利用导数巧证不等式
江苏省响水中学高数组魏立国
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
在有些不等式证明中，如果适当构造函数，利用导数判断函数的单调性，常常能使很难的不等式变得很简单，现举例说明如下：
当a≠b时
1、对两个正数a、b，定义其对数平均为L（a，b）=a当a=b时
本题是D、S、Mitrinovic在1970年建立一的，本人用导数判断函数单调性给出证明
分析、关键如何构造函数，由＜
不如设a＞ba—b＜（Lna-Lnb）,a—b＜（+b）Ln（1+）
（+b）Ln（1+）—（a—b）＞0不妨可构造函数
f（x）=（+b）Ln（1+）—x
证明：构造函数，f（x）=（+b）Ln（1+）—x（x≥0）
f/（x）=Ln（1+）+（+b）×—1=Ln（1+）—+
现在无法判断f/（x）正负，把f/（x）看作函数，f//（x）=—
=∵x≥0时，∴f//（x）≥0∴f/（x）是单调不减，
∴f/（x）≥f/（0）=0∴当x≥0时，f（x）是单调不减，∴f（x）≥f（0）=0
∴当x≥0时，（+b）Ln（1+）≥x
取x=a-b≥0即Ln≥a-b，显然当a＞b时，＜
当a=b时，a=即a≥b时L（a，b）≤同样a—b＜0时，同理可证。
∴L（a，b）≤
2、设0＜x1＜，xn=（n=2，3……）求证：0＜xn＜
分析：利用xn=可构造f（x）=
证明：0＜x1＜，假设0＜xn＜，令f（x）=，
f/（x）=＞0
∴0＜f（xn）＜f()=，即O＜xn+1＜∴对任意n∈N有0＜xn＜
3、求证：Ln（1+x）≥（x≥0）
分析：去分母后（1+x）Ln（1+x）≥arctanx，（1+x）Ln（1+x）—arctanx≥0
构造函数f（x）=（1+x）Ln（1+x）—arctanx，这样简化求导过程
证：令f（x）=（1+x）Ln（1+x）—arctanx，
f/（x）=Ln（1+x）+1—=Ln（1+x）+
∵x≥0∴f/（x）≥0∴当x≥0时，f（x）单调不减,f（x）≥f（0）=0
即Ln（1+x）≥
4、证明：ab＞ba（b＞a＞e）
分析：两边取对数后，blna＞alnb即看出，只要构造函数
f（x）=，当x＞e是减函数即证
证明：构造函数f（x）=（x＞e）,f/（x）=∵x＞e∴f/（x）＜0
∴当x＞e时，f（x）减函数，∴0＜a＜b∴f（a）＞f（b）即
∴ab＞ba（b＞a＞e）
2005年刊载中学理科第五期
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