数学发展史中的几次重大思想方法的突破
1.承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放
古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使“数”不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。这是数学史上的第一次危机。
2．2微积分的产生是第二次思想解放
第二次数学危机源于极限概念的提出。作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。其实，牛顿也曾在著作中明确指出过：所谓“最终的比”(如(2)中的2at)不是“最终的量”的比，而是比所趋近的极限。但他既没有清除另一些模糊不清的陈述，又没有严格界说极限的含义。包括莱布尼兹对微积分的最初发现，也没有明确极限的意思。因而，牛顿及其后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。这就是数学史上所谓第二次数学危机。
2．3非欧几何的诞生是第三次思想解放
希腊人在几何学上取得很大成就，最典型的是《几何原本》。
《几何原本》从五个公理、五个公设出发推演出有关的数学问题，这就给了人们一个价值尺度，一把尺子。那么人们自然要问，这把尺子准否?又有谁去量《几何原本》。公设①～④都是很容易接受的，对于叙述最为罗嗦的“第五公设”有人想能否从中去掉它，然后由别的来代替。
那么，唯一的办法就是用别的定理去证明它也能获得同样结论。第一个做这件事的人就是仅与欧几里得相差不到一世纪的著名天文学家、几何学家托勒密，但没有获得成gong。尔后到公元5世纪的普洛克拉斯，17世纪的沃利斯，也都没有获得什么进展。直到19世纪初，所有用欧几里得的公理去证明欧几里得平行的公理的尝试，都失败了，它整整困惑了人们2000多年。
19世纪初，当一大批数学家们开始意识到第五公设是不可证明时，那唯一的办法，要么干脆承认第五公设，要么换一个新的思路，重新构筑一个体系。这时，非欧几何可以说已经呼之欲出了。当时德国数学家C．F．高斯、俄国数学家H．И．罗巴契夫斯基和匈牙利数学家J．波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。罗巴契夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴契夫斯基平行公理：在这种几何里，三角形内角和小于两直角。当时罗巴契夫斯基称这种几何学为虚几何学，后人又称为罗巴契夫斯基几何学，简称罗氏几何，也称双曲几何。
非欧几何的创建打破了2000多年来欧氏几何一统天下的局面，从根本上革新和拓宽了人们对几何学观念的认识。非欧几何的创建导致人们对几何学基础的深入研究。不仅推广了几何学观念，而且对于物理学在20世纪初期所发生的关于空间和时间的物理观念的改革也起了巨大的推动作用。非欧几何学首先提出了弯曲的空间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具。而这一次思想解放，数学依然是在物理学的前面几十年。A.爱因斯坦和他后继者在广义相对论的基础上研究了宇宙的结构。按照相对论的观点，宇宙结构的几何学不是欧几里得几何学而是接近于非欧几何学，许多人采用了非欧几何作为宇宙的几何模型。
2．4罗索悖论引出的数学基础研究是第四次思想解放
第三次危机，涉及到了“数学自身的基础是什么”的根本问题。它的起因是19世纪的弗雷格根据康托尔创立的集合论思想撰写一本《算术基础》，其主要思想是把算术的基础全部归结为逻辑，以期能建立：数学→算术→逻辑的模式，筑起数学的大厦。
1092年6月，罗素给正在致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信，叙述了他所发现的一条悖论：我们暂且这样叙述：有些集合不以自己为元素，{0，1，2}＝3，“3”并不是自己的元素。也可能以自己为元素，如“所有集合的集合”，自己是个集合，所以也是自己的元素。现在考虑所有那些“不以自己为元素的集合”。这个概念的外延确定了一个集合，它是不是自己的元素呢?如果它以自己为元素，它就不符合定义自己的概念，因而不是自己的元素。如果它不以自己为元素呢?它又和概念相符了。它应当以自己为元素，使得弗雷格的“逻辑”产生了矛盾，陷入了两难境地。
对罗素的观点，我们也可以换一种比较具体的好理解的说法。理发师悖论：某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸。试问，他给不给自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸。如果他给自己刮脸，由于他只给那些不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸。
罗素悖论是数学史上的第三次危机，它给数学领域沉重的打击。围绕第三次危机，19世纪、本世纪许多杰出的数学家都参与了“数学基础”大厦建设工作，取得卓然成就，“数学化”(Mathematizing)很可能是人的一种创造性活动，像语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性决定不容许完全的客观的有理化(rationalization)。”
一部数学文化的原创有着极大诱惑力，它鼓舞着、引导着人们去为他奋斗。就如同美国前数学协会埃里克坦普尔·贝尔说的：“人们将会发现，领略现代数学思想的这些令人鼓舞的概念，就像热天喝冰水那样使人清新，像一切艺术那样令人感奋。”
|
|
