离散性随机变量数学期望求法探索
江苏省响水中学魏立国
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
数学期望是随机变量的重要数学特征，反映随机变量的平均求值，本人就中学数学中，常见的离散性随机变量数学期望的求法举例如下：
一、定义法
例1、在n把不同的钥匙中仅有一把能打开门锁，随机地抽出一把来试开，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，求能打开此门的试开次数的期望，分析：求P（X=i），其实前（i-1）次没有打开，第i次恰好打开。应从i=1，2，3，…n，入手，发现规律后，推广到一般情况
解：X可能取值1，2，3，…，n，
P（X=1）=，P(X=2)=×=…
P（X=i）=，所以X分布律为
X 1 2 …… n P …… E(X)=+×2+……+×n=
例2、假设一部机器在一天内发生故障概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障，可获利10万元，发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障，则所获利润为0，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周利润的期望值是多少？
分析：求P（X=0），P（X=1），P（X=2）并不难，问题如何求P（X≥3），其实只要求出它的对立事件概率。
解：设X表示一周内发生故障次数，y表示周利润，则
-2,X≥3P(X=0)=0.85=0.32768
Y=0,X=2P(X=1)=C51×0.2×0.84=0.4096
5,X=1
10,X=0
P(X=2)=C52×0.22×0.83=0.2048
P(X≥3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.05792,Y的概率分布为
Y -2 0 5 10 P 0.05792 0.2048 0.4096 0.32768 EY=-2×0.05792+0×0.2048+5×0.4096+10×0.32768=5.020896(万元)
例3、据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a(a＞100)元，为使保险公司收益的期望值不低于a的7%，求最大的赔偿值。
解：设X表示保险公司在参加保险者身上的收益，则X可以为100和100-a两个值，且P（X=100）=0.99，P（X=100-a）=0.01，于是保险公司期望值EX=0.99×100+0.01×（100-a）=100-0.01a，为使保险公司获益的期望值不低于a的7%,应有100-0.01a≥0.07a,a≤1250，即最大的赔偿值为1250元。
二、分解随机变量法
i，第i次试开成功
例4、上例中例1。分析：Xi=
o,第i次试开未成功。
原来随机变量变为简单随机变量之和
解：
i，第i次试开成功
设Xi=
o,第i次试开未成功
X=,有P（Xi=i）=,E(Xi)=,
∴E(X)=
例5、汽车里有n个乘客，要经过M个站。每位乘客等可能地在任一站下车，且他们行动相互独立，汽车在有人下车的站停车，求汽车停站次数X的期望。
解：设随机变量，1，第i站有人下车
Xi=i=1，2，……，M
0，第i站无人下车
X=，每个人相互独立，在任一站下车概率，
P（Xi=0）=(1-)n，P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=1-(1-)n
E=(X)=
例6、将n只球（1~n号）随机地放进n只盒子（1~n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为总的配对数，求E（X）
分析：引进随机变量，
1，第i号球恰装入第i号盒子
Xi=i=1,2,……n
0，第i号球不是装入第i号盒子
解：1，第i号球恰装入第i号盒子
Xi=i=1,2,……n
0，第i号球不是装入第i号盒子
则X=，E(X)=，P(Xi=1)=,P(Xi=0)=，
E(Xi)=,∴E(X)=
参考文献
1、唐剑英数学一本通国防科技大学出版社2004.117
《数理化学习》杂志2007年第1期
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