+a+6+0)，a可以为2、5、8；要使得六位数尽可能小，则a应取0，b应取2，c应取0。所以被3、4
、5整除的最小六位数应为568020.例4．求能被26整除的六位数□2015□。解：由于26=2×13，所以所求的六位数□2015
□应该分别被2和13整除，被2整除的个位只能是0、2、4、6、8；所求的六位数被13整除，必有□20与15□的差是13的倍数。当
个位为0时，150=11×13+7，所以□20也应满足被13除余7，即□×100+13+7被13除余7，□×100+13+7=□×
(7×13+9)+13+7=13×(7×□+1)+9×□+7，即9×□+7满足被13除余7，符合要求的□不存在；当个位为2时，15
2=11×13+9，所以□20也应满足被13除余9，即□×100+13+7被13除余9，□×100+13+7=□×(7×13+9)
+13+7=13×(7×□+1)+9×□+7，即9×□+7满足被13除余9，即9×□+7=13k+9，9×□–2是13的倍数，所以
□只能是6，六位数是620152；当个位为4时，154=11×13+11，所以□20也应满足被13除余11，即□×100+13+7
被13除余11，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7×□+1)+9×□+7，即9×□+7满足被13除余
11，即9×□+7=13k+11，9×□–4是13的倍数，符合要求的□不存在；当个位为6时，156=12×13，所以□20也应满足
被13整除，即□×100+13+7被13整除，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7×□+1)+9×□+
7，即9×□+7满足被13整除，所以□只能是5，六位数是520156；当个位为8时，158=12×13+2，所以□20也应满足被1
3除余2，即□×100+13+7被13除余2，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7×□+1)+9×□+
7，即9×□+7满足被13除余2，即9×□+7=13k+2，9×□+5是13的倍数，符合要求的□不存在；综上所述，符合要求的六位数
只有620152和520156.例5．将自然数1、2、3、4、5、……依次写下去组成一个数12345678910111213……。
如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，问这个自然数是多少？解：由于要求恰好第一次能被72整除，因此以从前往后的顺
序去寻找。如果先考虑被8整除，那么末位应为偶数，且末三位数字组成的三位数应该是8的倍数。因此依次看三位数123、234、456、6
78、910、112、314、516、718、192、920、202、212、122、222、232、324、242、252、52
6、262、272、728、282、930、132、334、536、738、394、……中那些是8的倍数。如知道456、112为8
的倍数，就要再看123456以及123456789101112是否为9的倍数。由于这两个数都不是9的倍数，所以不满足条件，满足条件
的数还要在其他8的倍数中寻找。像这样试验下去，速度较慢。由于被8整除的数一定能被4整除，故只需对被4整除的数（这样的数非常容易看出
）进行检验即可。经检验，形如123456……，末三位是516、192、920、232、272、728的自然数都不是9的倍数，而当末
三位是536时，才满足题目的条件。即123456……33343536恰好被72整除，故所求的自然数是36.解法二：先考虑被9整除，
再考虑被8整除。由于1234567891011121314……202122……的前9个数字的和为45是9的倍数故在考察位数超过9的
数时，前9个数字可以不再看；接下来，由于1011121314151617的数字之和为36，是9的倍数，故在超过25位的数是否被9整
除时，前25个数字可以不看；接下来，由于18的数字之和为9，是9的倍数，故在超过27位的数是否被9整除时，前27个数字可以不看；由
于1920212223242526的数字之和为36，是9的倍数，故在超过43位的数是否被9整除时，前43个数字可以不看；由于27的
数字之和为9，是9的倍数，故在超过45位的数是否被9整除时，前45个数字可以不看；由于2829303132333435的数字之和为
72，是9的倍数，故在超过61位的数是否被9整除时，前61个数字可以不看；再下一个就是36，数字之和3+6=9是9的倍数；……以上
做法把按自然数依次写下去组成的数分成若干段，各段的数字和均为9的倍数，即123456789|1011121314151617|18
|1920212223242526|27|2829303132333435|36|……然后再看各段末三位数字组成的三位数是否为8的
倍数。789、617、718、526、627、435都不是8的倍数，只有536是8的倍数。即一直写到36时，第一次恰好是72的倍数
。练习题1．一个数是任何自然数的倍数，这个数是；一个数是任何自然数的约数，这个数是。答案：0；1；2．四位数5□5□能被
5、6、7整除，则这个数是。解：四位数5□5□能被5整除，末位数字只能是5或0，又该数能被6整除，所以末位数字不是5，只能是0。
则5□50能被3整除，□处只能填2、5或8，对于5550、5850都不能被7整除，而5250=7×750，所以这个数是5250.3
．能被3、4、5整除的最大三位数是；最小四位数是。解：一个数能同时被3、4、5整除，这个数一定是3×4×5=60的倍数，所以
满足条件的最大三位数是960，最小四位数是1020.4．一个无重复数字的五位数3□6□5，千位与十位数字看不清楚了，但知道这个数能
被75整除，这样的五位数有个。解：五位数3□6□5，能被75=3×25整除，所以末两位数字可能是00、25、50、75，所以十位
数字可能是2或7。又该数能被3整除，若十位数字是2，对于3□625，□处可以填2、5或8，这时三位数是32625、35625和38
625。若十位数字是7，对于3□675，□处可以填3、6或9，这时三位数是33675、36675和39675。所以这样的五位数有6
个。5．一个各位数字均不相同的六位数的首位数字为7，且能被11整除，这样的数字中最小的是。解：六位数的首位数字是7，且各位数字均
不相同，最小的是701234，而701234÷11=63748……6不能被11整除，只要改为701239则能被11整除，满足条件。
6．六位数□2015□能被33整除，这样的六位数是。解：设这个六位数为，33=3×11，所以六位数能被3和11分别整除。因为能被
3整除且2+0+1+5=8，被3除余2，所以剩余的两个a+b的数字和被3除余1，又这个数能被11整除，所以a+0+5与2+1+b的
差也能被11整除。则b–a=2，这样比较得，当a=1，b=3时，120153被33整除；或当a=4，b=6时，420156被33整
除；或当a=7，b=9时，720159被33整除；满足条件的六位数有三个分别是120153，420156，720159.7．前若干
个自然数1、2、3、……的乘积的最末13位数都是零，问最后一个自然数最小应该是。解：乘积的最末13位都是0，即乘积中最少有13个
因数为2和13个因数为5。由于2的因数较多，只需考虑因数5即可。因数5中有一个5，10中有一个5，15中有一个5，20中有一个5，
25中有两个5，30中有一个5，35中有一个5，40中有一个5，45中有一个5，50中有两个5，最后再加上55中的一个5，就有了13个5，所以最后一个自然数最小的是55。8．在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数比原来的数大8倍，则这个两位数是。解：设这个两位数为，中间加上一个0，得到，三位数比原来的两位数大8倍，就是原数的9倍。所以a×100+b=9×(10a+b)，5a=4b，所以取a=4，b=5即可。即=45.9．从1、2、3、4、5中任选三个数，组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中找出能同时被2和9整除的数来,，这样的三位数有个。解：由题意，选出的三个数字中至少有一个偶数（保证能被2整除），且三个数字的和能被9整除。所以只能取2、3、4。组成的三位数可以说234、324、342、432，一共有4个。10．四个小朋友恰好一个比一个大1岁，他们的年龄的乘积等于3024，则这四个小朋友的年龄分别是岁。解：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以这四个小朋友的年龄可以是6岁、7岁、8岁、9岁。 |
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