一类函数在闭区间上最值问题的探讨
江苏省响水中学高数组魏立国
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
我们经常遇到一些函数在闭区间上的最值问题，它们经过等价转化，均可化为闭区间上二次函数的最值问题，这类问题解题的关键是按对称轴与区间的位置进行合理的分类。本文对常见的“对称轴变化而区间确定”及“对称轴确定而区间变化”两种类型例说如下：
一、“轴变区间定”型
例1已知，求的最小值.
分析：本题区间是确定的，对称轴是变的，对称轴和区间位置关系只有三种，对称轴在区间内，在区间左侧或右侧，只要对这三种情况讨论，就可确定表达式.
解：（1）当时
（2）当时=
（3）当时，
∴
例2若最大值为，求表达式.
分析：例2中，把看成一个整体，可转化为关于的二次函数，然后利用余弦函数值域确定区间在[-1，1]上.
解：是关于的二次函数，它对称轴.
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，
∴
例3若，求，对任意实数恒小于零，则实数m的取值范围.
分析：设，则原题等价于最大值恒小于零.
解：设，，对称轴
（1）当m≤0时，，
所以，于是
（2）当，
所以，
于是；
（3）当1≤m，，于是m≥1.
综上所述，当时，在上恒小于零.
例4已知时，不等式恒成立，求的取值范围.
分析：将原不等式整理成关于x的一元二次不等式，得
，
设，
当时，不等式恒成立必要条件是，且，
由此可将取值范围缩小到第一象限，并且可以确定图象是开口向上的抛物线，在此基础上，再寻找恒成立，即最小值恒大于0的的取值范围.
解：原不等式为
设
要使时，，恒成立，必须使，且
即且，则是第一象限角，
此时，的图象抛物线开口向上，其对称轴方程
，
∵
∴
∴在[0，1]上最小值为顶点纵坐标，
即
，
当时，恒成立充要条件是最小值取正值.
综上所述，得
∴
说明：首先计算二次函数两个特殊值，，这一招非常高明，不仅缩小的取值范围，而且确定了抛物线对称轴的位置.（即顶点横向位置），从而避免求在
[0，1]上最小值时分类讨论，使解题过程大大简化，这一解法充分显示“特殊化”方法的优越性.
二、“轴定区间变”型
例5已知函数，若时，求函数的最值.
分析：本题对称轴是确定的，只要根据对称轴x=1与区间[t，t+2]的三种位置关系进行讨论，就很容易求出最值.
解：对称轴x=1
（1）当1≥t+2，即t≤-1时，
，
，
（2）当，
即时，，
（3）当，
即，，
（4）当1，
记函数最大值记为，最小值记为，则有
例6对恒为正，求实数a的取值范围.
分析：设恒为正，则最小值必须为正.
解：设
（1）当时，，
则且a≠0
（2）当，
即时，
，则，
又，
于是
（3）当，即时，
，
于是
∴当a≠0时，时恒为正.
《数学教学通讯》2005年12期
|
|
