蓝色字数学式--数学竞赛题资料(附解答)
初中数学竞题（二）
（一）选择题：
1、设的小数部分，则的值为（）
（A）（B）（C）1（D）0
2、已知则和的关系是（）
（A）（B）（C）（D）3、已知锐角⊿ABC中，AC＜AB＜BC，在⊿ABC的平面内，使⊿PAB和⊿PBC都是等腰三角形的P点的个数为（）（A）6（B）9（C）13（D）14
4、已知Rt⊿ABC三边之长都是正整数，其中一条直角边的长是方程的根，则S=（）（A）60.5（B）121（C）330（D）66
5、关于x的方程的两根为r和s，的两根为和，则p=（）（A）（B）－4c（C）－2c（D）
6、设,，则它们的大小关系为（）
（A）m＜n＜p（B）m＜p＜n（C）n＜p＜m（D）p＜m＜n
7、如图抛物线的图像经过点（－1，0），对称轴x=1
则下列关系成立的是（A）＞0（B）＜0（C）＞（D）＞8、当b2-4ac＞0时，x的方程a+bx+cx2=0的根为（）
（A）必有两为等实根（B）无实根（C）不一定有两实根（D）有等根
9、关于x的二次方程的两根之差的绝对值为2，则p的值为（）
（A）2（B）4（C）6（D）8
10、三条高为3、4、5组成的三角形是（）
（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）没有这样的三角形（二）填空题：
1、已知：、、是不等于1的正数，且，，则
2、如图：AB=BC=CDAD=AEDE=BE则∠C的度数为
3、已知关于x的一元二次方程的两根之和为，平方和为，立方和为，则+b+c=
4、已知≠b，且，，则5、设直线与坐标轴构成的直角三角形的面积是Sk，则S1+S2+…+S2006=
6、把展开后得则7、已知则8、已知则=
9、要使抛物线的顶点位置最高，则m=
10、设都是正整数，且则
?
（三）解答题：
1、已知、、是⊿ABC的三边，且有等根，
求证：⊿ABC是等边三角形.
2、已知：0，化简：
3、已知、、是实数，且＋＋=0abc=1
求证：、、中至少有一个大于4、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，梯形ABCD的面积为S，对角线交点为O，且S⊿AOD=S1S⊿BOC=S2S⊿AOB=S3
求证：，是方程的两根.
5、求证：＜6、已知，且＞＞0，不解方程，试用换元法证明它的一个实根n大，另一个实根比n小.
7、已知⊿ABC和平行于BC的直线DE（如图），
且S⊿BDE=R2，问当R2与S⊿ABC之间满足什么关系时，此题有解，有多少解？
8、四个正多边形的纸板，既不重叠，又无空隙地平放在桌面上的某点，周围拼成一个大多边形，设四个正多边形的边数为p、q、r、s，试求的值.
9、锐角三角形ABC中，∠A=30°，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，连结DE，把⊿ABC分成⊿ADE
与四边形DBCE，设它们的面积分别为S和S，则S:S=3
10、已知：三数满足方程组试求方程的根.
（2002年全国初中数学联赛试题，第二试第一题）
?附答案：
（一）选择题：
1、∵∴选B2、A
3、D4、x=11112=60×61∴选C
5、∵∴故选D
6、化指数为选C
7、由图知＜0＞0＞0
c－b=－a＞－=选C
8、c=0时，一实根，故选C
9、|==∴p=4∴故选B10、由已知三边之比为即20:15:12故选A
（二）填空题：
1、设2、36°
3、0
4、
则原式=
5、直线与坐标轴的交点为（0，）和（，0）∴Sk=··（k=1、2、…2006）
∴S1+S2+…+S2006=
6、当x=1时，展开式=1……①当x=－1时，展开式=729……②所求式=[①＋②]=365
7、由已知x=－1则原式=－1
8、和是方程两根则原式=＋=－1
9、设顶点为（，），==∴m=
10、设∴
∴1得:m=3n=10
==243∴d－b=757
（三）解答题：1、方程为：3＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca=0
则有⊿=
∴
∴a=b=c∴⊿ABC是等边三角形
2、设则∴原式=
=
3、由已知、、中只能是一正两负，设＞0，则
∴b、是方程的两根，∵、是实数，∴⊿=0
∴－40∴≥
4、S⊿COD=S⊿AOB=S
∴S=++2
∴S=∴=
是方程的两根
5、设=
则∵0＜x＜y∴＜∴＜＜∴0＜＜故命题得证
6、设，则，则方程化为－(3m＋n)(y＋n)＋mn=0
化简得：∵⊿=
∵m＞＞0∴⊿＞0
则新方程有两个不等的实根，设两实根为y和y
∵yy=＜0∴两根中有一正根、一负根.
不仿设y1＜0，则y2＞0，即－n＜0－n＞0∴x＜＞命题得证.
7、设S⊿ABC=S（0≤x≤1）由DE∥BC知
∵∴则S=xS
又∴∴
∵0≤x≤1∴⊿=－4S0得
即
∴当=时，方程有两等根，这时即D为AB中点，一解.
＜时，方程有两不等的实根，即D可取两点，即有两解.
8、∵四个正多边形在公共顶点处的四个角刚好拼成一个周角360°，
∴故∶∴=1
9、连BE，BC为圆的直径，∠BEC=90°，则∠AEB=90°
∴又⊿ADE∽⊿ABC∴
由此可知：
因而四边形DBCE面积S=S⊿ABC则S:S=3
10、∵
∴a、b是方程∴⊿=64－4=≥0
∴
从而得∴原一元二次方程化为
解这个方程得：
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