2015年专升本高数内部考试资料

2015年专升本高数内部考试资料第一章函数、极限与连续4一、函数定义域的求法4二、函数相等的判定5三、函数表达式的求法5四、函数的基本性质
6五、反函数的求法7六、数列极限的求法7七、函数存在极限的充要条件7八、函数极限的求法8九、无穷小量阶的比较10十、关于函数极限的
反问题11十一、函数在一点处的连续性11十二、求函数的间断点及其类型12十三、闭区间上连续函数的性质14第二章一元函数微分学及其应
用15一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数15二、利用导数的几何意义求切线或法线方程15三、可导与连续的关系以及函数在一点
可导性的判定16四、求导法则及复合函数的导数与微分17五、函数的高阶导数18六、参数方程或隐函数方程的导数18七、幂指函数的导数求
法19八、关于中值定理条件的验证19九、利用拉格朗日中值定理证明不等式20十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式20十一、关于中值命题
的证明21十二、利用洛必达法则求极限21十三、单调性的判定与单调区间的求法22十四、利用单调性证明不等式，以及数值不等式的证法22
十五、利用单调性判定根的存在性或唯一性22十六、关于函数的极值问题23十七、函数的最值问题24十八、曲线凹凸性的判定25十九、曲线
的拐点求法25二十、曲线的渐近线求法26第三章一元函数积分学及其应用27一、原函数与不定积分的概念及性质27二、不定积分的直接积分
法29三、不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）29四、不定积分的第二类换元积分法31五、不定积分的分部积分法31六、有理分式的不
定积分31七、定积分的概念与性质32八、积分上限函数的导数33九、定积分的常规计算34十、使用定积分的性质和一些重要结果计算定积分
35十一、广义积分的计算与敛散性的判定36十二、含定积分的函数表达式求法37十三、利用定积分的几何意义求平面图形的面积38十四、利
用定积分求特殊的空间立体的体积39第四章向量代数与空间解析几何40一、向量代数40二、空间直线与平面的方程求法41三、两点间的距离
、点到平面的距离以及空间中对称点的求法43四、位置关系的判定及其夹角计算43五、二次曲面与旋转曲面的特征44六、旋转曲面与投影曲线
的求法45第五章多元函数微分学46一、二元函数的表达式与定义域的求法46二、二元函数的极限与函数的连续性46三、二元函数的偏导数与
全微分47四、二元复合函数的偏导数与全微分48五、可微、连续、偏导数之间的关系48六、高阶偏导数49七、多元抽象函数的偏导数与全微
分49八、多元隐函数的偏导数与全微分49九、方向导数与梯度50十、空间曲线的切线与曲面的切平面求法50十一、二元函数的极值51十二
、多元函数的最值问题52第六章多元函数积分学52一、二重积分的概念与性质52二、直角坐标系下二重积分的计算53三、特殊被积函数的二
重积分计算54四、极坐标系下的二重积分计算54五、含二重积分的函数表达式求法55六、两坐标系下二重积分的相互转化与交换二重积分的积
分次序55七、利用二重积分计算空间立体的体积56八、第一类曲线积分的计算57九、利用定积分计算第二类曲线积分57十、格林公式与曲线
积分与路径无关57第七章无穷级数58一、利用定义判定级数的敛散性58二、利用级数的一般性质判定级数的敛散性59三、利用级数收敛的必
要条件判定级数敛散性60四、正项级数的敛散性判别法61五、交错级数与一般项级数的敛散性判定62六、阿贝尔第一定理及其应用63七、幂
级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域的求法64八、幂级数的和函数与数项级数和的求法65九、函数f(x)展开成幂级数的方法65十、由函
数的幂级数展开式，求函数的高阶导数65第八章常微分方程66一、微分方程的基本概念66二、可分离变量的微分方程与一阶线性齐次微分方程
的解法67三、齐次方程的解法68四、一阶线性非齐次微分方程的解法68五、可降阶的高阶微分方程的解法69六、线性微分方程解的结构定理
应用70七、二阶常系数线性齐次微分方程的解法71八、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法71九、常系数线性微分方程的反问题73十、已
知一个变限积分方程，求函数表达式73参考答案74第一章函数、极限与连续74第二章函数、极限与连续76第三章一元函数积分学及其应用8
1第四章向量代数与空间解析几何85第五章多元函数微分学86第八章常微分方程92第一章函数、极限与连续一、函数定义域的求法1.已知
函数的表达式，求函数的定义域例1函数y=ln(x-1)+arcsin(x-3)的定义域是（）A.［2，+∞)B.(2,4)C.
［2,4)D.［2,4］例2函数f(x)=ln(x-1)x+1的定义域是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1，+∞)例3函数f(x)=16-x2ln(x+2)的定义域是.例4函数f(x)=2+x2-
x的定义域是.例5函数y=x2-9x-3的定义域是.2.分段函数的定义域是各分段区间的并集.3.抽象函数定义域的求法例6设f(x)
的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为.例7设f(x)的定义域为［0,4］，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域为
.例8设f(x+1)的定义域为［0，1］，则函数f(2x+3)的定义域为.例9设f(x)的定义域为（0，1），则f(ex)的定义域
为（）A.（-∞,0)B.(1,e)C.(-∞,1)D.(-∞,e)二、函数相等的判定例1下列函数相同的是()A.f(x)=
x2，g(x)=xB.f(x)=ddx∫x0sintdt,g(x)=sinxC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.y=
x,y=sin(arcsinx)例2下列函数相同的是()A.y=1,y=xxB.y=x2-4,y=x-2·x+2C.y=x,y=c
os(arccosx)D.y=x2,y=|x|例3下列函数相等的是()A.y=x2-x-2x-2与y=x+1B.y=sin2x与y
=sinxC.f(x)=x2+sin2x+cos2x与g(t)=t2+1D.f(x)=sec2x-tan2x与f(x)=1三、函数
表达式的求法1.已知f(x)和g(x)的表达式，求f［g(x)］或g［f(x)］的表达式例1f(x)=xx-1，则f1f(x)-1
=.例2设f(x)=x，x≤0，x+x2,x>0，则f［f(x)］=.例3设g(x）=2-x,x≤0，x+2,x>0，f(x)=x
2,x<0，-x,x≥0，则g［f(x)］=.例4设f(x)=x1+x2，求f［f……f(x)］n个f的表达式.2.已知f［g(x
)］和g(x)，求f(x)的表达式例5设fx-2x=1+x，则f(x)=.例6设f(ex+1)=e2x+ex+x，则f(x)=.例
7设fx-1x=x3-xx4+1（x≠0），求f(x).例8设f(lnx)=x3+1,则f(x)=.例9若函数fsinx2=1+c
osx,则fcosx2=.3.已知f(x)和f［g(x)］的表达式，求g(x)的表达式例10已知f(x)=ln(1+x),f［g(
x)］=x，求g(x).例11已知f(x)=3lnx,f［g(x)］=ln（1-2lnx），求g(x).四、函数的基本性质掌握函数
的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念及其性质.例1设f(x)为增函数，g(x)为减函数，则下列函数中为减函数的是()A.f［-g
(x)］B.f［g(x)］C.f［f(x)］D.g［g(x)］例2函数f(x)=11+2x-12在其定义域内()A.奇函数
B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判定例3函数f（x）=x7arcsin（tanx）在其定义域内()A.偶函数B.奇函数C.
非奇非偶函数D.无法判定例4函数f(x)=cotx·3x-13x+1是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判定
例5若f(x)在（-∞,+∞）内为奇函数,则F(x)=f(x)ln(x+x2+1)在(-∞,+∞)内为()A.奇函数B.偶函数
C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数例6设f(x)是奇函数,且处处可导，则f′(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数例7函数y=1-arctanx是()A.单调增加且有界函数B.单调减少且有界函数C.奇函数D.偶函数例8函数
f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，当x≤0时，f(x)=x2-x，则当x>0时，f(x)的表达式是()A.x2-xB.-x2+
xC.x2+xD.-x2-x例9函数y=1x在定义域内是()A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数例10下列函
数不是周期函数的是()A.y=3sin(x+π)B.y=sin2xC.y=1+sin5xD.y=xsinx例11设函数f(x)
的定义域为(-∞,+∞)，若对x∈（-∞,+∞），有f(x+k)=1f(x)（k为常数）则函数f(x)具有()A.单调性B.奇偶
性C.周期性D.有界性五、反函数的求法例1设函数f(x)=log2x+8(x≥2)，则其反函数的定义域为()A.(-∞,+∞)
B.［2,+∞)C.（0，2］D.［9，+∞)例2y=ax-bcx-d的反函数是()A.y=ax-bcx-dB.y=ax
-dcx-bC.y=cx-dax-bD.y=dx-bcx-a六、数列极限的求法例1求下列极限:（1）limn→∞1n2+2n2
+…+nn2;(2)limn→∞12n3+22n3+…+n2n3；(3)limn→∞11·2+12·3+…+1n（n+1）；(4)
limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n;（5）limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.例2极限
limn→∞1+2+…+n2+n-n2的值为()A.14B.12C.-12D.-∞七、函数存在极限的充要条件1.函数f(x)
在x→∞时极限存在的充要条件常见的几个极限式：limx→-∞arctanx=-π2，limx→+∞arctanx=π2,limx→
+∞arccotx=0，limx→-∞arccotx=π,limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞(及其二者的推广)例1下
列极限不存在的是：()A.limx→∞（2x-1）20(3x+2)30(5x+3)50B.limx→∞sinxnxnC.lim
x→∞xsin1xD.limx→∞ex2.函数f(x)且x→x0时极限存在的充要条件例2下列函数中，limx→0f(x)存在的是
()A.f(x)=12-x,x<00,x=0x+12,x>0B.f(x)=|x|x,x≠0x,x=0C.f(x)=x2+2,x<0
3,x=0sinx2x,x>0D.f(x)=e1x,x≠00,x=0例3函数f(x)=21x在x=0处()A.有定义B.极限存在
C.左极限存在D.右极限存在例4下列极限存在的是()A.limx→∞4xB.limx→∞x3+13x3-1C.limx→0
+lnxD.limx→1sin1x-1八、函数极限的求法1.利用极限的运算法则求极限例1求下列极限：（1）limx→-∞2x-3
x2x+3x;（2）limx→+∞2x-3x2x+3x;（3）limx→∞（x+1）10（2x-1）20(3x+2)30；(4)l
imx→0x-sinxx+sinx.例2对任意x总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且limx→∞［g(x)-φ(x)］=0,则li
mx→∞f(x)()A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在例3已知limx→0xf(4x)=1,求
limx→0f(2x)x.2.无理分式极限的求法例4求极限：limx→02x+1-3x+2-2;(2)limx→0x+1-1x;
（3）limx→∞nn2+1+n2-1;（4）limx→∞x4-3x2+1-12x2-3x.3.“∞-∞”型分式极限的求法例5求
极限：(1)limx→01x-1ex-1;（2）limx→21x-2-1x2-4;(3)limx→01sin2x-cos2xx2;
(4)limx→01+x1-e-x-1x.4.x→x0与x→∞时，有理分式极限的求法例6求极限：(1)limx→0ex2cosxa
rcsin(1+x);(2)limx→0x2+2x2+x;（3）limx→1x2-3x+21-x2.例7求极限：（1）limx→
∞3x2+x-82x2+5x+1;（2）limx→∞3x2+x-82x3+5x+1;（3）limx→∞3x3+x-82x2+5x
+1.5.利用重要极限求极限例8求极限:（1）limx→01-cosxxsinx;(2)limx→πsinxπ-x；(3)lim
n→∞nsinπn；(4)limx→1sin(x2-1)x-1.例9求极限：（1）limx→∞1-1x4x+3;(2)limx
→03x1+2x;(3)limx→π2（1+cosx）3secx;(4)limn→∞1+1n+1n2n;（5）limx→∞x2-
1x2+1x2;(6)limx→∞1+sin2x2x;（7）limx→0(1+x2)11-cosx;(8)limn→∞（1+2
n+3n）1n(洛必达).例10设f(x)=limt→0x(1+3t)xt,则f′(x)=.6.利用无穷小量的性质求极限例11求下
列极限:（1）limn→∞x2+x-sinxx3-4x+5（sinx+cosx）;（2）limx→+∞x3+x2+12x+x3(s
inx+cosx).(3)limx→∞(sinn2+1π);（4）limx→+∞(sinx2+1-sinx).例12当x→∞时，下
列变量不是无穷小量的是()A.x2sinx2x3-1B.(x2+1)sinxx2+1C.(x3+2x)sin1x3-2xD.11-
x3sin1+x32x7.利用无穷小替换求极限例13求下列极限:（1）limx→01-e3xtan2x;（2）limx→0ln（
1+4x2）sinx2;（3）limx→∞x(e2x-1);(4)limx→∞x(e2sin1x-1);(5)limx→01+x
sinx-1arctanx;(6)limx→0+1-cosxx(1-cosx)；（7）limx→1x2-1lnx;(8)lim
x→01+tanx-1+xarcsinxarctanx2.九、无穷小量阶的比较例1当x→0+时，与x等价的无穷小量是()A.1-e
xB.ln（1+x）C.1+x-1D.1-cosx例2当x→0时，下列无穷小量中是其他三个高阶无穷小的是()A.x2B.1
-cosxC.1-x2-1D.x-tanx例3当x→0时，函数eax-1与1+x-1是等价无穷小量，则常数a的值为()A.2
B.12C.-2D.-12例4设f(x)=∫1-cosx0sint2dt，g(x)=x55+x66，则当x→0时，f(x)是g
(x)的()A.低阶无穷小量B.高阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量例5当x→0时，函数f(x)=sinax与
g(x)=ln（1-2x）为等价无穷小，则常数a的值为()A.-1B.1C.-2D.2例6设f(x)=e-x2-1,g(x)
=xtanx,当x→0时()A.f(x)是g(x)的高阶无穷小B.f(x)是g(x)的低阶无穷小C.f(x)与g(x)为同阶无穷小
,但非等价无穷小D.f(x)与g(x)为等价无穷小例7当x→0时，无穷小量1-cosx2是x4()A.等价无穷小B.同阶无穷小
C.较高阶无穷小D.较低阶无穷小例8下列陈述中正确的是()A.sinx22与x22是等价无穷小量（x→0）B.sinx22与x2
sinx2是等价无穷小量（x→∞)C.sin2x2与1x2是等价无穷小量（x→∞）D.sin2x2与2xsin2x是等价无穷小量（
x→∞）例9当x→0时,4x+5x-2是x的()A.等价无穷小B.同阶非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小例10当x→0时
，与e-sinx-1比较是同阶非等价无穷小的是()A.-xB.x2C.x2D.-sinx例11当x→0时，ex-ax2-x-
1是x2的高阶无穷小量，则a=.例12当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比
ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=()A.1B.2C.3D.4例13当x→0时，1+x2-ex2是x的阶无穷小量.例14当
x→0+时，下列函数为无穷大量的是()A.2-x-1B.sinx1+secxC.e-xD.e1x十、关于函数极限的反问题例1
若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，则()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=
2,b=1例2已知limx→∞x2x+1-ax-b=0,求常数a,b.例3设limx→0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,
求常数a,b.十一、函数在一点处的连续性例1极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处连续的()A.必要而非充分条件
B.充分而非必要条件C.充要条件D.无关条件例2极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处可导的()A.必要而非
充分条件B.充分而非必要条件C.充要条件D.无关条件例3设f(x)=1+xsinx-cosxx2，当x≠0时，F(x)=f(x
),且F(x)在x=0处连续，则F(0)=()A.-1B.0C.1D.2例4函数f(x)=2x,x≥1,x2,x<1在点x=
1处()A.不可导B.连续C.可导且f′(1)=2D.无法判断是否可导例5设f(x)=|x2-1|x-1,x≠1，2，x=1则
f(x)在点x=1处()A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.可导且导数连续例6设函数f(x)=ex,x<0,x2
+2a,x≥0在点x=0处连续，则a=()A.0B.1C.-1D.12例7设f(x)=sin3xx+b,x<0，a,x=0，
2x，x>0在x=0处连续，则常数a与b的值为()A.a=0,b=-3B.a=-3,b=0C.a=0,b=3D.a=0,b=-
13例8已知函数f(x)=a+bx2,x≤0，sinbxx,x>0在x=0处连续，则常数a和b满足()A.a>bB.aa=bD.a与b为任意实数十二、求函数的间断点及其类型例1x=0是函数f(x)=xsin1x的()A.可去间断点B.跳跃间断点
C.振荡间断点D.无穷间断点例2x=0是函数f(x)=21x-1的()A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点例
3设f(x)=1x-1x+11x-1-1x，则f(x)的可去间断点的个数为()A.3B.2C.1D.0例4设f(x)=xsi
n1x,x≠0,0,x=0,则x=0是()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点例5设函数f(x)=sinxx-x
2，x≠0,0,x=0,则f(x)的间断点为()A.x=0B.x=1C.x=0和x=1D.不存在例6设函数f(x)在［-1，
1］上连续，则x=0是函数g(x)=∫x0f(t)dtx的()A.连续点B.第二类间断点C.可去间断点D.跳跃间断点例7设函
数f(x)=e1x-1，x<1,lnx，x≥1,则x=1是f(x)的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点例8函
数f(x)=e1x,x>0,ln(x+1),-19设f(x)=x1+e1x2,x≠0,0,x=0则x=0是()A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点例10对于函
数y=x2-4x(x-2),下列结论中正确的是()A.x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点B.x=0是第二类间断点，x=2是
第一类间断点C.x=0是第一类间断点，x=2是第一类间断点D.x=0是第二类间断点，x=2是第二类间断点例11设函数f(x)=1e
xx-1-1,则()A.x=0,x=1都是第一类间断点B.x=0,x=1都是第二类间断点C.x=0是第一类间断点，x=1是第二类间
断点D.x=0是第二类间断点，x=1是第一类间断点例12函数f(x)=1e-e1x的第二类间断点的个数()A.0B.1C.2
D.3例13函数f(x)=x2-2x|x|(x2-4)的第一类间断点的个数()A.0B.1C.2D.3十三、闭区间上连续函
数的性质例1设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒等于常数，则函数f(x)在（a,b）内()A.必
有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0例2下列方程在(0,1)内
至少有一个实根的为()A.arctanx+x2+1=0B.x3-4x2+1=0C.x5-3x=1D.sinx+x+1=0例3下
列区间中，使方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.12,1D.0,12例4已知函数f(
x)在［0,+∞）上可导，且f′(x)<0，f(0)>0，则方程f(x)=0在（0，+∞）上()A.有唯一实根B.至少存在一个实
根C.不能确定根D.没有根例5设a2-3b<0，则方程x3+ax2+bx+c=0的实根个数()A.1B.2C.3D.无法确实
根的个数例6设函数f(x)在区间［0，1］上可导，f′(x)>0，且f(0)<0,f(1)>0，则f(x)在［0,1］内()A.至
少有两个零点B.有且仅有一个零点C.没有零点D.零点的个数不能确定例7设函数f(x)在闭区间［0，2］上连续，且f(2)=0，
f(1)=2,求证：存在ξ∈(1,2)，使得f(ξ)=ξ.提示：令g(x)=x-f(x)，∵f(x)在［0,2］上连续，所以g(x
）在［0,2］上也连续，进而在［1,2］上也连续，又g(1)=1-f(1)<0，g(2)=2-f(2)>0，由零点定理，ξ∈(1
,2)（0,2），使f(ξ)=ξ.例8设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，且0≤f(x)≤1.证明：存在ξ∈［0,1］，使
f(ξ)=ξ.第二章一元函数微分学及其应用一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数例1已知f(0)=0，f′(0)=1，则li
mx→0f(x)x=()A.2B.1C.0D.+∞例2设f(x)在x=1处可导，且f′(1)=1,则limx→1f(x)-
f(1)x2-1=.例3设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=()A.-2f
′(0)B.-f′(0)C.f′(0)D.0例4设函数f(x)在x=2处可导，且f′(2)=1，则limh→0f(2+h)-
f(2-h)2h=()A.-1B.1C.-2D.2例5设f(x)=(x-a)g(x)，g(x)连续但不可导，且在x=a处有界
，则f′(a)=()A.不存在B.0C.1D.g(a)例6设f(x)为可导的奇函数，且f′(x0)=6，则f′(-x0)=.
例7设f(x)=x(x-1)(x-2)…（x-100），求f′(0),f′(50)和f′(100).例8设φ(x)在x=a处连续，
f(x)=（x2-a2）φ(x),求f′(a).例9设f(x)在x=0处可导，且f(x)=f(0)-3x+α(x)，limx→0α
(x)x=0,求f′(0).例10设f(x)在x=0处可导，且limx→0f(x)+1x+sinx=2,求f′(0).例11设函数
f(x)满足下列条件：(1)f(x+y)=f(x)f(y)对x,y∈R都成立;（2）f(x)=1+xg(x)，而limx→0g(
x)=1.试证明f(x)在R上处处可导，且f′(x)=f(x).二、利用导数的几何意义求切线或法线方程例1已知椭圆的参数方程为x=
acost，y=bsint，（a>0，b>0），则椭圆在t=π4对应点处的切线斜率为()A.baB.abC.-baD.-ab
例2直线l与x轴平行且与曲线y=x-ex相切，则切点坐标为()A.（1，1）B.（-1，1）C.（0，-1）D.（0，1）例
3已知函数f(x)为可导偶函数，且limx→0f(1+x)-f(1)2sinx=-2,则曲线y=f(x)在（-1，2）处的切线方程
为()A.y=4x+6B.y=-4x-2C.y=x+3D.y=-x+1例4曲线y=∫x0（t-1）(t-2)dt在点（0,0
）处的切线方程为.例5设函数y=f(x)在点x处可导且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程
为.例6某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且通过点（e2,3），则曲线方程为.例7求曲线tanx+y+π4=ey在点
(0,0)处的切线方程与法线方程.例8证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数.例9已知f(x)是
周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α（x）是当x→
0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=0处可导，求曲线y=f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程.三、可导与连续的关系以及函数
在一点可导性的判定例1函数y=f(x)在点x0处可导是它在x0处连续的()A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.以上都不对
例2设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在x0点()A.可导B.连续C.不可导D.不一定连续例3设f(x)在x0点不
连续，则()A.f′(x0)必存在B.f′(x0)必不存在C.limx→x0f(x)必不存在D.limx→x0f(x)必存在例
4已知函数f(x)=ln（1+x），-1.连续但不可导D.可导例5下列函数在点x=0处可导的是()A.3xB.e-xC.|x|D.e3x2ln（1+x）例6下列函
数在点x=0处可导的是()A.y=|x|B.y=x2sin1x,x≠00,x=0C.y=2xD.y=x,x≤0x2,x>0例7设f
(x）=acosx+bsinx,x<0，ex-1，x≥0在点x=0处可导，则a和b的值分别为()A.a=0,b=0B.a=1,b
=0C.a=1,b=1D.a=0,b=1例8若f(x)=eax,x≤0，1+sin2x,x>0在点x=0处可导，则a=.例9函
数y=|x|+1在点x=0处()A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导例10函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|
的不可导点个数为()A.3B.2C.1D.0例11函数f(x)=e|x-a|在x=a处()A.不连续B.连续但不可导C.可
导但导函数不连续D.导函数连续例12若f(x)在点x0处可导，则|f(x)|在点x0处()A.必可导B.连续但不一定可导C.一
定不可导D.不连续例13设函数f(x)=|x2-1|φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ（1）=0是f(x)在x=1处可导
的()A.充分必要条件B.必要条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件四、求导法则及复合函数的导数与微分例1设f(x)=sin
x,则f′(x)=.例2设函数y=11+cosx，则y′=.例3设函数f(x)=(x+1)1x-1，则f′(x)=.例4若f(x-
1)=x2-1,则f′(x)=()A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-2例5已知ddxf1x2=1x，f′12=
()A.22B.-22C.-1D.1例6设f′(lnx)=x,则ddxf(sinx)=()A.esinxcosxB.eco
sxsinxC.esinxD.ecosx例7某企业每月生产Q（单位：t）产品时，总成本C是产量Q的函数,即C(Q)=Q2-
10Q+20,则每月生产产品8t时的边际成本是()A.4B.6C.10D.20例8设y=lncos(ex),求dydx.例
9设y=e(arctanx)2，求y′.例10若y=sine-x，则有()A.dy=cose-xdxB.dy=e-xsine-x
dxC.dy=-e-xcose-xdxD.dy=e-xcose-xdx例11设y=f(sec2x)，求dy.五、函数的高阶导数例
1设函数f(x)=e2x-1，则函数f(x)在x=0处的二阶导数f″(0)等于()A.0B.e-1C.4e-1D.e例2设函
数y=xlnx，则y10=()A.-1x9B.1x9C.8！x9D.-8!x9例3设函数f(x)=sinx,则f(2013)
（x）=()A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx例4设f(2013)（x)=x2+lnx，则f(2015)
(x)=()A.2-1x2B.2+1x3C.1x2D.-1x2例5设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f′(x)=ef(
x),f(2)=1，则f(2)=.例6设f(x)=x3-cosx+lnx，n>3，则f(n)(x)=.例7设f(x)=x(x+1
)(2x-1)（3x+1）（4x-1），求f(5)(0)，f(6)(x).例8设f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x)
.例9设函数y=13x+5,则y(n)(0)=.六、参数方程或隐函数方程的导数例1设x=ln(1+t2),y=arctant,则d
ydx=()A.12tB.2tC.1D.t例2设x=t-1t,y=12t2+lnt,则d2ydx2=()A.tB.t+1t
C.1t2+1D.t2t2+1例3已知x=sint+1，y=∫t0cosudu，则d2ydx2=.例4设y=xey+1，则dy
dx=()A.ey2+yB.eyy-2C.eyxey+1D.ey1-xey例5y=y(x)是由方程arctanyx=lnx2+y
2确定的隐函数，则dydx=()A.y-xy+xB.y+xy-xC.x-yx+yD.x+yx-y例6设y是由方程∫y0etdt+∫
xπ2sintdt=0所确定的x的函数,则dydx=()A.sinxeyB.-sinxeyC.cosxeyD.-cosxey例7已
知ex-x3ey=cos(xy),且y=f(x),求y′.七、幂指函数的导数求法例1设y=xxlnx-x,求dydx.例2设y=x
sinx,求dydx.例3求函数y=x-1x+2·（3-x）4·3xln(1+x)的导数.八、关于中值定理条件的验证例1下列函数在
闭区间［-1,1］上满足罗尔定理条件的是()A.y=|x|B.y=x3C.y=x2D.y=1x例2下列函数在指定区间上满足罗
尔定理条件的是()A.f(x)=1x,x∈［-2,0］B.f(x)=(x-4)2,x∈［-2,4］C.f(x)=sinx,x∈
-3π2,π2D.f(x)=|x|，x∈［-1,1］例3下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的是()A.y=|x-1|,［0,
2］B.y=13（x-2）2，［0,2］C.y=x3-3x+2,［1,2］D.y=xarcsinx,［0,1］例4下列函数在［
1，e］上满足拉格朗日中值定理条件的是()A.ln［lnx］B.lnxC.1lnxD.ln(2-x)例5函数y=sinx在闭
区间［0，2π］上符合罗尔定理条件的ξ=()A.0B.π2C.πD.2π例6若函数y=x3在闭区间［0，1］上满足拉格朗日中
值定理的条件，则ξ＝()A.33B.-33C.±33D.±3例7设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内
可导，则()A.至少存在一点ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0B.当ξ∈(a,b)时,必有f′（ξ）=0C.至少存在一点ξ∈(a,b
)，使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立D.当ξ∈(a,b)时，必有f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a例8函数f(x)在
开区间（a,b）上可导，且a<ξ1<ξ的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根，并指明其所在的区间.例10设f(x)=(x2-9)(x2-16)，则f′(x)=0的实根
个数是()A.1B.2C.3D.4九、利用拉格朗日中值定理证明不等式例1证明：当x>0时，11+x证明不等式x1+x20).例3证明不等式nan-1(b-a)b,n>1).例4证明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|.十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式例1证明下列恒等式:
（1）sin2x+cos2x=1；(2)1+tan2x=sec2x；(3)1+cot2x=csc2x.例2证明:当x≥1时，arc
tanx+12arccos2x1+x2=π4.例3设f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f′(x)=f(x)，且f(0)=1，则f
(x)=ex.例4证明：对于任意的实数a,有∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx,其中T为连续周期函数f(x)的周期.十一、
关于中值命题的证明例1设函数f(x)，g(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f(b)-f(a)=g(b)-g(a)，试
证明，在(a,b)内至少有一点c,使f′(c)=g′(c).例2设函数F(x)=∫x1sinx·f(t)dt，其中f(t)在［1,
π］上连续，求F′（x）,并证明在（1，π)内至少存在一点ε,使得cosε·∫ε1f(x)dx+sinε·f(ε)=0.例3设函数
f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(ξ
).例4设函数f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,又F(x)=x2f(x),证明:至少存在一点ξ∈(0,1
),使得F″(ξ)=0.例5设a(c)=g(c),f(b)=g(b),则在（a,b）内至少有一点ξ，使f″（ξ）=g″(ξ).十二、利用洛必达法则求极限例1极限l
imx→0∫x0tan2tdtx3等于()A.+∞B.16C.0D.13例2limx→0∫x0ln(1+t3)tdtx-sinx=
.例3求极限limx→0∫x0et2sintdtln(1+x2).例4limx→∞ln1+x2+xx=.例5求极限limx→+∞x
+x-x-x.例6求极限limx→∞xsin5x-15sin5x.例7求极限limx→0ax+bx+cx31x（a>0,b>0,c
>0）.例8下列极限问题，不能使用洛必达法则的是()A.limx→0x2sin1xsinxB.limx→+∞xπ2-arctanx
C.limx→∞1+kxxD.limx→∞x-sinxxsinx例9设F(x)=x2x-a∫xaf(t)dt，其中f(x)为连续
函数，则limx→aF（x）=()A.a2B.a2f(a)C.0D.不存在例10求极限limx→0+1xtanx.例11若l
imx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，则()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=2
,b=1十三、单调性的判定与单调区间的求法例1函数f(x)=x-ex+1在（0，+∞）内()A.是单调增加函数B.是单调减少函数
C.有极大值D.有极小值例2函数f(x)=xlnx的单调增加区间是.例3设函数f(x)在［a,b］上连续，且单调增加，求证：F(
x)=1x-a∫xaf(t)dt在［a,b］上单调增加.例4设在［0,1］上f″(x)>0，则f′(0)，f′(1)，f(1)-f
(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为()A.f′(1)>f′(0)>f(1)-f（0）B.f′(1)>f(1)-f(0)>
f′(0)C.f(1)-f(0)>f′(1)>f′(0)D.f′(1)>f(0)-f(1)>f′(0)例5函数F(x)=∫x0dt
1+t2在(-∞,+∞)范围内()A.单调增加B.有无数多条铅直渐近线C.图像是凹的D.没有拐点十四、利用单调性证明不等式，以
及数值不等式的证法例1证明:当x>0时，ln（x+1+x2）>x1+x2.例2证明：当0x)ln（1+x）.例3证明：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.例4证明:当x>0时，1x>arctanx-π2.例5
证明：当x>0时，有(1+x)ln(1+x)>arctanx.例6证明：当02（b-a）a+b.例7求证:当
0asina+2cosa+πa.例8设f(x),g(x)都是可导函数,且|f′(x)
|a时，f(x)-f(a))在［0，+∞)上可导，且f′(x)<0,f(0)>0,则方程f(x)=0在（0,+∞）上()A.有唯一根B.至少存在一个根C.
不能确定有根D.没有根例2设函数f(x)在区间［0,1］上可导，f′(x)>0，且f(0)<0，f(1)>0,则f(x)在［0，
1］内()A.至少有两个零点B.有且仅有一个零点C.没有零点D.零点的个数不能确定例3证明：方程ex-32-∫x0dt1+t
2=0在开区间（0，1）内有唯一的实根.例4设f(x)在区间［0,1］上连续，且f(x)<1,证明：方程2x-∫x0f(t)dt=
1在区间（0,1）内有且仅有一个实根.十六、关于函数的极值问题例1下列结论中正确的是()A.若x0是f(x)的驻点，则一定是f(x
)的极值点B.若x0是f(x)的极值点，则一定是f(x)的驻点C.若f(x)在x0处可导，则一定在x0处连续D.若f(x)在x0处
连续，则一定在x0处可导例2函数f(x)=xe-x2的极大值点为()A.x=22B.x=-22C.22，22e-12D.-2
2，22e-12例3函数f(x)=∫x0（1+t）arctantdt的极小值为.例4函数y=x3-3x2+1的单调增加区间是，单调
减少区间是，极小值点是，极大值点是.例5设一个函数的导数为x2-2x-8，则该函数的极大值与极小值之差是()A.-36B.12
C.36D.-1713例6设f(x)=xsinx+cosx，则正确的是()A.f(0)是极大值，fπ2是极小值B.f(0)是极
小值，fπ2是极大值C.f(0)是极大值，fπ2是极大值D.f(0)是极小值，fπ2是极小值例7设f(x)的导数在x=2处连续，
又limx→2f′(x)x-2=-1,则()A.x=2是f(x)的极小值点B.x=2是f(x)的极大值点C.（2,f(2)）是曲线
y=f(x)的拐点D.x=2不是f(x)的极值点，(2,f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点例8设f(x)的导数在x=a处连续，
且limx→af′(x)x-a=1，则()A.x=a是f(x)的极小值点B.x=a是f(x)的极大值点C.（a,f(a)）是曲线
f(x)的拐点D.x=a不是f(x)的极值点例9若f(1)=0，limx→1f(x)(x-1)2=5,则f(x)在x=1处()A
.导数不存在B.不连续C.取得极大值D.取得极小值例10求f(x)=(x-1)eπ2+arctanx的单调区间和极值.例11
利用第二充分条件求函数f(x)=x3-3x2-9x-5的极值.十七、函数的最值问题例1设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a
)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则函数f(x)在（a,b）内()A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值
又有极小值D.至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0例2设函数f(x)=13x3-x，则x=1为f(x)在［-2，2］上的()A.极小
值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点例3函数y=x+1-x在［
-5，1］上的最大值为()A.6-5B.54C.6+5D.45例4函数f(x)=x+9x(x>0)的最小值为.例5函数y=x
·2x的最小值点为.例6函数f(x)=x4-2x2在区间［0,2］上的最小值为.例7函数y=∫x02t-1t2-t+1dt在［0，
1］上的最小值是.例8在斜边长为L的直角三角形中,求最大周长的直角三角形.例9一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金每套定为20
00元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费,试问租
金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?例10某厂生产某种产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的
需求函数为Q=1000-100P.问产量为多少时可使利润最大,最大利润是多少?例11已知生产某零件Q单位时，总收入的变化率为R′(
Q)=100-Q10.求:（1）求生产Q单位时的总收入R(Q);（2）如果已经生产了200个单位，求再生产200个单位时的总收入R
(单位：万元).十八、曲线凹凸性的判定例1函数y=e-x在区间（-∞,+∞）内()单调递增且图像是凹的曲线B.单调递增且图像是凸
的曲线C.单调递减且图像是凹的曲线D.单调递减且图像是凸的曲线例2曲线y=xe-x+3x+1的凹区间为()A.（-∞，2）B.
（2，+∞）C.（-∞，-2）D.（-2，2）例3y=xarctanx的图形()A.在（-∞，+∞）内是凹的B.在（-∞，+∞
）内是凸的C.在（-∞，0）内是凸的，在（0,+∞）内是凹的D.在（-∞，0）内是凹的，在（0，+∞）内是凸的例4下列曲线在其定义
域内为凹的是()A.y=e-xB.y=ln(1+x2)C.y=arctanxD.y=sin(x2+2)例5设f(x)在（a,b
）内二阶可导，且f′(x)>0,f″(x)<0，则f(x)在（a,b）内()A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少
且是凸的D.单调减少且是凹的例6在闭区间［-1，1］上有f′(x)=(x-1)2，则曲线f(x)在闭区间［-1，1］内是()A.
单调减少且凹的B.单调减少且凸的C.单调增加且凸的D.单调增加且凹的例7下列函数对应的曲线在区间（0，+∞）内是凸函数的为()
A.y=x3B.y=ln(1+x2)C.y=cos2xD.y=lnx十九、曲线的拐点求法例1曲线y=(x-2)53的拐点是(
)A.（0,2）B.(2,0)C.(1,0)D.(2,1)例2曲线y=x3-3x2的拐点为()A.（1，-2）B.（1，2
）C.（0，0）D.（2，-4）例3设函数y=f(x)在区间（a,b）内有二阶导数，则()成立时，点（c,f(c)）(ab)是曲线y=f(x)的拐点.A.f″(c)=0B.f″(x)在（a,b）内单调增加C.f″(x)在（a,b）内单调减少D.f″(
c)=0且f″(x)在（a,b）内单调增加例4曲线y=x+2xx2-1的拐点坐标为.例5设f(x)=x3-3x2+2,则曲线y=f
(x)的拐点是.例6已知f(x）=∫x0e-12t2dt（-∞y=x3+ax2+b的拐点，则a=,b=.例8点（1,2）是曲线y=ax3+bx2的拐点，则()A.a=-1,b=3B.a=0,
b=1C.a为任意实数，b=3D.a=-1,b为任意实数例9若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1,0)，则a=,b=.
例10曲线y=e-x2的拐点是.例11设f′(x0)=f″(x0)=0,f(x0)>0，则下列正确的是()A.f′(x0)是f′
(x)的极大值B.f(x0)是f(x)的极大值C.f(x0)是f(x)的极小值D.（x0，f(x0)）是曲线f(x)的拐点例12设
函数f(x)有连续的二阶导数，且f′(0)=0,limx→0f″(x)x=2，则()A.f(0)是函数的极大值B.f(0)是函数
的极小值C.(0,f(0))是曲线f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值例13f″(x0)=0是曲线f(x)的图形在x=x
0处有拐点的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件二十、曲线的渐近线求法例1下列曲线
有水平渐近线的是()A.y=x2-3x+4xB.y=e1xC.y=ex1+xD.y=ln(1+x2)例2曲线y=x2+1x-1
()A.有水平渐近线，无垂直渐近线B.无水平渐近线，有垂直渐近线C.无水平渐近线，也无垂直渐近线D.有水平渐近线，也有垂直渐近
线例3曲线f(x)=2xsin13x()A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线又有垂直渐近线D.没有渐
近线例4曲线y=ln(1+x)x()A.有水平渐近线，无垂直渐近线B.有水平渐近线，也有垂直渐近线C.无水平渐近线，有垂直渐近线
D.无水平渐近线，也无垂直渐近线例5直线x=1是曲线f(x)=x2-1x-1e1x-1的()A.一条水平渐近线B.一条垂直渐近
线C.一条对称轴D.一条斜渐近线例6函数y=3x-1x(x-1)的垂直、水平渐近线有()A.1条B.2条C.3条D.0条例
7曲线y=1+e-x21-e-x2()A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有垂直渐近线D.既有水平渐近线也有垂直渐近线例8曲
线y=x+4sinx5x-2cosx的水平渐近线为.例9曲线y=xπ2+arctanx的水平渐近线为.例10求函数y=x3+4x2
的单调区间与极值,凹凸区间与拐点，及其渐近线.第三章一元函数积分学及其应用一、原函数与不定积分的概念及性质例1设f(x)为可导函数
，则［∫f(x)dx］′=()A.f(x)B.f(x)+CC.f′(x)D.f′(x)+C例2下列等式中正确的是()A.∫f
′(x)dx=f(x)B.d∫df(x)=f(x)+CC.ddx∫f(x)dx=f(x)D.d∫f(x)dx=f(x)例3下列
各式中，正确的是()A.d［∫f′(x)dx］′=f′(x)B.ddx［∫xaf(t)dt］=f′(x)C.ddx［∫axf(t
)dt］=f(x)D.ddx［∫xaf(t)dt］=f(x)例4若∫df(x)=∫dg(x)，则下列各列中，不成立的是()A.f
′(x)=g′(x)B.d∫f′(x)dx=d∫g′(x)dxC.df（x）=dg(x)D.f(x)=g(x)例5下列等式不成
立的是()A.［∫f(x)dx］′=f(x)B.d［∫f(x)dx］=f(x)dxC.∫f′(x)dx=f(x)D.∫df(x
)=f(x)+C例6若F′(x)=G′(x)，k为常数，则()A.G（x）+F(x)=kB.G(x)-F(x)=kC.G(x)-
F(x)=0D.∫F(x)dx′=∫G(x)dx′例7若F′(x)=f(x),G′(x)=f(x)，则∫f(x)dx=()A.F
(x)B.G(x)C.G(x)+CD.F(x)+G(x)+C例8函数F(x)与G(x)都是区间（c,d）内函数f(x)的原函数
，则()A.F（x）=G(x),x∈（c,d）B.d［F(x)］=d［G(x)］+CC.∫f(x)dx=F(x)D.F(b)-F
(a)=G(b)-G(a),a,b∈(c,d)例9设F(x)是f(x)的一个原函数,则下列函数正确的是()A.∫F(x)dx=f(
x)+CB.∫f(x)dx=F(x)+CC.∫f′(x)dx=f(x)D.d［∫f(x)dx］=f(x)+C例10若函数f(x)的
导函数是sinx，则函数f(x)有一个原函数是()A.1+sinxB.1-sinxC.1+cosxD.1-cosx例11设f
(x)有一个原函数sinxx，则∫f′(x)dx=()A.sinxx+CB.cosx+CC.xcosx-sinxx2+CD.
xcosx+sinxx2+C例12若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e-xf(e-x)dx=()A.e-x+F(e-x)+CB
.F(e-x)+CC.e-x-F(e-x)+CD.-F(e-x)+C例13设函数f(x)的一个原函数是sin(2x+1)，则f′
(x)=()A.2cos(2x+1)B.-2cos(2x+1)C.4sin(2x+1)D.-4sin(2x+1)例14若f(x
)的一个原函数为ln2x，则f′(x)=()A.2xln2xB.ln2xC.1xD.-1x2例15设f(x)的一个原函数为s
inx，求∫xf′(x)dx.例16设函数f(x)的一个原函数为e-x，则∫f(lnx)xdx=()A.lnlnx+CB.x+C
C.12(lnx)2+CD.1x+C例17设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-xf(e-x)dx=()A.F(e-x)+C
B.-F(e-x)+CC.F(ex)+CD.-F(ex)+C例18设f(x)的一个原函数是2sinxx,则∫xf′(x)dx=
()A.cosx-2sinxx+CB.xf(x)-2sinxx+CC.-cosx+CD.x［f（x）-1］+C例19设函数f(
x)的一个原函数是xlnx-x,则∫e2xf′(ex)dx=()A.e-x+CB.ex+CC.12e2x+CD.2e2x+C
例20∫f(x)e-1xdx=e-1x+C,则f(x)=()A.-1xB.1xC.1x2D.-1x2例21设∫xf(x)dx
=ln(1+x2)+C,则∫1f(x)dx=.二、不定积分的直接积分法例1∫1+3x2x2(1+x2)dx=.例2∫1sin2xc
os2xdx=.例3∫11+cos2xdx=.例4∫ex2e-x+x2xdx=.例5设a=ln2，则∫(2x+a3)dx=()A.
2xa3x+ln2B.2xln2+a44+CC.2xln2+（ln2）3x+CD.2x+1x+1+（ln2）3+C三、不定积
分的第一类换元积分法（凑微分法）例1∫f′(3x)dx=()A.f(3x)+CB.13f(3x)+CC.3f(x)+CD.13
f(x)+C例2若∫f′(x3)dx=x3+C,则f(x)=()A.x+CB.x3+CC.95x53+CD.65x53+C例
3设函数f(x)连续且不等于零，若∫xf(x)dx=arcsinx+C,则∫dxf(x)=()A.23（1-x2）32+CB.
13（1-x2）23+CC.-23(1-x2)32+CD.-13(1-x2)32+C例4不定积分∫sin2xdx=()A.12s
inx+CB.sin2x+CC.-2cos2x+CD.12cos2x+C例5∫f(x)f′(x)dx=()A.lnf(x)+C
B.f(x)f′(x)+CC.12［f′(x)］2+CD.12［f(x)］2+C例6若函数∫f(x)dx=x3+C，则∫xf
(1+x2)dx=()A.12(1+x2)3+CB.-12(1+x2)3+CC.2(1+x2)3+CD.-2(1+x2)3+C
例7∫f′xa+bdx=()A.afxa+b+CB.1afxa+b+CC.fxa+b+CD.abxa+b例8若函数f′(lnx
)=1+lnx，则f(t)=()A.t+t22+CB.1+lnt+CC.tlnt+CD.t+1t+C例9若f′(x2)=1
x（x>0）,则f(x)=()A.2x+CB.lnx+CC.2x+CD.1x+C例10若∫f(x)dx=sinx+C,则∫x
f(1-x2)dx=.例11已知f′(x)=f(x)，则∫xf′(x2)dx=.例12∫f(x)dx=x+C,则∫f(2-3x)d
x=()A.2-3x+CB.-13x+CC.x+CD.12(2-3x)2+C例13∫1xf′(x)dx=()A.f(x)B.
2f(x)+CC.2f(x)D.12f(x)+C例14设函数f(x)为可导函数，且f′(2x-1)=ex，则f(x)=()A.1
2e2x-1+CB.2e12(x+1)+CC.12e2x+1+CD.2e12(x-1)+C例15∫x2+arctanx1+x2
dx=.例16不定积分∫sinxcos3x1+cos2xdx=.例17求不定积分∫arcsinx1-xdx.例18求不定积分∫ar
ctanxx2(1+x2)dx.例19求不定积分∫dxx（4-ln2x）.例20设∫sinxf(x)dx=arctan(cosx)
，求∫f(x)dx.四、不定积分的第二类换元积分法例1为将不定积分∫1-x2dx被积函数中的根号去掉，可作变换()A.x=sint
B.x=tantC.x2=tD.1-x2=t例2已知不定积分∫x2-1dx,为将被积函数中的根号去掉，可作变换()A.x=sinx
B.x=costC.x=sectD.x2=t例3求不定积分∫dxx2x2+1.例4求不定积分∫1x(1-x)dx.例5求不定积分∫
x2-9x2dx.例6求不定积分∫1x2-2x+5dx.例7求不定积分∫dxx6(1+x2).五、不定积分的分部积分法例1∫［f(
x)+xf′(x)］dx=.例2求不定积分∫xln(x+1+x2)1+x2dx.例3求不定积分∫xex(ex+2)2dx.例4求不
定积分∫xexex-2dx.例5求不定积分∫arctanexexdx.例6求不定积分∫1sin2xcosxdx.例7求不定积分∫c
osx+xsinx(x+cosx)2dx.例8求不定积分∫x2sin3xdx.六、有理分式的不定积分例1求不定积分∫x+5x2-6
x+13dx.例2求不定积分∫x2-5x+9x2-5x+6dx.例3求不定积分∫x7x4-1dx.七、定积分的概念与性质例1设f(
x)在［a,b］上连续，则∫baf(x)dx是()A.f(x)的一个原函数B.f(x)的全体原函数C.确定的常数D.任意常数例2函
数f(x)在［a,b］上连续是函数f(x)在该区间上可积的()A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分又非
必要条件例3若函数在［a,b］上连续，则∫baf(x)dx()A.不一定存在B.一定不存在C.必定存在D.以上都不对例4初等函数y
=f(x)在定义域［a,b］上一定()A.可导B.可微C.可积D.单调函数例5导数ddx∫baarcsintdt=()A.arcs
inxB.0C.arcsinb-arcsinaD.11-x2例6设I1=∫21lnxdx，I2=∫21(lnx)2dx,I3=∫4
3(lnx)2dx,则()A.I1=I3B.I1>I2C.I2=I4D.I3≥I4例7设I=∫π40lnsinxdx,J=∫π40
lncotxdt,K=∫π40lncosxdx，则正确的是()A.I(x)与g(x)在［0,1］上连续，且f(x)≤g(x)，则对任意的c∈(0,1)，正确的是()A.∫c12f(t)dt≥∫c12
g(t)dtB.∫c12f(t)dt≤∫c12g(t)dtC.∫1cf（t）dt≥∫1cg(t)dtD.∫1cf(t)dt≤∫1c
g(t)dt例9若函数f(x)在闭区间［a,b］上有定义，且在开区间（a,b）内f′(x)<0，则∫baf(x)dx()A.大于f
(b)(b-a)B.小于f(b)(b-a)C.等于f(b)(b-a)D.以上都不正确例10以下定积分值为负数的是()A.∫π20s
inxdxB.∫π20cosxdxC.∫ππ2sinxdxD.∫ππ2cosxdx例11设函数f(x)和g(x)在闭区间［a，b］
上连续()A.若∫baf(x)dx=0,则在［a,b］上f(x)≡0B.若∫baf(x)dx=∫bag(x)dx,则在［a,b］上
f(x)≡g(x)C.若ax)dx≤∫baf(x)dx例12设I=t∫st0f(tx)dx,其中f(x)连续，t>0,s>0，则I的值()A.依赖于s,tB
.依赖于s,t,xC.依赖于t,x，不依赖于sD.依赖于s,不依赖于t例13函数f(x)=x2在［1，3］上的平均值为()A.26
3B.26C.13D.133例14∫101-x2dx+∫π-πsinxdx=.八、积分上限函数的导数例1变上限积分∫xaf(t)d
t是()A.函数f(x)的一个原函数B.函数f(x)的全体原函数C.导函数f′(x)的一个原函数D.导函数f′(x)的全体原函数例
2ddx∫1x2sintdt=.例3设F(x)=∫1-x2e-t2dt，则F(x)的微分等于()A.-2xe-x2dxB.2xe-
x4dxC.e-x2dxD.2xex4dx例4设函数F(x)=∫xasinxf(t)dt,则F′(x)=.例5ddx∫x0tf(x
2-t2)dt=.例6若∫x3-10f(t)dt=x,则f(7)=.例7设y是由方程∫y0etdt+∫xπ2sintdt=0所确定
的x的函数,则dydx=()A.sinx1-cosxB.-sinx1+cosxC.cosxeyD.-cosxey例8已知f′(x)
连续且f(0)=0,设φ(x)=∫x0tf(t)dtx2,x≠0,0,x=0,则φ′(0)=()A.f′(0)B.13f′(0)C
.1D.13例9设函数f(x)在（-∞，+∞）内是奇函数且可导，则下列函数是奇函数的为()A.sinf′(x)B.∫x0sint·
f(t)dtC.∫x0f(sint)dtD.∫x0［sint+f(t)］dt例10设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，则函数F
(x)=∫x0tf(cost)dt在闭区间-π2,π2上是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.非负函数例11limx→0∫
x20t32dt∫x0t(t-sint)dt=.例12设f(x)=∫1-cosx0sint2dt,g（x）=x55+x66，则当x
→0时，f(x)是g(x)的()A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但不等价无穷小例13函数f(x)=∫x0e-12
t2dt在0dt在点(0,0)处的切线方程为.例15设连续函数f(x)满足limx→0f(x)x=2,令F(x)=∫10f(xt)dt，求F′
(0).九、定积分的常规计算例1∫π20cos3xsinxdx=()A.13B.-13C.-14D.14例2若∫a0x(2-3x)
dx=2，则a=()A.1B.-1C.0D.12例3下列定积分结果正确的是()A.∫baf′(x)dx=f(x)+CB.∫baf
′(x)dx=f(a)+f(b)C.∫baf′(2x)dx=12［f(2b)-f(2a)］D.∫baf′(2x)dx=f(2b)-
f(2a)例4若f(x-5)=4x2-10x，则积分∫40f(2x+1)dx=()A.0B.π4C.是发散的反常（广义）积分D.是
收敛的反常（广义）积分例5设f(x)为［-a,a］上的连续函数，则定积分∫a-af(-x)dx=()A.0B.2∫a0f(x)dx
C.-∫a-af(x)dxD.∫a-af(x)dx例6已知∫+∞0sinxxdx=π2，则∫+∞0sinxcosxxdx=()A.
0B.π4C.π2D.π例7∫211x3e1xdx=.例8求定积分∫21x2-1xdx.例9求定积分∫3401x2+1dx.例10
已知f(0)=2,f（5）=4，f′(5)=3，则∫50xf″(x)dx=.例11设函数f(x)=e-x,则∫f′(lnx)xdx
=.例12求定积分∫30arctanxdx.例13求定积分∫π0xsinxdx.例14求定积分∫e1(lnx)3dx.例15设φ″
(x)在［a,b］上连续，且φ′(b)=a,φ′(a)=b,则∫baφ′(x)φ″(x)dx=()A.a-bB.12(a-b)C.
12(a2+b2)D.12(a2-b2)例16下列换元积分法不成立的是()A.∫10x4(2-x2)32dxx=2sint2∫π4
0sin4tcos2tdtB.∫10dx(2-x)1-xx=1-t2∫102dt1+t2C.∫1-1x2-11+x4dx∫1-11
-1x2x2+1x2dxt=x+1x∫2-2dtt2-2D.∫π20sinxcosx1+sin2xdxt=sinx∫10t1+t2
dt例17∫30|x-1|dx=()A.0B.1C.52D.2例18求定积分∫π0xsinx-π2dx.例19设f(x)=xex2
,-12≤x≤12,1，x≥12,求∫212f(x-1)dx.十、使用定积分的性质和一些重要结果计算定积分1.利用奇偶性计算定积分
例1定积分∫π2-π2sinx1+x2cos4xdx=()A.πB.-πC.0D.2π例2下列等式不成立的是()A.∫1-1ln1
+x2-xdx=0B.∫1-1sinx+π2dx=0C.∫1-1（3x-3-x）dx=0D.∫１-1arctanxdx=0例3∫π
-π|sinx|dx=()A.0B.2C.-4D.4例4∫1-1x|sinx|·ex2dx=.例5定积分∫1-1(x2sinx+1
-x2)dx=.例6定积分∫π2-π2(3x2sinx+sin2xcosx)dx的值等于.例7∫a-ax4(ex-1)ex+1dx
=.例8∫1-1x6arcsinxdx=.例9∫1-1（3arctanx+x4+2）dx=.例10∫a-aarcsinx［f(x)
+f(-x)］dx=.例11∫a-asinx2［f(x)-f(-x)］dx=.2.利用周期性计算定积分例12求定积分∫π01-co
s2xdx.例13计算积分∫100π01-cos2xdx.例14计算积分∫nπ01-cos2xdx.例15设F(x)=∫x+2πx
ecostsintdt,则F(x)()A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数3.积分等式的证明例16若f(x)在［a,b］
上连续，则∫a-af(x)dx=∫a0［f(x)+f(-x)］dx.例17∫π20f(sinx)dx=∫π20f(cosx)dx.
例18∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx.例19∫π0xf(sinx)dx=π∫π20f(sinx)dx.例
20∫π0f(sinx)=2∫π20f(sinx)dx.4.利用一些重要结果计算定积分例21计算∫π4-π4sin2x1+exdx
.例22计算∫π4-π4cosx1+e-xdx.例23计算∫π4-π411+sinxdx.例24计算∫π0xsinx1+cos2x
dx.十一、广义积分的计算与敛散性的判定例1广义积分∫+∞11xx-1dx=()A.0B.π2C.π3D.π例2设函数f(x)=0
,x<0，λe-λx,x≥0（λ>0），则∫+∞-∞f(x)dx()A.等于1B.等于2C.等于-1D.发散例3若广义积分∫+∞0
k1+x2dx=1，其中k为常数,则k=.例4下列广义积分收敛的是()A.∫+∞1exdxB.∫+∞11xdxC.∫+∞114+x
2dxD.∫+∞1cosxdx例5下列结论中错误的是()A.∫+∞0x1+x2dx发散B.∫+∞0dx1+x2收敛C.∫+∞-∞x
1+x2dx收敛D.∫+∞-∞x1+x2dx发散例6下列广义积分收敛的是()A.∫+∞11xdxB.∫+∞0x1+x2dxC.∫+
∞1lnxxdxD.∫+∞11x3dx例7下列广义积分收敛的是()A.∫+∞e(lnx)2xdxB.∫+∞e1xlnxdxC.∫+
∞e1xlnxdxD.∫+∞e1x(lnx)2dx例8若广义积分∫+∞0ekxdx收敛，则()A.k≤0B.k≥0C.k>0D.k
<0例9下列广义积分收敛的是()A.∫+∞0sinxdxB.∫+∞1lnxdxC.∫+∞1dxxxD.∫1-11x+1dx例10下
列广义积分收敛的是()A.∫+∞112x-1dxB.∫+∞1x2+3x4x4-3x3+2x2+1dxC.∫+∞edxx2ln2xD
.∫+∞edxx·31+ln2x例11下列广义积分收敛的是()A.∫+∞edxxlnxB.∫+∞0xe-xdxC.∫+∞02x3+
2x2dxD.∫1-11x2dx例12下列广义积分收敛的是()A.∫10dxx2B.∫10dxxxC.∫101xdxD.∫10ln
xdx十二、含定积分的函数表达式求法例1已知函数f(x)满足f(x)=x2-∫10f(x)dx,则f(x)=.例2设函数f(x)满
足f(x)=3x-1-x2∫10f2(x)dx,求f(x).例3设函数f(x)满足∫x0f（t）dt=ln(1+x2)，则f(x)
=()A.11+x2B.x1+x2C.2x1+x2D.2x例4设∫x0f(t)dt=12f(x)-12，则f(x)=()A.ex2
B.12exC.e2xD.12e2x例5已知y=f(x)的反函数为g(t)，则∫f(x)0g(t)dt=x2ex,求f(x).例6
已知f(x)·∫x0f(t)dt=1,则f2(x)=.十三、利用定积分的几何意义求平面图形的面积例1设函数f(x)在闭区间［a,b
］上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b和y=0所围成的平面图形的面积等于()A.∫baf(x)dxB.|∫baf(x)d
x|C.∫ba|f(x)|dxD.不确定例2设函数D由直线x=a,x=b（a的面积可表示为()A.∫ba［f(x)-g(x)］dxB.|∫ba［f(x)-g(x)］dx|C.∫ba［g(x)-f(x)］dx
D.∫ba|f(x)-g(x)|dx例3设在区间［a,b］上，f(x)>0，f′(x)<0，f″(x)>0,令S1=∫baf(x)
dx,S2=f(b)(b-a)，S3=12［f(a)+f（b）］(b-a)，则()A.S1a0xf′(x)dx=()A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积D.三角形ACD的面积例5曲线
y=x2,x=y2所围成图形的面积是()A.∫10（x2-x）dxB.∫10（x-x2）dxC.∫10(x-x2)dxD.∫10(
x2-x)dx例6曲线f(x)=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形的面积可表示为()A.-∫20x(x-1)(2-x)dxB.∫
10x(x-1)(2-x)dx-∫21x(x-1)(2-x)dxC.∫20x(x-1)(2-x)dxD.-∫10x（x-1）(2-
x)dx+∫21x(x-1)(2-x)dx例7由曲线y=2x-x2与直线y=13x围成的平面图形的面积S=()A.2∫π2π6co
sθdθB.2∫π60sinθdθC.2∫π2π6cos2θdθD.∫π60cos2θdθ例8由抛物线y=4Rx（R>0）,直线x
+y=3R以及x轴所围成的图形面积为()A.103R2B.53R2C.73R2D.83R2例9抛物线y2=x与半圆x=2-y2所围
成图形的面积为()A.π2+13B.13·2π4C.π4+16D.π2-13例10曲线y=-x3+x2+2x与x轴所围成图形的面积
.例11假设由曲线L1:y=1-x2(0≤x≤1),x轴和y轴所围成区域被曲线L2:y=ax2分成面积相等的两部分，其中a是大于零
的常数，试确定a的值.十四、利用定积分求特殊的空间立体的体积1.平行截面面积为已知的立体体积计算例1求几何体x2+y2+4z4≤4
的体积.例2求椭球体x2a2+y2b2+z2c2≤1的体积.2.利用定积分求旋转体的体积例3由曲线y=x3,x=2及y=0所围成的
图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积V=.例4椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕x轴旋转得到的旋转体体积Vx与绕y轴旋转得
到的旋转体的体积Vy之间的关系为()A.Vx>VyB.Vx轴旋转一周生成的旋转体体积.例6求曲线y=sinx与x轴所围成的平面区域在［0，π］内的面积，并求此平面区域绕y轴旋转一周所成旋转
体的体积.例7求曲线y=ex过原点的切线及该曲线与y轴所围成的平面图形的面积和该平面图形绕x轴旋转所得的旋转体体积.例8一曲线通过
点（e2,3）且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，试求：（1）该曲线与x轴及直线x=e2所围成的平面图形面积；（2）该平
面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.例9平面图形由抛物线y2=2x与该曲线在点12,1处的法线所围成，试求：（1）该平面图形的面
积；（2）该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积.例10从原点作抛物线f(x)=x2-2x+4的两条切线,由这两条切线所围成的图形
记为D，求.（1）D的面积；（2）图形D绕x轴旋转一周所得的立体体积.例11设直线y=ax+b与x=1,x轴及y轴所围成梯形的面积
为A,试求a,b使此梯形绕x轴旋转所得体积最小（a≥b,b≥0）.第四章向量代数与空间解析几何一、向量代数例1对于任意向量a与b，
下列表达式中错误的是()A.|a|=|-a|B.|a|+|b|>|a+b|C.|a|·|b|≥|a·b|D.|a|·|b|≥|a×
b|例2两个非零向量a与b满足|a+b|=|a|+|b|，则()A.a与b平行B.a与b垂直C.a与b平行且同向D.a与b平行且反
向例3两个非零向量a与b满足|a+b|=|a|-|b|，则()A.a与b平行B.a与b垂直C.a与b平行且同向，|a|≥|b|D.
a与b平行且反向，|a|≥|b|例4若两个非零向量a与b满足|a+b|≥|a-b|，则()A.a与b平行B.a与b垂直C.a,b
<π2D.a,b>π2例5平行于向量a={22,-5,4}的单位向量为()A.272,-57,47B.-272,-57,-4
7C.±272,57，±47D.272,57,±47例6已知向量|a|=2，它与x轴，y轴,z轴的夹角分别为π3,π6,π2
，则a=.例7设a=2i+5j-4k,b=i-2j-2k,则a与b的夹角是()A.0B.π2C.π3D.π4例8设a={-1,1,
2}，b={2,0,1}，则向量a与b的夹角为()A.0B.π9C.π4D.π2例9设向量a={3,-2,5},b={0,3,-4
}，c={1,1,1}，若已知(3a+λb)⊥c，则λ=.例10设有单位向量a,它同时与b=3i+j+4k及c=i+k垂直,则a=
()A.13i+13j-13kB.i+j-kC.13i-13j+13kD.3i+3j-3k例11设a={-1,1,2},b={3,
0,4}，则向量a在向量b上的投影为()A.56B.1C.-56D.-1例12已知|a|=3,|b|=2,a·b==-3,则|a×
b|=()A.6B.2C.22D.3例13已知空间三点A(1,-1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，求△ABC的面积.例
14对任意两向量a,b，下列等式不恒成立的是()A.a+b=b+aB.a·b=b·aC.a×b=b×aD.（a·b）2+(a×b)
2=a2b2例15若|a|=3,|b|=4，且向量a与b垂直，则|(a+b)×(a-b)|=.例16若|a|=13，|b|=19,
|a+b|=24,则|a-b|=.例17设非零向量a,b,c满足a+b+c=0,则a×b+b×c+c×a=()A.0B.a×bC.
2(a×b)D.3(a×b)例18已知a,b,c均为单位向量，且满足关系式a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a的值为()A.-
32B.-1C.1D.32二、空间直线与平面的方程求法例1通过z轴且过点M（2，-1，1）的平面方程是()A.x+2y=0B.x+
y-1=0C.x-2z=0D.y+z=0例2设平面方程为Bx+Cz+D=0,且BCD≠0，则该平面()A.平行于x轴B.经过y轴C
.平行于y轴D.垂直于y轴例3过点（1，-2，3）且与平面7x-3y+z=6平行的平面方程为.例4过点（2，-1，3）且与直线2x
+3y-2z-7=0，x-z+8=0垂直的平面方程为()A.3x-4y+3z-19=0B.3x-4y-3z-1=0C.x+z-5=
0D.x-z+1=0例5平面3x-y+2z-6=0与三个坐标面所围成的四面体的体积为()A.1B.2C.3D.6例6过点(1,2,
-1)与直线x=-t+2，y=3t-4，z=t-1垂直的平面方程为.例7求通过直线2x-4y+z=0，3x-y-z=10且垂直于平
面4x-y+z=1的平面方程.例8求通过点A（1,1,1）与点B（0,1,-1）且垂直于平面x+y+z=0的平面方程.例9求通过直
线x-12=y-23=z+34且平行于直线x1=y1=z2的平面方程.例10设有直线x0=y4=z-3，则该直线必定()A.过原点
且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，也不平行于x轴例11过点（1,2,1）且与直线L:x+2
y-z+1=0,x-y+z-1=0平行的直线方程为.例12过点(1,1,1)且与向量a={1,1,0}和b={-1,0,1}都垂直
的直线方程为.例13过点（-1,2,0）且与平面x+y+2z=3垂直的直线方程为.例14过点（1，0，-2）且与平面3x+4y-z
+6=0平行，又与直线x-31=y+24=z1垂直的直线方程为.例15过点M（1,0,-2）且与直线x-11=y1=z+11及x1
=y-1-1=z+10都垂直的直线方程为()A.x-11=y1=z+2-2B.x-12=y1=z+2-1C.x-1-1=y0=z+
2-2D.x-10=y-11=z+2-2例16直线2x-y-3z+2=0，x+2y-z-6=0的对称式方程可表示为.例17直线x1
=y-12=z-23与平面x-y+z-3=0的交点为.例18求过直线x-11=y+1-1=z-12与平面x+y-3z+15=0的交
点,且垂直于该平面的直线方程.三、两点间的距离、点到平面的距离以及空间中对称点的求法例1点（3,2,-1）到平面x+y+z-1=0
的距离为.例2平面π1:2x-y+z-1=0与π2：-4x+2y-2z-1=0的位置关系是，二者之间的距离为.例3已知直线l:x-
11=y-3-2=z+11和直线外一点P（3,3,3），则点P关于直线l的对称点的坐标是()A.(1,1,1)B.(1,-1,-3
)C.(-3,-3,-3)D.(-1,1,3)例4点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的正投影为.例5原点关于平面6x+
2y-9z+121=0的对称点为.四、位置关系的判定及其夹角计算例1平面π1:2x+3y+4z+4=0与平面π2:2x-3y+4z
-4=0的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不重合，不垂直C.平行D.重合例2已知三平面的方程分别为π1:x-5y+2z+1=
0，π2：3x-2y+3z+1=0，π3：4x+2y+3z-9=0，则必有()A.π1与π2平行B.π1与π2垂直C.π2与π3平
行D.π1与π3垂直例3平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角余弦为.例4平面2x-2y+z-1=0与平面y+3z-1=0的夹
角为.例5直线l1:x+2y-z=7,-2x+y+z=7与直线l2:3x+6y-3z=8,3x-y-z=0的位置关系是()A.l1
⊥l2B.l1∥l2C.l1与l2异面D.l1与l2斜交例6直线x+2y-z+5=0,2x-y+z+6=0与直线x-1-3=y-0
3=z+25的位置关系是()A.平行但不重合B.重合C.垂直D.以上都不对例7设直线L:x-31=y-1=z+2-1和平面π:x-
y-z+1=0，则()A.L与π垂直B.L与π相交但不垂直C.L在π上D.L与π平行但L不在π上例8若直线x-11=y+3n=z-
23与平面3x-4y+3z+1=0平行，则n=()A.2B.3C.4D.5例9直线x-13=y+1-1=z-21与平面x+2y-z
+3=0的位置关系是()A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面内C.直线在平面内D.斜交例10已知直线x-1m=y+32=z-5-
1与平面x-2y+3z-1=0平行，则m=.例11直线x+y-z+1=0,x-y+2z-2=0与平面x-2y+3z-3=0的夹角正
弦为.五、二次曲面与旋转曲面的特征例1方程x2+2y2-z2=0表示()A.球面B.抛物面C.柱面D.锥面例2方程x2+y2-z2
=0表示的二次曲面是()A.球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面例3方程z=x2+y2表示的二次曲面是()A.椭球面B.柱面C.
圆锥面D.旋转抛物面例4方程x2+y2=z+1表示的二次曲面是()A.球面B.旋转抛物面C.柱面D.圆锥面例5方程x2-y2=-z
表示的二次曲面是()A.旋转抛物面B.圆锥面C.双曲抛物面D.双曲柱面例6方程在空间坐标中，方程x2-4(y-1)2=0表示()A
.两个平面B.双曲标面C.椭圆柱面D.圆柱面例7在空间坐标系中，方程x2+4(y-1)2=0表示()A.圆柱面B.椭圆柱面C.点（
0,1）D.过点（0,1,0）且平行z轴的直线例8在空间坐标系中，方程(x-1)2+2(y-2)2+3(z-3)2=0表示()A.
椭球面B.球面C.空间中的点（1，2，3）D.以上都不对例9方程x2+y2=2x在空间坐标系中表示()A.抛物面B.旋转抛物面C.
一条直线D.圆柱面例10方程x2-y2=1在平面直角坐标中表示,在空间直线坐标中表示.例11方程x2+4y2+z2=1在空间坐标系
中表示.例12方程x22+y2-z2==-1的名称是.例13方程x2-y2+z2=1表示.例14方程x2+y2=-z表示.六、旋转
曲面与投影曲线的求法例1曲线x22+z23=1，y=0绕x轴旋转而成的旋转曲面方程为.例2yOz面上的直线y=z绕y轴旋转一周而成
的旋转曲面的方程是()A.y=x2+z2B.y=±x2+z2C.z=x2+y2D.z=±x2+y2例3旋转曲面z=x22+y22的
旋转轴是()A.x轴B.y轴C.z轴D.直线x=y=z例4方程(z-a)2=x2+y2表示()A.xOz面内曲线（z-a）2=x2
绕y轴旋转而成B.xOz面内直线z-a=x绕z轴旋转而成C.yOz面直线z-a=y绕y轴旋转而成D.yOz面内曲线(z-a)2=y
2绕x轴旋转而成例5空间曲线z=x2+y2-2，z=5在xOy面上的投影方程为()A.x2+y2=7B.x2+y2=7z=5C.x
2+y2=7z=0D.z=x2+y2-2z=0例6空间曲线2x2+y2+z2=16，x2-y2+z2=0在xOz面上的投影方程为.
例7以空间曲线2x2+y2+z2=16，x2-y2+z2=0为准线，母线平行于x轴的柱面方程为.第五章多元函数微分学一、二元函数的
表达式与定义域的求法例1设函数f(x+y,x-y)=x2-y22xy，则f(x,y)=()A.x+yx2-y2B.2xyx2-y2
C.4xyx2-y2D.xy2(x2-y2)例2设函数f(x-y,lnx)=1-yxexeylnx,则f(x,y)=()A.yex
-yxB.xex-yyC.xe2x-yyD.ye2x-yx例3设fx-y,yx=xy,则f(xy,x+y)=.例4设f(x,y)=
x2+y2，φ(x,y)=x2-y2，则f［f(x,y)，φ(x,y)］=.例5设f(x+y,xy)=x3+y3，则f(x，y)=
()A.x3+3xyB.x3-3xyC.x3+xyD.x3-xy二、二元函数的极限与函数的连续性例1极限limx→0y→0x2yx
4+y2=()A.12B.-12C.0D.不存在例2极限limx→0y→0sin(x2+y2)x2+y2=.例3极限limx→∞y
→a1+1xx2x+y=.例4极限limx→0y→0xy2-xy+4=.例5极限limx→0y→0xy+1-1xy=.例6极限li
mx→0y→0x2yx2+y2=.例7求极限limx→0y→0（x2+2y2）［1-cos(x2+y2)］(x2+y2)32.例8
极限limx→1y→0ln(x+ey)x2+y2=.例9当x2+y2≠0时，f(x,y)=3-x2+y2+9x2+y2，且f(x,
y)在(0,0)处连续，则f(0,0)=.三、二元函数的偏导数与全微分例1已知z=f(x,y)在(x0，y0)的偏导数存在，则li
mh→0f(x0+h,y0)-f(x0-h,y0)h=()A.2fx（x0,y0）B.fx(x0,y0)C.fx(2x0,y0)D
.0例2设函数f(x,y)=f1(x)f2(y)在点(x0,y0)的某领域内有定义，且存在一阶偏导数，则fx(x0,y0)=()A
.limh→0f1(x0+h)-f1(x0)hB.limh→0f1(x0+h)-f1(x0)h·f2(y0)C.limh→0f(x
0,y0+h)-f(x0，y0)hD.limh→0f(x0+h,y0+h)-f(x0,y0)h例3二元函数z=xcos(x2-y)
的偏导数zx=()A.cos(x2-y)-2xsin(x2-y)B.cos(x2-y)+2xsin(x2-y)C.cos(x2
-y)-2x2sin(x2-y)D.cos(x2-y)+2x2sin(x2-y)例4若z=x3tany-3y3+e1-xx3y4+
1·tanx,则zy(0,1)=.例5设二元函数f(x,y)=x+(y-1)arcsinxy，则偏导数fx(x,1)为()A.
2B.1C.-1D.-2例6设函数u=xy，则ux(1,1)=()A.0B.12C.-1D.1例7设函数z=x2y+yx，则d
zx=1y=1=()A.dx+2dyB.dx-2dyC.2dx+dyD.2dx-dy例8设函数z=xy+x3，则dzx=1y=1=
()A.dx+4dyB.dx+dyC.4dx+dyD.3dx+dy例9讨论f(x,y)=xx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y
2=0在点（0，0）的偏导数.四、二元复合函数的偏导数与全微分例1设z=(x+ey)x，则zx(1,0)=.例2求函数z=xe
-xy的一阶偏导数.例3设函数z=(x2+y2)ex2+y2xy,求zx,zy.例4设z=x2y,x=u-2v,y=2u
+v,求zu,zv.例5设z=x2y-xy2,x=ucosv,y=usinv，求zu，zv.例6求二元函数z=xe
x+y+(x+1)ln(y+1)在点（1，1）处的全微分.例7设函数z=arctanx-yx+y，求dz.五、可微、连续、偏导数之
间的关系例1二元函数f(x,y)在（x0，y0）处的偏导数存在是函数f(x,y)在点（x0，y0）处可微的()A.充分条件B.必要
条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件例2二元函数f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数存在是函数f(x,y)在点（x0,y0）
处连续的()A.充分必要条件B.必要条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件例3若函数f(x,y)在区域D内具有二阶偏导数,则下列
结论正确的是()A.2fxy=2fyx一定成立B.f(x,y)在D内必可微C.f(x,y)在D内必连续D.以上结论都不
成立例4函数f(x,y)在点P处的全微分df存在的充分条件是()A.f的全部二阶偏导数均存在B.f连续C.f的全部一阶偏导数均连续
D.f连续且fx,fy均存在例5函数z=f(x,y)在点（x0，y0）处可微是z=f(x,y)在点（x0，y0）处连续的条件.例6
若z=f(x,y)在区域D上的两个偏导数2zxy,2zyx连续，则在区域D上有.例7设z=f(x,y)存在一阶连续偏导
数zx，zy，则dz=()A.zx+zyB.zxdx+zydyC.zxdy+zydxD.zxd
x-zydy例8二元函数f(x,y)=xyx2+y2，（x,y）≠(0,0)，0,x=y=0在点（0，0）处()A.连续、偏导
数存在B.连续、偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在六、高阶偏导数例1设函数z=x5y2+xy5,则2z
xy=.例2若函数z=exy，则2zxy=.例3设函数u=e-xsinxy，则2uxy在点2,1π处的值为.例4设函
数z=ln(1-x+y)+x2y,求2zxy.例5设z=1xf(xy)+yg(x+y),f和g是有二阶连续导数的函数,则2
zxy=.七、多元抽象函数的偏导数与全微分例1设函数z=f-xy，且f(x)可导，则zx=()A.f′-xyB.xy2f′
-xyC.-1yf′-xyD.-xf′-xy例2设z=φ（x2-y2），其中φ有连续导数，则函数z满足方程()A.xzx+y
zy=0B.xzx-yzy=0C.yzx+xzy=0D.yzx-xzy=0例3设函数z=f(x,u),u
=u(x,y)，则zx=()A.fx(x,u)B.fx(x,u)+fu(x,u)C.fx(x,u)+fu(x,u)uxD.
fx(x,u)+fy(x,u)ux例4设z=fxy,xy+gyx，其中f,g均可微，则zx=.例5已知f(xy,x+y)=
x2+y2，则f(x,y)x+f(x,y)y=.例6已知z=f2（xy）,其中f为任意可微函数,则zx=.例7设函数z
=f(x,y)可微,又y=y(x)可导，则对复合函数z=f［x,y(x)］，dzdx=.例8设f(u)可微,且f′(0)=12，则
z=f(4x2-y2)在点(1,2)处的全微分dz(1,2)=.例9设z=y3+xf(x,y)，其中f(x,y)为可微函数,求d
z.八、多元隐函数的偏导数与全微分例1设由方程e2z-xyz=0所确定的隐函数为z=z(x,y)，则zx=()A.zx(2z-
1)B.zx(2z+1)C.yx(2z-1)D.yx(2z+1)例2设函数ez=xyz，则zx=()A.yzez-xyB.-y
zez-xyC.xzez-xyD.-xzez-xy例3方程x=lnzy确定二元隐函数z=f(x,y)，则zx=()A.1B.e
xC.yexD.y例4设xz=lnxy确定二元函数z=z(x,y)，则zx(e,1)=()A.0B.eC.12D.1e例5设由
方程F(x+az,y+bz)=0确定的隐函数为z=z(x,y)，则azx+bzy=()A.aB.bC.-1D.1例6已知e
z+x2+y2=z，则zx=.例7设函数z=z(x,y)是由方程x2z+2y2z2+xy2=0确定，则dz=.九、方向导数与梯
度例1函数u=xyz在点A（5，1，2）到点B（9,4,14）的直线方向上的方向导数.例2设函数f(x,y,z)=x3+y4+z5
，则gradf(1,1,1)=.例3问函数u=xy2z在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.十
、空间曲线的切线与曲面的切平面求法例1求曲线y=2x，z=3x2+y2在点M(1,2,7)处的切线方程和法平面方程.例2曲线x=
t2，y=1-t，z=t3在点（1,0,1）处的切线方程为.例3曲面z=x2+y2-1在点（2,1,4）处的切平面方程为.例4曲面
x2-2y2+z2-4x+2z=6在点（0,1,2）处的切平面方程为.例5已知曲线方程xyz=1，y=x2,求在点（1,1,1）处
曲线的切线方程与法平面方程.例6试证曲面x+y+z=a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例7曲线z=x2+
y24，y=4在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾斜角为.例8曲面xy+yz+zx=1在点（1，-2，-3）处的切平面与平
面x-3y+z=4的夹角为()A.π6B.π3C.0D.π2十一、二元函数的极值例1函数f(x,y)=x2+y2-2x-2y+1的
驻点是()A.（0，0）B.(0,1)C.(1,0)D.（1,1）例2函数z=2xy-3x2-3y2+20在定义域内()A.有极大
值，无极小值B.无极大值，有极小值C.有极大值，有极小值D.无极大值，无极小值例3设二元函数z=4(x-y)-x2-y2，则点(2
,-2)是()A.极大值点B.极小值点C.驻点非极值点D.不是驻点例4设z=x3-3x+y2,则它在点（1，0）处()A.没有取得
极值B.取得极小值C.取得极大值D.不能确定是否取得极值例5设二元函数f(x,y)=(x-4)2+y2，则点(4,0)()A.不是
驻点B.是驻点但非极值点C.是极大值点D.是极小值点例6设z=x3-3x-y，则它在点（1,0）处()A.取得极大值B.无极值C.
取得极小值D.无法判定是否有极值例7函数z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极大值点为()A.(1,2)B.(-3,2)C.(-
3,0)D.(1,0)例8设可微函数f(x,y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()A.f(x0,y)在y=y0处
的导数等于零B.f(x0，y)在y=y0处的导数大于零C.f(x0,y)在y=y0处的导数小于零D.f(x0，y)在y=y0处的导
数不存在十二、多元函数的最值问题例1设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f(x,y)在D上()A.必有最大值和最小值B.必可
微C.必有导数D.必有使f(x,y)=0的点例2从斜边之长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.例3设长方体三边长度之
和为a，试问三边各取什么值时，所得长方体的体积最大？例4设周长为2P的矩形绕它的一边旋转构成圆柱体，求矩形的边长各为多少时，圆柱体
的体积最大.第六章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质例1设D是由｛(x,y)|1≤x2+y2≤2}所确定的闭区域，则Ddxd
y=.例2设D是以原点为圆心，2为半径的圆域，且Df(x,y)dσ=A,则D［f(x,y)+2］dσ=.例3设D为圆周x2+y
2-2x-2y+1=0围成的闭区域，则Ddxdy=()A.πB.２πC.４πD.１６π例4设D:(x-1)2+y2≤1,则Dd
xdy=()A.3πB.4πC.πD.π2例5区域D由直线y=x,y=x+a,y=a,y=5a围成，则Ddσ=()A.4B.5C
.5a2D.4a2例6当区域D为()时，Ddxdy=2,A.|x|≤1,|y|≤1B.|x|+|y|≤1C.0≤x≤1,0≤y≤
2xD.0≤x2+y2≤2例7顶点坐标为（0，0），（1，0），（1，1）的三角形面积可表示为()A.∫x0dy∫y0dxB.∫1
0dy∫10dxC.∫10dx∫y0dyD.∫10dx∫x0dy例8下列不等式正确的是()A.|x|≤1|y|≤1(x-1)dσ
≥0B.x2+y2≤1(-x2-y2)dσ≥0C.|x|≤1|y|≤1(y-1)dσ≥0D.|x|≤1|y|≤1(x+1)d
σ≥0例9设D为（x-2）2+(y-1)2=1,I1=D(x+y)2dσ,I2=D(x+y)3dσ,则()A.I1=I2B.I
1＜I2C.I1＞I2D.无法比较例10设D是矩形域3≤x≤5,0≤y≤1，且I1=D［ln(x+y)］2dσ,I2=D［ln
(x+y)］3dσ,则()A.I1>I2B.I1≥I2C.I1=Dcos(x2+y2)dxdy,I3=Dcos(x2+y2)2dxdy,其中D＝｛(x,y)|x2+y2≤1｝,则()A.I
3>I2>I1B.I1>I2>I3C.I2>I1>I3D.I3>I1>I2二、直角坐标系下二重积分的计算例1将二重积分Dx2y2
dxdy化为二次积分，其中D为a≤x≤b，c≤y≤d，则下列式子正确的是()A.∫yadx∫dcx2y2dyB.∫badx∫xcx
2y2dyC.∫xcdy∫yax2y2dxD.∫dcy2dy∫bax2dx例2积分区域D为x2+y2≤1,则Dxdxdy=()A
.0B.1C.13D.12例3设D是矩形域0≤x≤π4，-1≤y≤1,则Dycos(2xy)dxdy的值是()A.0B.12C.
-12D.14例4设D：|x|+|y|≤1,则D(|x|+y)dxdy=()A.0B.13C.23D.1例5设积分区域D={(x
,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，则Dx2y3dxdy=()A.6B.12C.112D.16例6设区域D是由x轴，y轴及直线x+
y=1围成的三角形区域，则Dxydxdy=()A.14B.18C.112D.124例7设D是由x=0,y=x，y=1-x所围成的
平面闭区域，则Df(x,y)dσ=()A.∫120dy∫120f(x,y)dxB.∫10dy∫x0f(x,y)dxC.∫1-x0
dx∫1-xxf(x,y)dyD.∫120dx∫1-xxf(x,y)dy例8设D由直线x+y=1,x=0,y=0所围成，则Dex
+ydσ＝()A.1B.2eC.e-1D.2e-1例9设D是由直线y=x,y=1及x=0所围成的闭区域，则二重积分Dcosxdx
dy=()A.1-cos1B.cos1-1C.1-sin1D.sin1-1例10设D是由直线y=x-1,x=1及y=2所围成的闭区
域，则Deydxdy=.例11设D是第一象限中由曲线y=x2,x+y-2=0和y=0所围成的区域，则二重积分Dxdxdy=.例
12设D＝｛(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2｝,则Dxydxdy=.例13累次积分∫30dx∫ππ2|x-2|sinydy=.
例14计算二重积分D（y-x2）dxdy,其中D={(x,y)|0≤x≤1,-1≤y≤1}.例15计算二重积分Dy2dσ,其中
D由y=0,y=1+x,y=1-x所围成.例16计算二重积分Dxydxdy，其中D为直线y=x与y=x2所围成的区域.例17计算
D(x+6y)dσ，其中积分区域D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域.例18计算Dxydxdy，其中积分区域D是由曲
线xy=2和直线y=2x，2y-x=0所围成的第一象限部分.三、特殊被积函数的二重积分计算例1二次积分∫10dx∫1xey2dy的
值为()A.e-12B.e-1C.e2-1D.12(e-1)2例2∫10dy∫1ye-x2dx=.例3∫π60dy∫π6ycosx
xdx=.例4计算二重积分∫π20dy∫πy2ysinxxdx.例5设D是由直线x=1,y=2,y=x-1所围成的区域，求Dco
sy2dxdy.四、极坐标系下的二重积分计算例1设D为1≤x2+y2≤4,则D(x2+y2)32dxdy=()A.∫2π0dθ∫
21r3drB.∫2π0dθ∫41r4drC.∫2π0dθ∫21r4drD.∫2π0dθ∫41r3dr例2设区域D:1≤x2+y2
≤4,则Dx2+y2dxdy=()A.∫2π0dθ∫41r2drB.∫2π0dθ∫41rdrC.∫2π0dθ∫21r2drD.∫
2π0dθ∫21rdr例3若二重积分Df(x,y)dxdy=∫π20dθ∫2sinθ0f(rcosθ,rsinθ)rdr，则积分
区域D为()A.x2+y2≤2xB.x2+y2≤2C.x2+y2≤2yD.0≤x≤2y-y2例4若Df(x,y)dσ=∫π2-π
2dθ∫acosθ0f(rcosθ,rsinθ)rdr，则区域D可表示为()A.x2+y2≤a2B.x2+y2≤a2,x≥0C.x
2+y2≤ax,a<0D.x2+y2≤ax,a>0例5设D是圆域x2+y2≤4,则Dx2+y2dxdy=()A.πB.4πC.8
3πD.163π例6设积分区域D:1≤x2+y2≤4,则Dx2dσ=.例7设区域D为x2+y2≤9,f是D上的连续函数，则Df
(x2+y2)dxdy=.例8设D是平面区域x2+y2≤a2,则D|xy|dxdy=.例9∫10dx∫xx2(x2+y2)-12
dy=.例10计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线y=x,y=0及曲线x2+y2＝4围成的第一象限的部分.例11计算二重积分
Dx2+y2dσ，其中D是由曲线y=2x-x2和直线y=x所围成的闭区域.例12计算Dx2+y2dxdy，其中区域D是由x2+
y2=2x围成的闭区域.例13计算Dy2-xydxdy，其中D是由y=x,y=1,x=0所围成的平面区域.例14计算积分∫10d
x∫xx21x2+y2dy.五、含二重积分的函数表达式求法例设函数f(x,y)连续，且f(x,y)=xy+Df(u,v)dudv
,其中D是由y=0,y=x2,x=1所围成的区域，则f(x,y)=()A.xyB.2xyC.xy+18D.xy+1六、两坐标系下二
重积分的相互转化与交换二重积分的积分次序例1设f(x,y)为连续函数，则∫π40dθ∫10f(rcosθ,rsinθ)rdr等于(
)A.∫220dx∫1-x2xf(x,y)dyB.∫220dx∫1-x20f(x,y)dyC.∫220dy∫1-y2yf(x,y)
dxD.∫220dy∫1-y20f(x,y)dx例2累次积分I＝∫π20dθ∫cosθ0f(rcosθ,rsinθ)rdr可以写成
()A.∫10dy∫y-y20f(x,y)dxB.∫10dy∫1-y20f(x,y)dxC.∫10dx∫10f(x,y)dyD.∫
10dx∫x-x20f(x,y)dy例3设f(u,v)为区域D上的连续函数，将二次积分∫ππ2dθ∫sinθ0f(rcosθ,rs
inθ)rdr化为直角坐标系中先对x后对y的二次积分为.例4将积分∫10dx∫1-x21-xf(x,y)dy化为极坐标系下的二次积
分是.例5交换二次积分∫a0dx∫x0f(x,y)dy（常数a>0）的积分次序后可化为()A.∫a0dy∫y0f(x,y)dxB.
∫a0dy∫ayf(x,y)dxC.∫a0dy∫a0f(x,y)dxD.∫a0dy∫yaf(x,y)dx例6设I＝∫10dy∫2y
0f(x,y)dx+∫31dy∫3-y0f(x,y)dx,交换积分次序后，I＝()A.∫30dx∫3-x0f(x,y)dyB.∫2
0dx∫3-x0f(x,y)dyC.∫20dx∫3-x12xf(x,y)dyD.∫30dx∫3-x12xf(x,y)dy例7设f(
x,y)是连续函数，则∫40dx∫2xxf(x,y)dy=()A.∫40dy∫y14y2f(x,y)dxB.∫40dy∫14y2-
yf(x,y)dxC.∫40dy∫114f(x,y)dxD.∫04dy∫y14y2f(x,y)dx例8二重积分∫20dy∫2yy2
f(x,y)dx交换积分次序后()A.∫20dx∫x22xf(x,y)dyB.∫40dx∫x2xf(x,y)dyC.∫20dx∫2
xx2f(x,y)dyD.∫40dx∫xx2f(x,y)dy例9若∫10dx∫xx2f(x,y)dy=∫10dy∫φ(y)yf(x
,y)dx成立，则φ(y)=()A.y2B.yC.yD.3y例10∫140dy∫yyf(x,y)dx+∫1214dy∫12yf(x
,y)dx=.例11交换积分次序∫10dx∫1xf(x,y)dy=.例12在直角坐标系下交换积分次序∫10dx∫x-xf(x,y)
dy+∫41dx∫xx-2f(x,y)dy=.例13交换二次积分∫21dx∫2x-x22-xf(x,y)dy的积分次序后为.例14
设D为x2+y2≤2y,则Df(x2+y2)dxdy=()A.∫π0dθ∫2sinθ0f(r2)rdrB.∫2π0dθ∫10f(
r2)rdrC.∫1-1dy∫20f(x2+y2)dxD.∫20dy∫2y-y20f(x2+y2)dx七、利用二重积分计算空间立体
的体积例1设区域D为x2+y2≤R2，则二重积分DR2-x2-y2dxdy的几何意义是()A.半径为R的圆的面积B.半径为R的圆
的面积的一半C.半径为R的球体的体积D.半径为R的球体的体积的一半例2求柱体x2+y2=4被平面z+y=3及z=0所截得的第一卦限
内的立体体积.例3求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱面x2+y2=2ax(a＞0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.八、
第一类曲线积分的计算例1设曲线L的方程是x=acost,y=asint(a>0,0≤t≤2π),则曲线积分∮L(x2+y2)nds
=()A.2πa2nB.2πa2n+1C.-πanD.πan例2已知闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积分∮L(4x2+4y
2-6)ds=()A.40πB.12πC.6πD.4π例3L是抛物线y2=4x上点（1，2）与点（1，-2）的一段弧，则∫Lyds
=()A.0B.1C.2D.3例4设L为直线y=x-1上的点（1，0）到点（2，1）的直线段，则∫L(x-y+2)ds=.例5已知
圆弧L：x=4cost,y=4sint(a>1,0≤t≤π4)，则∫Lxyds=.九、利用定积分计算第二类曲线积分例1设L为直线x
+y=1上从点A（1，0）到B（0，1）的直线段，则∫L(x+y)dx-dy=()A.2B.1C.-1D.-2例2设L为从点（1，
1）到点（0，0）的直线段，则∫L(x2-y2)dx+xydy=()A.13B.3C.0D.-13例3设L为有向折线OAB，其中O
(0,0),A(1,0),B(1,1)，则∫Ly2dx+2xydy=.例4设L是抛物线y=2x2上从点（0，0）到（1，2）的一段
，则∫L2xydx+x2dy=.例5设L：y=3x2与y=x连接起来的正向闭曲线，则∮Lx2ydx+y2dy=.十、格林公式与曲线
积分与路径无关例1设L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3，2）的三角形正向边界，则曲线积分∮L(3x-y+4)dx+(5y
+3x-6)dy=.例2已知L为沿区域x2+y2≤2y的正向边界曲线，则∮L(-x2y)dx+xy2dy=.例3设L是从点（0，0
）到点（1，1）的有向线段，则曲线积分∫Lydx+xdy=()A.0B.1C.2D.-1例4设L为抛物线x-1=y2-2y上从点A
(1,0)到点B(1,2)的一段弧，则∫L(ey+x)dx+(xey-2y)dy=()A.e-1B.e+1C.e2-5D.e2+5
例5曲线积分∫L(2xy3-y2cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy，其中L为在抛物线2x=πy2上由点(0,0)
到π2,1的一段弧，则积分值为()A.0B.π24C.π4D.1+π4例6设L是y=x2上从点（0,0）到点(1,1)之间的有向弧
，则∫L(x3-y)dx-(x+siny)dy=()A.74-cos1B.cos1-74C.-74D.π4-74例7设曲线L为取顺
时针的圆周x2+y2=a2,D为圆周所围的闭区域，则曲线积分∮ydx-xdy=()A.2πa2B.-2πa2C.-πa2D.πa2
例8L是圆域D为x2+y2≤-2x的正向边界，则曲线积分∮L(x3-y)dx+(x-y3)dy=()A.-2πB.0C.32πD.
2π例9下列曲线积分在整个平面内与路径无关的是()A.∫（5，6）（0，0）（x2ycosx+2xsinx-y2ex）dx+(x2
-sinx-2yex)dyB.∫（4，-1）（1，1）（2x-y+4）dx+(5y+3x-6)dyC.∫（2，1）（1，0）（2x
y-y4+3）dx+(x2-4xy3)dyD.∫（2，2）（-1，1）2xydx+x2ydy例10下列曲线积分积分值与路径无关的是
()A.∫L(x2+y2)dx+dyB.∫Lxdx+xydyC.∫Ldx+xydyD.∫Lydx+xdy例11计算I＝∫L(2xc
osy-y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy，其中L是x2+y2=a2上从（a,0）到（-a,0）的上半圆周.例
12已知(x+ay)dx+(ax+y)dy(x+y)2为某二元函数的全微分，则a=()A.-1B.0C.1D.2第七章无穷级数一、
利用定义判定级数的敛散性例1若级数∞n=1un收敛，记Sn=ni=1ui，则()A.limn→∞Sn=0B.limn→∞Sn存
在C.limn→∞Sn可能不存在D.｛Sn｝为单调数列例2若级数∞n=1un收敛于S，则级数∞n=1（un+un+1）收敛于(
)A.2SB.2S+u1C.2S-u1D.发散例3若an>0,且∞n=1（-1）n-1an=2,∞n=1a2n-1=5,则∞
n=1an=.例4若级数的部分和数列｛Sn｝为2nn+1,则un=,∞n=1un=.例5判断下列级数的敛散性.（1）∞n=11
n(n+1);(2)∞n=1(n+1-n).例6设级数∞n=1an收敛，且∞n=1an=S,limn→∞nan=0,判定级数
∞n=1n(an-an+1)的敛散性.二、利用级数的一般性质判定级数的敛散性例1若级数∞n=1u2n收敛，则∞n=1un()
A.一定绝对收敛B.一定条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散例2设数项级数∞n=1un收敛，则下列级数一定收敛的是()A.
∞n=11unB.∞n=1100unC.∞n=1(un+0.1)D.∞n=1|un|例3若级数∞n=1un与∞n=1v
n都发散，则级数∞n=1（un+vn）()A.必定收敛B.必定发散C.必定条件收敛D.可能收敛也可能发散例4下列各选项正确的是(
)A.若∞n=1u2n和∞n=1v2n都收敛，则∞n=1（un+vn）2收敛B.若∞n=1|unvn|收敛，则∞n=1u
2n与∞n=1v2n都收敛C.若正项级数∞n=1un发散，则un≥1nD.若级数∞n=1un收敛，且un≥vn(n=1,2,
…),则级数∞n=1vn也收敛例5若∞n=1（u2n-1+u2n）发散，则()A.∞n=1un收敛B.∞n=1un发散C.
∞n=1un收敛性不定D.∞n=1u2n-1,∞n=1u2n均发散例6若级数∞n=1un和∞n=1vn都发散，则()A.
∞n=1(un+vn)必发散B.∞n=1unvn必发散C.∞n=1（|un|+|vn|）必发散D.∞n=1（u2n+v2n
）必发散例7以下说法正确的是()A.若∞n=1un收敛，则∞n=1kun也收敛B.若∞n=1kun收敛，则∞n=1un收敛
C.若∞n=1un发散,则∞n=1kun也发散（k为常数）D.以上说法都不正确例8若∞n=1un收敛，下列级数收敛的是()A
.∞n=1(un+2)B.∞n=1(un-2)C.∞n=1un+2D.∞n=11un例9设0≤un<1n(n=1,2,…)
,则下列级数中肯定收敛的是()A.∞n=1unB.∞n=1(-1)nunC.∞n=1unD.∞n=1(-1)nu2n例10
若级数∞n=1an收敛，则级数()A.∞n=1|an|收敛B.∞n=1（-1）nan收敛C.∞n=1anan+1收敛D.
∞n=1an+an+12收敛例11设an>0(n=1,2,…),若∞n=1an发散，∞n=1（-1）n-1an收敛，则下列结论
正确的是()A.∞n=1a2n-1收敛，∞n=1a2n发散B.∞n=1a2n收敛，∞n=1a2n-1发散C.∞n=1（a
2n-1+a2n）收敛D.∞n=1（a2n-1-a2n）收敛例12级数∞n=112n+110n的敛散性为.三、利用级数收敛的必
要条件判定级数敛散性例1级数∞n=1n(2n+1)(n+1)(n+2)的敛散性为.例2下列级数中，发散的是()A.∞n=1si
nnπ2B.∞n=1(-1)n-11n+1C.∞n=134nD.∞n=11n3例3下列结论中正确的是()A.若级数∞n=1
un收敛，则级数∞n=1u2n也收敛B.若级数∞n=1un发散，则级数∞n=1u2n也发散C.若级数∞n=1un收敛（un
≠0），则级数∞n=11un发散D.若级数∞n=1un收敛，则级数∞n=1（un+0.0001）也收敛四、正项级数的敛散性判
别法例1级数∞n=124n+3n+7n的敛散性为()A.收敛B.发散C.无法确定D.可能收敛也可能发散例2下列正项级数中收敛的是
()A.∞n=213n+1B.∞n=21nlnnC.∞n=21n(lnn)2D.∞n=21n·nn例3下列级数收敛的是()
A.∞n=111+1nnB.∞n=12n+13n2-2n+1C.∞n=11n2(7n-5)D.∞n=1arctann例4下
列级数中收敛的是()A.∞n=112n-3B.∞n=1cosnπC.∞n=1n2nD.∞n=1nnn!例5级数∞n=1n
2arctan1n4的敛散性为()A.发散B.收敛C.无法确定D.以上都不对例6若∞n=1an·sinπ3n(a>0)收敛，则a
应满足.例7若正项级数∞n=1an收敛，且当n>1000时，有bn是收敛的D.收敛且其和要比∞n=1an的和小例8对一切n,an<0,且limn→∞an+1an=λ,要使级数∞n=1an收敛，
λ应满足()A.λ>1B.0≤λ<1C.λ=1D.λ≥0例9当()时，正项级数∞n=1an收敛.A.limn→∞an=0B.li
mn→∞an≠0C.limn→∞an+1an<1D.limn→∞an+1an>1例10判定下列级数的敛散性：（1）∞n=11［l
n(n+1)］n;(2)∞n=1n(n2+1)n;(3)∞n=1ln1+1n;(4)∞n=1arcsin1n2;(5)∞n
=1ntanπ2n+1;(6)∞n=13n1+2n;(7)∞n=11-cos1n.五、交错级数与一般项级数的敛散性判定例1下列
级数中条件收敛的是()A.∞n=1sin1n2B.∞n=1(-1)n1n2C.∞n=1(-1)nnD.∞n=1(-1)n2
n例2设k>0，则级数∞n=1(-1)nk+nn2()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与k的值有关例3下列级数中，条件
收敛的级数是()A.∞n=11n12B.∞n=1(-1)nnlnnC.∞n=1(-1)nn21+n2D.∞n=1(-1)n
n2例4∞n=1(-1)n·3n的敛散性为()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法确定例5下列级数绝对收敛的是()A.∞n
=1(-1)n-11n·3nB.∞n=1(-1)n-12n4n+5C.∞n=1(-1)n-11n-1-1n+1D.∞n=1(
-1)n-12n3n2-2例6下列级数条件收敛的是()A.∞n=1(-1)n13nB.∞n=1n!2nC.∞n=1n2+2n
+3n4-5n+1D.∞n=1(-1)n14n4+2例7级数∞n=1sin3n2n3的敛散性是()A.收敛B.条件收敛C.发散
D.绝对收敛例8下列级数中绝对收敛的是()A.∞n=2(-1)nlnnnB.∞n=1(-1)nnC.∞n=1(-1)nenn
2D.∞n=1(-1)nsin2nn2例9下列级数中，绝对收敛的是()A.∞n=1(-1)nsinnαn32B.∞n=1（-
1）n-1ln(n+1)C.∞n=1(-1)n-1n(n+1)D.∞n=1cos(nπ)n例10级数∞n=1(-1)n-11
n32是()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性不能确定例11下列级数为绝对收敛的是()A.∞n=1(-1)n1nB.∞
n=1(-1)nn2C.∞n=1(-1)nn2D.∞n=1(-1)n32n例12设级数∞n=1un条件收敛，则下列级数中发散
的是()A.∞n=110unB.10+∞n=1unC.∞n=1|un|D.∞n=1un+110n例13若级数∞n=1un
条件收敛，则级数∞n=1u2n是()A.条件收敛B.绝对收敛C.不可能发散D.有可能发散例14设级数∞n=1u2n，∞n=1
v2n都收敛，则级数∞n=1unvn为()A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不定六、阿贝尔第一定理及其应用例1若级数∞
n=1anxn在x=2处收敛，则此级数在x=-1处()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定例2设幂级数∞n=1an
xn(an为常数，n=0,1,2,…)在点x=-2处收敛，则级数∞n=1(-1)nan()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛
散性不确定例3设幂级数∞n=1anxn在x=2处收敛，则该级数在x=-2处()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定例
4设幂级数∞n=1(x-a)nn在点x=2处收敛，则a的取值范围为()A.15设级数∞n=1(-1)n-1(x-a)nn在x>0时发散，而在x=0处收敛，则常数a＝()A.1B.-1C.2D.-2例6设幂
级数∞n=1an(x+1)n在x=-2处条件收敛，则它在x=2处()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不定例7设幂级数
∞n=1an(x-2)n在x=6处收敛，则该级数在x=-3处()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不定七、幂级数的收敛半径
、收敛区间以及收敛域的求法例1幂级数∞n=1(x-2)2n3n3-n的收敛半径R为()A.1B.13C.3D.不能确定例2幂级数
∞n=1xnn2的收敛半径为.例3若幂级数∞n=1anxn在x=-2处条件收敛，则它的收敛半径为.例4设limn→∞an+1a
n=ρ(ρ>0)，若幂级数∞n=1nanxn-1，∞n=1anxn和∞n=1ann+1xn+1的收敛半径分别为R1,R2和R
3,则下列关系式成立的是()A.R3>R2>R1B.R3>R2=R1C.R3=R2>R1D.R3=R2=R1例5幂级数∞n=11
n·2nxn的收敛域为()A.（-2，2）B.［-2,2)C.(-2,2］D.［-2,2］例6幂级数∞n=1(x-1)2nn·9
n的收敛域是()A.（-9，9）B.（-3，3）C.（-2，4）D.（-2，4］例7幂级数∞n=1x2n2n的收敛域是()A.（
-2，2）B.［-2,2］C.［-2,2］D.(-2,2)例8幂级数∞n=1(-1)nxn2n+3的收敛域为()A.（-1，1）
B.［-1,1］C.(-1,1］D.［-1,1)例9幂级数∞n=11n·2nx2n的收敛域为.例10幂级数∞n=11n+12n
xn的收敛域为.例11求幂级数∞n=1(x-2)nn2的收敛半径，收敛区间（考虑区间端点）.例12求∞n=1(x-2)2nn·
4n的收敛域.八、幂级数的和函数与数项级数和的求法例1幂级数∞n=0(-1)n2nxn(|x|<2)的和函数是()A.11+2x
B.11-2xC.22+xD.22-x例2求幂级数∞n=1(-1)nx2n2n(|x|<1)的和函数.例3求幂级数∞n=0(-
1)n32n+1x2n+1(2n+1)!.例4求级数∞n=1(-1)n(2n)!的和.例5已知级数x+x33+x55+x77+…
在收敛域（-1，1）内的和函数S(x)=12ln1+x1-x，则级数∞n=112n(2n-1)的和是()A.12ln(2+1)B
.12ln(2+1)C.12ln(2+1)D.12ln(2-1)例61+12+122·2!+…+12n·n!+…＝.例7求幂级数
∞n=0xnn+1的和函数.例8求幂级数∞n=1nxn-1的和函数.九、函数f(x)展开成幂级数的方法例1函数f(x)＝e-x2
展开为x的幂级数为()A.1+x2+x42!+x63!+…+x2nn!+…B.1+x+x22!+x33!+…+xnn!+…C.1-
x+x22!-x33!+…+(-1)nxnn!+…D.1-x2+x42!-x63!+…+(-1)nx2nn!+…例2将函数f(x)
=32+x-x2展开成x的幂级数，并写出其收敛区间.例3将函数f(x)=1x2-3x+2展开成x的幂级数，并指出其收敛区间（考虑区
间端点）.例4将函数f(x)=lgx展开成（x-1）的幂级数.例5将f(x)=ln(3x-x2)在x=1处展开为幂级数.例6将f(
x)=arccotx展开为x的幂级数.十、由函数的幂级数展开式，求函数的高阶导数例设f(x)=xln(1-x2),求f(101)(
0).第八章常微分方程一、微分方程的基本概念例1下列各式是微分方程的为()A.y2+4y+4=0B.y″+2y′-3=0C.xy′
2-2yy′D.y′+ex=(y+ex)′例2微分方程(y′)4+3(y″)2=0的阶数是()A.4B.3C.2D.1例3微分方程
xy·y″+x(y′)3-y4·y′=0的阶数是()A.2B.3C.4D.5例4下列微分方程中是二阶线性方程的为()A.yy″+b
y′+cy=0(b,c为常数)B.siny·y′+2y2=xC.y″+2xy′-n(n+1)x2y=0D.y″+y′+siny=0
例5设有微分方程：①dydx=k(a+y)(b-y),②dydx=cosy+x,③y2dx-(y2+2xy-x)dy=0,则()A
.方程①是线性微分方程B.方程②是线性微分方程C.方程③是线性微分方程D.以上均不是线性微分方程例6方程d2ydx2+dydx2+
xy=0是()A.线性方程B.齐次方程C.常系数方程D.二阶方程例7下列函数中，可以是y″+y=0的解的是()A.y=x2B.y=
xC.y=sinxD.y=ex例8下列方程中是微分方程y″=x2的解的是()A.y=1xB.y=x33+CC.y=x412D.y=
x46例9函数y=Cx+x36(其中C是任意常数)对微分方程d2ydx2=x而言()A.是通解B.是特解C.是解D.不是解例10函
数y=3e2x是微分方程y″-4y=0的()A.通解B.特解C.是解，但既非通解也非特解D.不是解例11下列函数中，可能是微分方程
f（x,y,y″）=0的通解的是（）A.C1x+C2y=0B.y-C1=ex+C2C.C1y=C2ex+C3xD.y=C1lnx+
C2x+C3例12以下函数可以作为某二阶微分方程通解的是()A.y=C1x2+C2x+C3B.x2+y2=CC.y=ln(C1x)
+ln(C2x)D.y=C1sin2x+C2cos2x例13已知函数y=16x3-12x2+x+C是微分方程y″=x-1的解，则下
面正确的是()A.y是该微分方程的通解B.y是微分方程满足条件yx=0=1的特解C.y是微分方程的特解D.以上都不是例14微分方程
y″-4y′+4y=0的两个线性无关的解是()A.e2x与2e2xB.e-2x与xe-2xC.e-2x与4e-2xD.e2x与xe
2x例15设y=(x,C1,C2,…,Cn)是微分方程y-xy′+2y=1的通解，则任意常数的个数n=.例16函数y=f(x)满
足微分方程y″+y′=e2x,且f′(x0)=0，则f(x)在x0处()A.有极大值B.有极小值C.无极值D.有最大值二、可分离变
量的微分方程与一阶线性齐次微分方程的解法例1下列微分方程中，可分离变量的方程是()A.dydx=yx+tanyxB.(x2+y2)
dx-2xydy=0C.xydx+ex2+y2dy=0D.dydx+2y=ex例2下列哪个方程是变量可分离方程()A.y′＝exy
B.xy′+y=exC.(x-xy2)dx+(y+x2y)dy=0D.yy′+y-x=0例3微分方程sinxcosydy+cosx
sinydx=0的通解为()A.sinxcosy=CB.cosxsiny=CC.sinxsiny=CD.cosxcosy=C例4微
分方程y·lnxdx=x·lnydy满足yx=1=1的特解是()A.ln2x+ln2y=0B.ln2x+ln2y=1C.ln2x=
ln2yD.ln2x=ln2y+1例5微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件yx=2＝1的特解为y=.例6求微分方程（ex+y
-ex）dx+(ex+y+ey)dy=0的通解.例7已知函数y=f(x)是微分方程2y′x=y满足初始条件yx=4=1的特解，则f
(16)=()A.1B.eC.e2D.0三、齐次方程的解法例1下列微分方程中哪个是一阶齐次微分方程()A.xy′=y(lny-ln
x)B.(y-x)dx+(y2+x)dy=0C.xy′=y(ey-ex)D.(y-x)dx+(y2+x2)dy=0例2微分方程dy
dx=yx+tanyx的通解是()A.1sinyx=CxB.sinyx=x+CC.sinyx=CxD.sinxy=C例3微分方程(
x-2y)y′=2x-y的通解是()A.x2+y2=CB.x+y=CC.y=x+1D.x2-xy+y2=C2例4已知函数满足微分方
程xy′=ylnyx,且x=1时，y=e2,当x=-1时，y=()A.-1B.-2C.1D.e-1例5求微分方程dydx=yx-1
2yx3的解.四、一阶线性非齐次微分方程的解法例1已知y=-xcosx是方程y′-1xy=xsinx的一个特解，则此方程的通解是(
)A.y=CxsonxB.y=C-xcosxC.y=Cx-xcosxD.y=-xcosx例2微分方程y′+3y=x的通解是()A.
y=2x+Ce2x+1B.y=xex+Cx-1C.y=3x+Cex+19D.y=13x+Ce-3x-19例3微分方程y′+yx=1
x(x2+1)的通解是()A.y=arctanx+CB.y=1x(arctanx+C)C.y=1xarctanx+CD.y=arc
tanx+Cx例4方程xy′+y=3的通解是()A.y=Cx+3B.y=3x+CC.y=-Cx-3D.y=Cx-3例5微分方程xd
ydx-y+q(x)=0的通解为()A.-x∫q(x)x2dx+CB.x∫q(x)x2dx+CC.ex∫q(x)x2dx+CD.-
ex∫xq(x)dx+C例6已知微分方程y′+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=.例7已知y=ex是一阶线性非齐次微分方程x
y′+p(x)y=x的一个特解，则p(x)=，该一阶线性微分方程的通解为y=ex+.例8求微分方程ex2dydx+2xy·ex2=
x的通解.例9求微分方程(y-xsinx)dx+xdy=0的通解.例10求微分方程y3dx+(2xy2-1)dy=0的通解.五、可
降阶的高阶微分方程的解法例1下列哪个方程是可降阶的微分方程()A.y″+xy=1B.xy″+(y′)2=5C.y″=xex+yD.
(1-x2)y″=(1+x)y例2下列微分方程中，是可降阶的微分方程的是()A.y″+xy′+y=1B.y·y″+(y′)2=5C
.y″=xey+yD.(1-x2)y″=(1-x)y例3下列方程中，可用代换y′=p,y″=p′降为关于p的一阶微分方程的是()A
.(y″)2+xy′-x=0B.y″+yy′-y2=0C.y″+x2y′-y2x=0D.y″+yy′+x=0例4求微分方程（1-x
2）y″-xy′=0的通解时，可()A.设y′=p,则有y″=p′B.设y′=p,则有y″=dpdyC.设y′=p,则有y″=p·
dpdxD.设y′=p,则有y″=p′dpdx例5微分方程(1-y)y″+2(y′)2=0，降阶时可令y′=p，则需将y″转化为
()A.dpdxB.xdpdxC.pdpdxD.dpdy例6微分方程y＝cosx的通解是.例7求微分方程y=x+1满足y(0)
=2,y′(0)=0,y″(0)=1的特解.例8求微分方程xy″+y′=lnx的通解.例9求微分方程y″+2x(y′)2＝0满足条
件y(0)=1,y′(0)=-12的特解.例10求微分方程xy″=y′(lny′+1-lnx)满足条件y(1)=2,y′(1)=e
的特解.例11求微分方程y″=2(y′)2coty的通解.例12求微分方程y″=2yy′满足初始条件y(0)=1,y′(0)=2的
特解.例13求微分方程y″=1+(y′)22y满足初始条件yx=0=2,y′x=0=-1的特解.六、线性微分方程解的结构定理应用例
1设y1,y2是微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=0的两个解，则y=C1y1+C2y2(C1,C2为任意常数)是()A.通解
B.该方程的解C.该方程的特解D.不一定是方程的解例2设y1,y2是方程y″+py′+qy=0的两个特解，则下列正确的是()A.y
=C1y1+C2y2一定是微分方程的通解B.y=C1y1+C2y2不可能是微分方程的通解C.y=C1y1+C2y2是微分方程的解D
.y=C1y1+C2y2不是微分方程的解例3某二阶常微分方程的下列解中为通解的是()A.y=2sinx+3cosxB.y=(C1+
C2)e6xC.y=CcosxD.y=C1sin5x+C2cos5x例4已知y1=sinx和y2=cosx是y″+py′+qy=0
的两个解，则该方程的通解为.例5设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为y1=x,y2=x+sinx,y3=x+cosx，则该微
分方程的通解为.例6设y1=x,y2=ex,y3=e-x是y″+py′+qy=f(x)（其中p,q都是常数）的三个特解，则该方程的
通解为.例7已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+ex都是该微分方程（x2-2x）y″-(x2-2)y′+(2x-2)y=
6x-6的解，则该方程的通解为.例8设二阶非齐次微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的三个特解为y=x,y=ex,y=
e2x，则该方程的通解为()A.y=x+C1ex+C2e2xB.y=x+C1(ex-e2x)+C2(e2x-x)C.y=x+C1e
x+C2(e2x-x)D.y=x+C1e2x+C2(ex-x)例9设线性无关函数y1(x),y2(x),y3(x)都是二阶非齐次线
性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解为()A.y=C1y1+C2y2
+y3B.y=C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.y=C1y1+C2y2+
(1-C1-C2)y3例10已知y1=ex,y2=ex2是方程2y″-3y′+y=0的解，则该方程的通解为.七、二阶常系数线性齐次
微分方程的解法例1设某微分方程的通解为y=(C1+C2x)e2x,且yx=0=0,y′x=0=1,则C1=,C2=.例2设r1=3
，r2＝4为方程y″+py′+qy=0(其中p,q为常数)的特征方程的两个根，则该方程的通解为.例3微分方程y″＝y′的通解为()
A.y=C1x+C2exB.y=C1+C2exC.y=C1+C2xD.y=C1x+C2x2例4微分方程y″-y′-2y=0的通解为
()A.y=e2x+e-xB.y=C1e-2x+C2exC.y=C1e2x+e-xD.y=C1e2x+C2e-x例5方程y″-4y
′+3y=0满足初始条件yx=0=6,y′x=0=10的特解为()A.y=3ex+e3xB.y=2ex+3e3xC.y=4ex+2
e3xD.y=C1ex+C2e3x例6微分方程y″+y=0的通解是，若y″+y=f(x)的一个特解是y=x，则它的通解是.例7求
微分方程y″-2y′+4y=0的通解.八、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法例1微分方程y″+y′-2y=xe-x的特解用待定系数
法可设为()A.y=x(ax+b)e-xB.y=x2(ax+b)e-xC.y=(ax+b)e-xD.y=axe-x例2微分
方程y″-3y′+2y=xe2x，利用待定系数法求其特解y时，下列特解设法正确的是()A.y=x(ax+b)e2xB.y=(
ax+b)e2xC.y=axe2xD.y=x2(ax+b)e2x例3微分方程y″-y=ex+1的一个特解应具有形式()A.y
=aex+bB.y=axex+bC.y=aex+bxD.y=axex+bx例4对于微分方程y″+3y′+2y=e-x利用待定
系数求特解y时，下列设法正确的是()A.y=Ae-xB.y=(Ax+B)e-xC.y=Axe-xD.y=Ax2e-x例5
微分方程y″-5y′+6y=x2e2x的一个特解应设为()A.y=(ax2+bx)e2xB.y=(ax2+bx+c)e2xC.
y=(ax2+c)xe2xD.y＝（ax2+bx+c）xe2x例6对于微分方程y″-2y′=x2，下列特解设法正确的是()A.
y=ax2+bx+cB.y=x2(ax2+bx+c)C.y=x(ax2+bx)D.y=x(ax2+bx+c)例7微分方程y
″+2y′+2y=e-xsinx的特解形式为()A.y=e-x(acosx+bsinx)B.y=e-x(acosx+bxsin
x)C.y=xe-x(acosx+bsinx)D.y=e-x(axcosx+bsinx)例8微分方程y″+y=sinx-cos
2x的一个特解形式可设为()A.y=asinx+bcosx+ccos2x+dsin2xB.y=x(asinx+bcosx)+c
cos2x+dsin2xC.y=asinx+bcos2x+csin2xD.y=axsinx+bxcos2x例9已知y1=14e
x是方程2y″+y′-y=12ex的一个特解，y2=-16xe-x是方程2y″+y′-y=12e-x的一个特解，则方程2y″+y′
-y=ex+e-x2的一个特解y=.例10微分方程y″-4y′-5y=e-x+sin5x的特解形式可设为()A.y=ae-x+
bsin5xB.y=ae-x+bsin5x+ccos5xC.y=axe-x+bsin5xD.y=axe-x+bsin5x+c
cos5x例11微分方程y″+y=x2+1+sinx的一个特解应设为()A.y=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B
.y=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y=ax2+bx+c+AsinxD.y=ax2+bx+c+Acosx
例12求微分方程y″-4y′+4y=xe2x的通解.例13求微分方程y″+2y′=3e-2x+sinx的通解.例14求微分方程y″
+y=cosxcos2x的通解.九、常系数线性微分方程的反问题例1若某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=C1e-2x+C2ex
，则该方程为()A.y″+y′=0B.y″+2y′=0C.y″+y′-2y=0D.y″-2y′-2y=0例2通解为y=(C1+C2
x)e-3x的二阶常系数齐次线性微分方程的是()A.y″-6y′+9y=0B.y″+6y′+9y=0C.y″+6y′+9y=1D.
y″+6y′=0例3通解为y=Cex（C为任意常数）的微分方程为()A.y′+y=0B.y′-y=0C.yy′=0D.y-y′+1
=0例4以y=Cx2为通解的微分方程是.例5以y1=e2x,y2=xe2x为特解的二阶常系数线性齐次微分方程是.例6设y=ex(C
1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为.例7在下列微分方程中，其通解为
y=C1cosx+C2sinx的是()A.y″-y′=0B.y″+y′=0C.y″+y=0D.y″-y=0例8具有待定特解形式为y
=ax+b+Bex的微分方程是()A.y″+y′-2y=2x+exB.y″-y′-2y=4x-2exC.y″-2y′+y=x+ex
D.y″-2y′=x+2ex例9以y=(C1+C2x+x2)e-2x（其中C1,C2为任意常数）为通解的线性微分方程是.例10设二
阶常系数线性齐次微分方程的特征方程的两个根为r1=1+2i,r2=1-2i，则该微分方程为.例11已知y1=xex+e2x,y2=
xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()A.y″-2y′+y=e2xB.y″-y′-2y=xexC.y
″-y′-2y=ex-2xexD.y″-y=e2x十、已知一个变限积分方程，求函数表达式例1设∫x0f(t)dt=ex-f(x),
则f(x)=.例2已知连续函数f(x)满足条件f(x)=∫3x0ft3dt+e2x,求f(x).例3设可导函数f(x)满足f(x)
cosx+2∫x0f(t)sintdt=x+1,求f(x).例4已知二阶可导函数y=f(x)，满足f(x)=x3+1-x∫x0f(
t)dt+∫x0tf(t)dt,求f(x).参考答案第一章函数、极限与连续一、函数定义域的求法例1D例2C例3(-2,-1)∪(-
1,4］例4［-2，2)例5(-∞,-3］∪(3,+∞)例6(1,e)例7［1,3］例8-1,-12例9A二、函数相等的判定例1B
例2D例3C三、函数表达式的求法例1x-1x-2(x≠1,x≠2)例2x,x≤0，x4+2x3+2x2+x,x>0例32+x，x≥
0,x2+2,x＜0例4x1+nx2例53-x1-x例6x2-x+ln(x-1)例7xx2+2例8e3x+1例91-cosx例10
ex-1例1131-2lnx四、函数的基本性质例1B例2A例3A例4A例5B例6B例7B例8D例9D例10D例11C五、反函数的求
法例1D例2D六、数列极限的求法例1（1）12；（2）13；（3）1；（4）1；（5）12例2C七、函数存在极限的充要条件例1D例
2A例3C例4B八、函数极限的求法例1（1）1；（2）-1；（3）220330；（4）0例2D例312例4(1)∞;(2)12;（
3）12；(4)12例5(1)12;(2)∞;(3)43;(4)32例6(1)2π;(2)∞;(3)12例7(1)32;(2)0;
(3)∞例8(1)12;(2)1;(3)π;(4)2例9(1)e-4;(2)e23;(3)e3;(4)e;(5)e-2;(6)e4
;(7)e2;(8)3例10(1+3x)e3x例11（1）0；（2）0例12B例13（1）-32；（2）4；（3）2；（4）2；（
5）0；（6）12；（7）2；（8）16九、无穷小量阶的比较例1B例2D例3B例4B例5C例6C例7B例8D例9B例10B例111
2例12B例13高例14D十、关于函数极限的反问题例1A例2a=1,b=-1例3a=1,b=-52十一、函数在一点处的连续性例1A
例2A例3C例4A例5A例6D例7A例8C十二、求函数的间断点及其类型例1A例2D例3B例4D例5C例6C例7D例8C例9A例10
B例11D例12B例13C十三、闭区间上连续函数的性质例1A例2B例3A例4C例5A例6B例7略例8略第二章函数、极限与连续一、根
据导数的定义求极限或函数在某一点的导数例1B例212例3B例4B例5D例66例7100!,(50!)2,100!例82aφ(a)例
9-3例104例11略二、利用导数的几何意义求切线或法线方程例1C例2C例3A例4y=2x例5y=f(x0)例6y=1+lnx例7
切线方程：y=-2x;法线方程:y=12x例8略例92x-y-12=0三、可导与连续的关系以及函数在一点可导性的判定例1C例2B例
3B例4D例5B例6B例7D例82例9D例10B例11B例12B例13A四、求导法则及复合函数导数与微分例12xcosx2例2si
nx(1+cosx)2例3-1+x2x32例4A例5C例6A例7B例8-extan(ex)例9e(arctanx)2·arctan
x(1+x)x例10C例112f′(sec2x)sec2xtanxdx五、函数的高阶导数例1C例2C例3B例4A例52e3例6-c
osx+nπ2+(-1)n-1(n-1)!xn例7f(5)(0)=24·5!;f(6)(x)=0例84n-1cos4x+nπ2例9
（-1）n3nn!5n+1六、参数方程或隐函数方程的导数例1A例2D例30例4D例5D例6B例7ex-3x2ey+ysin(xy)
x3ey-xsin(xy)七、幂指函数的导数求法例1xxlnx-x(ln2x+lnx-1)例2xsinxcosxlnx+sinxx
例3y121x-1-1x+2+4x-3+13x+13(1+x)ln(1+x)八、关于中值定理条件的验证例1C例2C例3C例4B例5
B例6A例7C例8C例9方程分别在(2,4)和(4,7)上各有一个根例10C九、利用拉格朗目中值定理证明不等式例1略例2略例3略例
4略十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式例1略例2略例3略例4略十一、关于中值命题的证明例1略例2【证明】F′(x)=cosx·∫x
1f(t)dt+sinx·f(x).因为F（x)在［1,π］上连续，在（1，π)内可导，且F（1）=F（π)=0,由罗尔定理知，在
（1，π)内至少有一点ε,使F′(ε)=0，即cosε·∫ε1f(x)dx+sinε·f(ε)=0.例3【证明】设F（x）=e-x
f（x）.因为F（x）在［a，b］上连续，（a，b）内可导，F（a）=F（b）=0，由罗尔定理得，在（a，b）内至少存在一点ξ，使
得F′(ξ)=0.而F′(x)=f′(x)e-x-e-xf(x),从而e-ξf′(ξ)-e-ξf(ξ)=0,即f′(ξ)=f(ξ)
.例4【证明】由条件知,F(x)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导,并且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理知,至少存在一点η∈
(0,1),使F′(η)=0.又F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，由于f(x)在［0,1］上有二阶导数,所以F′(x)在［
0,η］上连续,在(0,η)内可导,并且F′(0)=F′(η)=0.由罗尔定理知,至少有一点ξ∈(0,η)(0,1),使F″(ξ
)=0.例5【证明】设F（x）=f(x)-g(x),在［a,c］上考虑函数F(x)，则F(x)满足罗尔定理的条件，所以，存在ξ1∈
（a,c），使得F′(ξ)=0;同理存在点ξ2∈(c,b),使得f′(ξ2)=0,由题意知，F（x）在（a,b）内二阶可导，因为F
′（ξ1）=F′（ξ2）=0，故存在ξ∈（ξ1，ξ2）（a,b），使得F″（ξ）=0,即f″(ξ)=g″(ξ).十二、利用洛必达
法则求极限例1D例22例312例40例51例64例73abc例8A例9B例101例11A十三、单调性的判定与单调区间的求法例1B例
2［e,+∞)例3略例4B例5A十四、利用单调性证明不等式，以及数值不等式的证法例1略例2略例3略例4略例5略例6略例7略例8略十
五、利用单调性判定根的存在性或唯一性例1C例2B例3略例4略十六、关于函数的极值问题例1C例2A例3f(0)=0例4（-∞,0），
(2,+∞);［0,2］;(2，-3);(0,1)例5C例6B例7B例8A例9D例10单增区间为(-∞,-1］，［0,+∞)，单减
区间为（-1,0）,极大值为f(-1)=-2eπ4,极小值为f(0)=-eπ2.例11极小值f(3)=-32;极大值f(-1)=0
.十七、函数的最值问题例1A例2B例3B例46例5x=-1ln2例6-1例7ln34例8所求最大周长的直角三角形为等腰直角三角形,
且最大周长为(1+2)L.例9租金定为每套3600元时,获得收入最大,且最大收入为115600元.例10该产品产量为200时,
最大利润为300元.例11(1)R(Q)=100Q-120Q2;(2)14000(万元).十八、曲线凹凸性的判定例1C例2B例3
A例4A例5A例6C例7D十九、曲线的拐点求法例1B例2A例3D例4(0,0)例5(1,0)例6(0,0)例7a=0,b=1例8A
例9a=3,b=3例10±22,e-12例11D例12C例13D二十、曲线的渐近线求法例1B例2B例3A例4A例5B例6B例7D例
8y=15例9y=-1例10单增区间为(-∞,0)，(2,+∞)，单减区间为［0，2］，当x=2时，f(x)取极小值f(2)=3，
凹区间为(-∞,0)∪（0,+∞），无水平渐近线，只有垂直渐近线x=0.第三章一元函数积分学及其应用一、原函数与不定积分的概念及性
质例1A例2C例3D例4D例5C例6B例7C例8D例9B例10B例11C例12D例13D例14D例15xcosx-sinx+C例1
6D例17B例18B例19B例20C例21x2+x36+C二、不定积分的直接积分法例12arctanx-1x+C例2tanx-co
tx+C例312tanx+C例42x+12ex+C例5C三、不定积分的第一类换元积分法（凑微分法）例1B例2C例3D例4B例5D例
6A例7A例8A例9C例10-12sin(1-x2)+C例1112ex2+C例12C例13B例14B例15-cos2x2+12ln
(1+cos2x)+C例16x-arctanx+12(arctanx)2+C例17-21-xarcsinx+2x+C例18-1xa
rctanx+ln|x|-ln1+x2-12(arctanx)2+C例19lnC42+lnx2-lnx例20-32x-14sin2
x+C四、不定积分的第二类换元积分法例1A例2C例3-x2+1x+C例42arcsinx+C或arcsin(2x-1)+C等四种方
法例5ln|x+x2-9|-x2-9x+C例6ln(x2-2x+5+x-1)+C例7作倒代换x=1t,再积分得arctan1x-1
5x5+13x3-1x+C五、不定积分的分部积分法例1xf(x)+C例21+x2ln(x+1+x2)-x+C例312x-xex+2
-12ln(ex+2)+C例42(x-2)ex-2+42arctanex-22+C例5x-arctanexex-12ln（1+e2
x）+C例612cscxtanx+12ln|cscx-cotx|+C例7xx+cosx+C例8-13x2cos3x+29xsin3
x+227cos3x+C六、有理分式的不定积分例112ln(x2-6x+13)+4arctanx-32+C例2x+3lnx-3x-
2+C例314x4+14ln|x4-1|+C七、定积分的概念与性质例1C例2B例3C例4C例5B例6B例7B例8D例9D例10D例
11D例12D例13D例14π4八、积分上限函数的导数例1A例2-2xsinx2例3B例4cosx·∫x0f(t)dt+sinx·
f(x)例5xf(x2)例6112例7B例8B例9B例10B例1112例12B例13B例14y=2x例151九、定积分的常规计算例
1D例2B例3C例4C例5D例6B例712e12例81-π4例9ln2例1013例111x+C例1233π-ln2例13π例146
-2e例15D例16C例17C例18π例1912十、使用定积分的性质和一些重要结果计算定积分例1C例2B例3D例40例5π2例62
3例70例80例9225例100例110例1222例132002例1422n例15C例16略例17作变换x=π2-t例18作积分变
换x=π-t例19由例3的结果,再把∫π0f(sinx)dx化成两个积分∫π20f(sinx)dx与∫ππ2f(sinx)dx的和
，再对后一个积分令变换x=π-t即可例20由例3和例4即证例21π8-14例222例232例24π24十一、广义积分的计算与敛散性
的判定例1D例2A例32π例4C例5C例6D例7D例8D例9C例10B例11B例12D十二、含定积分的函数表达式求法例1x2-16
例23x-31-x2或f(x)=3x-321-x2例3C例4C例5(1+x)ex-1例612x+C十三、利用定积分的几何意义求平面
图形的面积例1C例2D例3B例4C例5B例6D例7C例8A例9A例103712例11a=3十四、利用定积分求特殊的空间立体的体积例
1方法一：易见几何体x2+y2+4z4≤4被平面z=h(-1≤h≤1)截得的截面是一个半径为21-h4的圆面，其面积为Sh=4π(
1-h4)，故几何的体积为V=∫1-1Shdh=∫1-14π(1-h4)dh=325π;方法二：易见几何体x2+y2+4z4≤4可
以看作是xOz面的曲线x=±21-z4,y=0绕z轴旋转一周所得的旋转体,它的体积为V=π∫1-1x2dz=π∫1-14（1-z4
）dz=325π;方法三：令D={(x,y)|x2+y2≤4}，则该几何体的体积为V=2D41-x2+y24dxdy=2∫2π0
dθ∫20r·41-r44dr=2π∫2044-r2dr2=325π.例243πabc例31287π例4B例5160π2例6S=2，V=2π2例7S=12e-1,V=π6e2-π2例8S=2e2+1e,V=5πe2-2πe例9S=163,V=454π例10S=163,V=51215π例11当a=0,b=A时，梯形绕x轴旋转所得体积最小第四章向量代数与空间解析几何一、向量代数例1B例2C例3D例4C例5C例6｛1，3,0｝例7B例8D例918例10A例11B例12D例13S=17例14C例1524例1622例17D例18A二、空间直线与平面的方程求法例1A例2C例37x-3y+z-16=0例4C例5D例6x-3y-z+4=0例73x+7y-5z-26=0例82x-y-z=0例92x-z-5=0例10A例11x-11=y-2-2=z-1-3例12x-11=y-1-1=z-11例13x+11=y-21=z-02例14x-12=y-1=z+22例15A例16x-207=y-0-1=z-145例17(1,3,5)例18x-31=y+31＝z-7-3三、两点间的距离、点到平面的距离以及空间中对称点的求法例13例2π1∥π264例3B例4-53,23,23例5(-12,-4,-18)四、位置关系的判定及其夹角计算例1B例2D例323，23，13例4arccos1030例5C例6D例7A例8B例9C例107例11114五、二次曲面与旋转曲面的特征例1D例2C例3D例4B例5C例6A例7D例8C例9D例10双曲线双曲柱面例11绕y轴旋转的旋转椭球面例12双叶双曲面例13绕y轴旋转的单叶双曲面例14绕z轴旋转的椭圆抛物面六、旋转曲面与投影曲线的求法例1x22+y23+z23=1例2B例3C例4B例5C例63x2+2z2=16y=0例73y2-z2=16第五章多元函数微分学一、二元函数的表达式与定义域的求法例1B例2B例3x3y2+x2y3(1-x-y)2例42(x4+y4)例5B二、二元函数的极限与函数的连续性例1D例21例3e例4-4例512例60例70例8ln2例9-16三、二元函数的偏导数与全微分例1A例2B例3C例4-9例5B例6B例7A例8C例9fx(0,0)不存在，fy(0,0)=0四、二元复合函数的偏导数与全微分例12ln2+1例2zx=e-xy(1-xy),zy=-x2e-xy例3zx=2x+(x2+y)1y-yx2ex2+y2xy,zy=2y+(x2+y2)1x-xy2ex2+y2xy例4zu=2(u-2v)(u+3v)(2u+v)2,zv=(2v-u)(9u+2v)(2u+v)2例5zu=3u2sinvcosv(cosv-sinv),zv=-2u3sinvcosv(sinv+cosv)+u3(sin3v+cos3v)例6dz=(2e2+ln2)dx+(e2+1)dy例7ydx-xdyx2+y2五、可微、连续、偏导数之间的关系例1B例2D例3D例4C例5充分例62zxy=2zyx例7B例8C六、高阶偏导数例110x4y+5y4例2-xy3-1y2exy例3π2e-2例41(1-x+y)2+2x例5yf″(xy)+yg″(x+y)+g′(x+y)七、多元抽象函数的偏导数与全微分例1C例2C例3B例4yf′1+1yf′2-yx2g′例5-2+2y例62yf(xy)f′(xy)例7fx+fy·dydx例84dx-2dy例9［f(x,y)+xfx(x,y)］dx+［3y2+xfy(x,y)］dy八、多元隐函数的偏导数与全微分例1A例2A例3C例4A例5C例62x1-ez例7-2xz+y2x2+4y2zdx-4y2z+2xyx2+4y2zdy九、方向导数与梯度例19813例2｛3，4，5｝例3沿方向｛2，-4，1｝方向导数取最大值，最大值为21十、空间曲线的切线与曲面的切平面求法例1切线为x-11=y-22=z-714，法平面x+2y+14z-103=0例2x-12=y-0-1=z-13例34x+2y-z-6=0例42x+2y-3z+4=0例5切线方向：x-11=y-12=z-1-3，法平面方程：x+2y-3z=0例6略例7π4例8D十一、二元函数的极值例1D例2A例3A例4B例5D例6B例7B例8A十二、多元函数的最值问题例1A例2两条直角边分别为x=y=l2时，有最大周长例3各边的长都是a3时，体积最大例4x=23P,y=13P时，vmax=427πP3第六章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质例1π例2A+8π例3A例4C例5D例6B例7D例8D例9B例10C例11A二、直角坐标系下二重积分的计算例1D例2A例3A例4C例5C例6D例7D例8A例9A例10e2+1例111112例121例1352例14-23例1516例16124例17763例1832三、特殊被积函数的二重积分计算例1A例2121-1e例312例41-2π例512sin4四、极坐标系下的二重积分计算例1C例2C例3D例4D例5D例6154π例72π∫30f(r)rdr例8a42例92-1例1043（2-2）例1129(8-52)例12329例13-29例142-1五、含二重积分的函数表达式求法例C六、两坐标系下二重积分的相互转化与交换二重积分的积分次序例1C例2D例3∫10dy∫0-y-y2f(x,y)dx例4∫π20dθ∫11cosθ+sinθf(rcosθ,rsinθ)rdr例5B例6C例7A例8D例9C例10∫120dx∫xx2f(x,y)dy例11∫10dy∫y20f(x,y)dx例12∫2-1dy∫y+2y2f(x,y)dx例13∫10dy∫1+1-y22-yf(x,y)dx例14A七、利用二重积分计算空间立体的体积例1D例23π-2例3323a3π2-23八、第一类曲线积分的计算例1B例2A例3A例432例5162九、利用定积分计算第二类曲线积分例1D例2D例31例42例5-144十、格林公式与曲线积分与路径无关例112例232π例3B例4C例5B例6B例7A例8D例9C例10D例110例12C第七章无穷级数一、利用定义判定级数的敛散性例1B例2C例38例42n(n+1)2例5(1)收敛，（2）发散例6收敛二、利用级数的一般性质判定级数的敛散性例1D例2B例3D例4A例5B例6C例7A例8C例9D例10D例11D例12发散三、利用级数收敛的必要条件判定级数敛散性例1发散例2A例3C四、正项级数的敛散性判别法例1B例2C例3C例4C例5B例60