第十二讲不定方程先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写了一个整数，它们的和是10，你能猜出左、右手心各写
的是什么整数吗？小王满有信心地说：能行。于是小王连续猜了三次。第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对；第二次猜：左手
心写的是5，右手心写的是5，老师说不对；第三次猜：左手心写的是7，右手心写的是3，老师说还是不对。其实我们已经知道，这个问题的答案
有许多个，不要说猜三次，就是再猜几次，可能还是没有恰好猜出来。如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10
。由于未知数的个数比方程的个数多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加条件，可能还是不容易得到合理的答案。一般情况，我们把求这
类方程整数解的问题叫做不定方程。我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长度为17米和8米的两种同样粗细的水管
，问两种水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段。由于总长度是158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水
管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的长度是否恰好是8的整数倍。这个办法是将17米长的水管的各种可能性逐个列举，再
看哪种情况合适，这种方法叫做“穷举法”。当可取的情况很多时，这种方法当然不能令人满意，如果情况种类不太多，这种方法还是可行的。如设
17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可以列出方程17x+8y=158，（1）本题要求这个方程的整数解。我们用下面的方法
来求这个方程的整数解。先将方程变形为：8y=158–17x，（2）8y=152+6–16x–x（3）由于152和16x都是8的
倍数，因此6–x也应该是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代入（2）中，可以解出y=7，所以17米长的水管用了6根，8米长的水管用
了7根。也可以由方程（2）两端同除以8得，（4）所以（5）（6）由于x、y均为整数，19–2x也是整数，故可知也是整数，显然
只有当x=6时，为整数，此时=0，y=19–2×6=7。这种解法叫做整数离析法或整数分离法。一．二元一次不定方程象上面讲到的17x
+8y=158这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。一般地，形如ax+by=c的方程中，其中a
、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数解或正整数解。对于上述
方程通常要考虑下面几个问题：1．a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或者无整数解；2．如果有整数解，将有多少整数解？是否有解的
统一表示办法？3．如何求出所有的解。我们曾用整数离析法求出了17x+8y=158的一组正整数解x=6，y=7。是否还有其他的正整数
解呢？以上三个问题全部解决，这个问题才算解答完毕。下面我们将通过例题把一些主要结论介绍给大家。如求二元一次不定方程3x+9y=23
的整数解。容易看到等号左端当x、y为整数时，能被3整除，但右边的23不能被3整除，故左右两端不可能相等，方程没有整数解。一般地，当
(a，b)c时{(a，b)表示的是a与b的最大公约数}，方程ax+by=c无整数解。理由是当x、y为整数时，左式是(a，b)的倍数
，但右端却不是(a，b)的倍数，所有原方程无整数解。再看二元一次不定方程6x+9y=21，由于(6，9)=3，而3|21，在这种情
况下，方程有无整数解呢？在方程两端同除以(6，9)=3，得2x+3y=7，容易看出x=2，y=1就是这个方程的一个整数解。由于知识
的限制，现在我们所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至于可能没有解，但如果数的范围加入了负数，那么只
要(a，b)|c，方程就一定有解。例如21x+18y=3，这个方程中，(a，b)=(21，18)=3，方程可以变形为7x+6y=1
，这个方程在零和自然数的范围内无整数解，在中学学习负数的概念后，还可以找到方程的整数解。在本讲中我们只讨论用小学知识可以求解的题目
，但给出的公式却具有一般性。在ax+by=c中，如果(a，b)=c，那么方程两端同除以(a，b)后得a1x+b1y=c1，如x=x
0，y=y0是方程a1x+b1y=c1的一组解，那么方程的所有解为，其中t可以取任意整数（包括负整数）。这就是说，如果能求出一组解
x=x0，y=y0，就可以直接写出方程a1x+b1y=c1的所有解。如求方程4x+3y=17的所有整数解。由于(4，3)=1，1|
17，故这个方程肯定有整数解。容易看到x=2，y=3是方程的一个解，那么4x+3y=17的所有解是，其中t可以取任意整数。当t=0
时的解即为x=2，y=3，但当t为正整数时，x为正整数，y却不是正整数了。例1．大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378
人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。解：设需要大汽车x辆，小汽车y辆，可得方程54x+36y=37
8，由(54，36)=18，18|378，原方程可以化为3x+2y=21，且一定有整数解。容易看到x=1，y=9就是3x+2y=2
1的整数解，那么3x+2y=21的所有整数解为，t为任意整数。方程3x+2y=21除了t=0时，有整数解x=1，y=9之外，还有当
t=1时，有整数解x=3，y=6；当t=2时，有整数解x=5，y=3；当t=3时，有整数解x=7，y=0；因此可以要大车1辆，小车
9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；或大车7辆，小车0辆都能使每个人都上车且各车都正好坐满。当t≥4时，由于y不再是
零和正整数，从而使解失去了实际意义。例2．解不定方程31x+47y=265。解：由于(31，47)=1，1|265，所以方程肯定有
整数解，但要想看出一组整数解来却并不容易，我们又不想用x依次取0、1、2、3、……去试求y的值，看看y什么时候会成为整数。于是还是
采用整数分离法来求这个方程的一组整数解。将原方程变形为：31x=265–47y，两边同除以31，得，，，由于x，y都是整数，必有为
整数。设，所以31k=17–16y，16y=17–31k，，，，由于y，k都是整数，所以必为整数，设t=，k=16t–1，将k=1
6t–1代入到中，得y=1–2(16t–1)+t，即y=3–31t，再代入到中得x=8–(3–31t)+(16t–1)，得x=47
t+4，即原方程的解是，其中t为任意整数。从上式可以看出当t=0时，x=4，y=3是原方程的一组正整数解。且只有这一组正整数解。例
3．解不定方程5x+7y=978，并求正整数解的个数。解：由于(5，7)=1，且1|978，所以原方程一定有整数解。由5x=978
–7y得，，，令，所以5k=3–2y，2y=3–5k，，，令，于是k=1–2t，把k=1–2t代入到中，得y=1–2×(1–2t)
+t，即y=5t–1，把y=5t–1和k=1–2t代入到中，得x=195–(5t–1)+(1–2t)，即x=197–7t。所以原方
程的解是，t为任意整数。要求原方程的正整数解的个数，应满足，解得，即，满足这个条件的整数t有1、2、3、……、28，一共有28个。
所以原方程有28组正整数解。二．三元一次不定方程组先从一个古代问题谈起。“一百匹马驮一百块瓦。大马驮三片，中马驮两片，两匹小马驮一
片，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”解：设大马、中马、小马分别有x、y、z，列出的方程是x+y+z=100（1）和3x
+2y+z=100（2）.由（1）和（2）组成的三元一次方程组比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为
二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值。由（2）得6x+4y+z=200(3)（3）–（1）得5x+3y=10
0，由(5，3)=1，1|100，所以此方程一定有整数解。由3y=100–5x得，因为y是整数，所以3|(20–x)，当x依次取
2、5、8、11、14、17、20时，y依次取得30、25、20、15、10、5、0。把它们代入（1）依次得z=68、70、72、
74、76、78、80。即原方程组有七组解，，，，，，。不过y=0说明不用中马，作为求正整数解可以不考虑。例4．如果1只兔可以换2
只鸡，2只兔可以换3只鸭，5只兔可以换7只鹅，某人用20只兔换了鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？解：设鸡、鸭、鹅的数
目分别是x、y、z，则，方程（2）可以化为21z+28y+30z=840（3）方程（1）化为21x+21y+21z=630（4
）（3）–（4）得7y+9z=210（5）由（5）得，由于y是整数，所以z一定是7的倍数，当z分别是7、14、21时，y依次
得21、12、3，代入到（1）中解得x依次为2、4、6。所以原方程有三组解，，。练习题1．将118写成两个整数的和，使得一个整
数是11的倍数，另一个整数是17的倍数。解：设一个整数是11的x倍，另一个整数是17的y倍，则11x+17y=118，由于(11，
17)=1，1|118，所以该不定方程一定有整数解。11x=118–17y，，由于x，y是整数，所以也是整数。设k=，得11k=
8–6y，6y=8–11k，，是整数，令t=，所以k=6t–2，代入得y=1–2×(6t–2)+t=5–11t，x=10–(5–1
1t)+(6t–2)=3+17t。所以方程的解是，当t=0时，x=3，y=5。即118=3×11+5×17。2．不定方程5x–14
y=11的最小正整数解是x=；y=。解：5x=11+14y，，所以是整数，当y=1时，x=5。所以最小正整数解是x=5，y=1
。3．解不定方程7x+11y=1288，并确定正整数解的组数是组。解：7x=1288–11y，，当y=0时，解得x=184，所以
x=184，y=0是一组整数解，原方程的所有解是，其中t是整数。对于正整数解的条件式，解得，所以t可以取1、2、3、……、15、1
6，一共16个整数，所以原方程有16组正整数解。4．大小两种盒子，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，
问要大、小盒子各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。解：设需要大盒子x个，小盒子y个，则48x+30y=306，因为(48
，30)=6，6|306，方程两边同除以6得8x+5y=51，，因为x，y都是整数，所以是整数。可以看出当y=7时，x=2是原方程
的一组解，所以原方程的所有解是，且只有这一组正整数解，答：需要2个大盒子和7个小盒子。5．三元一次方程组的正整数解是。解：把方程
（1）乘以2得10x+14y+6z=25，与第二个方程相加得13x+13y=52，两边同除以13得x+y=4，所以正整数解为，，，
把它们代入到方程（2）中分别得z=–，z=，z=1.所以原方程的正整数解只有x=3，y=1，z=1。6．在1500年前的“张立建算
经”里，曾提出“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各
几何？”解：设有鸡翁x只，鸡母y只，鸡雏z只，则，把方程（2）乘以3得15x+9y+z=300，（3）方程（3）减去方程（1）得
14x+8y=200，(14，8)=2，2|200，所以方程两边同除以2得7x+4y=100，可以看出当x=0，y=25时是方程
的一组解，所以该方程的所有解是，其中t是整数，代入到（1）中，可以解得z=75+3t，求原方程的正整数解，条件是，当t=1时，有，
此时z=78；当t=2时，有，此时z=81；当t=3时，有，此时z=84；所以方程有三组正整数解：(4，18，78)；(8，11，
81)；(12，4，84)。7．求不定方程5x–3y=–7的一组正整数解并写出所有解的表达式，这个方程有多少组正整数解？解：，所以
是整数，当y=4时，x=1，所以原方程的一组正整数解是x=1，y=4，所以方程的所有解是，t是任意整数，对于正整数解的条件式t>0
，所以原方程有无穷多组正整数解。8．由一个同学把他的生日的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，把总数告诉你，你能准确
推算出他的生日吗？如果小李告诉你的是170，小李的生日是哪一天？解：设出生的月份是x月，出生的日期是y日，则31x+12y=170
，(31，12)=1，1|170，所以该方程一定有整数解。由，所以是整数。令k=，则31k=15–12y，，所以是整数，令m=，
12m=3+5k，这个方程的一组解是m=4，k=9，所以m=4–5t，k=9–12t，代入到得y=1–3×(9–12t)+(4–5
t)=31t–22，x=5+(9–12t)=14–12t。当t=1时，x=2，y=9。所以小李的生日是2月9日。9．甲说：“我和乙
、丙共有100元”，乙说：“如果甲的钱是现在的6倍，我的钱是现有的，丙的钱不变，我们三人仍然有100元”，丙说：“我的钱连30元都
不到”，问三人原来各有多少钱？解：设甲、乙、丙三人原来各有x、y、z元，则，（2）式乘以3得18x+y+3z=300(3)
（3）式–（1）式得17x+2z=200，由于(17，2)=1，1|200，所以该方程一定有整数解，很明显当x=0，z=100是方
程的一组整数解，所以方程的所有解是，其中t是整数。根据题目的要求知x>0，0
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