一堂数学习题课的意外收获
江苏省响水中学魏立国邮编224600
魏立国简介
魏立国，男，汉族,江苏省响水中学教师，中国数学奥林匹克一级教练，第十八届全国希望杯备选题命题人，《中学数学教学参考》编辑部特约编辑。他先后有31篇论文在省级以上刊物上发表，其中有11篇论文在《数学通报》、《数学通讯》等国家级刊物上发表。2008年被响水县人民政府授予“十佳劳动模范”。2013年被盐城市人民政府授予“盐城市劳动模范”。2015获评为响水县首届最美教师；盐城市第二届最美教师提名奖。
2007年、2008年，连续任教高三，所任教班级学生数学人平分均名列同类班级之首，分别超出省均分31分、32分。2008年他培养的一名学生在全国数学联赛中荣获一等奖。2009年任教的高三（15）班，囊括全县数学单科180分以上所有名额。2011年夏天，在江苏大学举办的全省数学竞赛中，他培养的四名学生荣获全省一等奖。2012年任教的高三（1）班，在高考中一本达线率为95%。2015年任教的普通班高三（22）班，超额完成学校高考指标，与此同时，一位同学取得数学单科同省理科状元同分的数学高分。
本人在一堂直线和圆的习题课中,选了一道我校高三一轮复习资料名师伴你行中的习题，题目是：⊙O/过定点A(0,a),(a>0)，在x轴上截得弦长|MN|为2a，（1）求⊙O/的圆心的轨迹方程
（2）设|AM|=m，|AN|=n,求的最大值
选此题的目的，一种情况认为问题设计有创意，另一种情况据我了解学生做的时候有困难，作为配套资料的习题有必要讲一下。本人对该题讲解时的实录记述如下：
学生思考几分钟后，提问同学1，第一小问如何做？他说：“第一小问设动圆圆心为O/(x,y),过O/作O/E⊥MN于E，连O/M，由|ME|=|MN|=a，|O/E|=|y|,|O/A|=|O/M|=,在Rt△O/EM中，
|O/M|2=|ME|2+|O/E|2。即可求圆心轨迹为：x2=2ay。”
又过几分钟，我提问同学2，问第二小问如何做？他说：“没想好”，接着提问同学3也说没想好。我说有没有人想好呢？终于有一位同学4主动站起来，他说：“设M(x1,0),则N(x1+2a,0),|AM|=m=,|AN|=n
再向下我不会了。”
此时，我问同学4：“为什么做不下去呢？”
他说：“我以为通过设立坐标代入后，
能找到方法解决，没想到代入后越化越繁。”等了3分钟后，有一位同学5站起来说：
“M、N关于O/E对称，可设M(x1-a,0),N(x1+a,0),
到此，大家都认为同学5不简单，我问同学6：“为什么同学5设立的坐标便于化简，她说：“同学5设立坐标代入后，产生了一些互为相反的项容易消掉，而同学4设立的坐标没有这一特点。”我说：“同学们，设立点的坐标要考虑到便于化简，例如本题中设N(a+x,0),M(a-x,0)。当然这里也是抓住M、N点关于O/E对称这一特点。”这一解法也在我的意料之中，我也认为是比较简洁的做法。我刚刚准备收场，忽然有一位同学7站起来说：“用余弦定理，设∠MAN=，则cos=，
m2+n2=2mncos+4a2,
”，说到这里，有几位同学说：“下面你怎么做？”这位同学想到余弦定理，没想到操作不起来，他面对其他同学的质问无言以对，此时，有个别同学在下面嘲笑这位同学，认为他异想天开，用余弦定理不可能做．我批评了这位嘲笑的同学，我说：“不要笑人家，也不一定不能做，这位同学有这想法是好的。”其实这话说完后，我心里也没底，也不知道到底能不能做。正在此时，一位坐在最后一排同学8站起来说：“老师能做，用面积。”我说：“你怎么做？”他说：“S△AMN
=
=，等号当且仅当=45°时成立，即最大值为”。此时，同学们异常兴奋，一起为这两位同学鼓掌。正在此时一位同学9举手说：“老师我虽然没有找到什么新解法，但我看出，本题就是已知三角形底和高，求另外两条边之比与它的倒数和的最大值。”我说：“你能否变成一个具体问题。”他说：“已知在△ABC中，BC=a，BC边上高为h，设AB=m，AC=n,求的最大值”。我说：“你这一问题比原来问题更有普遍性，你如何解决的呢？”
他说：“由a2=m2+n2-2mncos可得
m2+n2=a2+2mncos
由S△=
=
其中tanφ=，等号当且仅当+φ=时成立，其实原来问题就是时的特殊情况。”
这一同学刚一结束，又有一位同学10说：“老师如果原来问题变成：已知在△ABC中，BC=2a,BC边上高为a，，求∠A，那么这一问题更具有挑战性。”我说：“为什么呢？”同学10说：“题设中正是原来问题，取最大值时，本题就是求最大时的∠A。当然比原来问题难度更大。”我说：“同学们你们认为同学10说得对吗？”此时教室里静悄悄，几分钟后，同学11举手说：“我反对，本题并不难。因为求的是三角形中的角，想到用余弦定理及面积关系转化是很正常的事，而原来问题看上去像解析几何问题，不太容易想到用三角方法解决。只要令AC=k,
则AB=
S△
得
∠A=”。此时，大部分同学赞同同学11的看法。
教后反思：
1、要体现新课程理念，尊重学生的观念。本堂课上完后，我感受很深，如果我也只认为同学4是异想天开的话，那么就不会发现学生有那么多的思维闪光点，也无疑扼杀了学生的天性。尤其在大力提倡素质教育的今天，老师要对学生多一份鼓励，多一份期待，才能真正培养出具有探索精神和发现问题的创造型人才。
2、要以树立学生为中心，以促进学生个性化发展为根本，肯定学生的创造性，调动他们的潜能，帮助学生自我建立自信的数学教育观。
3、一题多解，一题多变，加强对各知识之间的纵横联系，能起到举一反三，融会贯通的作用。同时也有利于培养学生探索精神和创新意识。
《数学通报》2008年第9期
1
A
y
x
o
N
M
E
n
m
a
C
A
B
A
C
B
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