x＋2y－3＝0本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系第八章平面解析几何方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)________a≠0Δ＞0两个________的解________Δ＝0两个相等的解________Δ＜0无实数解________(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．无公共点一个交点不相等两个交点一个交点无交点CDB栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y整理得到关于x的方程ax＋bx＋c＝0.
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A两点(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝－x
＝
＝－y
＝
1．辨明两个易误点
(1)直线与双曲线交于一点时易误认为直线与双曲线相
(2)直线与抛物线交于一点时除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．
2．“点差法”求解弦中点问题的步骤
↓
↓
↓
—
1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切则a等于()
C. D．4
解析：由消去y得ax－x＋1＝0所以解得a＝
2．双曲线C：－＝1(a＞0＞0)的右焦点为F直线l过焦点F且斜率为k则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是()
＞－＜
＞或k＜－－＜k＜
解析：由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜
3．过点的直线l与抛物线y＝－x交于A、B两点为坐标原点则的值为()
－－
－4无法确定
解析：设A(x)、B(x)，直线l的方程为y＝kx－代入抛物线方程得2x＋2kx－1＝0由此得所以＝x＋yx1x2＋＝(k2＋1)·x－(x1＋x)＋＝－(k＋1)－(－k)＋＝－故选
4．过点A(1)作倾斜角为的直线与抛物线y＝2x交于M、N两点则|MN|＝________．
2
解析：过A(1)且倾斜角为的直线方程为y＝x－1代入y＝2x得x－4x＋1＝0.设(x1，y1)，N(x2，y2)，有x＋x＝4＝1所以|MN|＝－x＝＝＝2
考点一直线与圆锥曲线的位置关系
在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1)，且点P(0)在C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C和抛物线C：y＝4x相切求直线l的方程．
[解(1)因为椭圆C的左焦点为F(－1)，所以c＝1.将点P(0)代入椭圆方程＋＝1得＝1即b＝1所以a＝b＋c＝2.所以椭圆C的方程为＋y＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率显然存在且不等于0设直线l的方程为y＝kx＋m由消去y并整理得(1＋2k)x2＋4kmx＋2m－2＝0.因为直线l与椭圆C相切所以Δ＝16k－4(1＋2k)(2m2－2)＝0.整理得2k－m＋1＝0.①由消去y并整理得k＋(2km－4)x＋m＝0.
因为直线l与抛物线C相切所以Δ＝(2km－4)－4k＝0整理得km＝1.②综合①②解或所以直线l的方程为y＝＋或y＝－－
直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数可以研究直线与圆锥曲线的位置关系即用代数法研究几何问题这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题实际上是研究方程组解的个数问题.
1.已知直线l：y＝2x＋m椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解：将直线l的方程与椭C的方程联立得方程组将①代入②整理得9x＋8mx＋2m－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.
(1)当Δ>0即－3时方程③有两个不同的实数根可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0即m＝±3时方程③有两个相同的实数根可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
考点二弦长问题
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为(2，0)，离心率为直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时求k的值．
[解(1)由题意得解得b＝所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k)x2－4k＋2k－4＝0.设点M的坐标分别为(x)，(x2，y2)，
则y＝k(x－1)＝k(x－1)＋x，x1x2＝所以|MN|＝＝＝
又因为点A(2)到直线y＝k(x－1)的距离d＝所以△AMN的面积为S＝＝由＝解得k＝±1.
弦长的计算方法
求弦长时可利用弦长公式根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式然后进行整体代入弦长公式求解．
[注意]两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点.
2.设F分别是椭圆E：x＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点过F的直线l与E相交于A两点且成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF＋|AB|＋|BF＝4又2|AB|＝|AF＋|BF得|AB|＝
(2)设直线l的方程为y＝x＋c其中c＝(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A两点坐标满足方程组化简得(1＋b)x2＋2cx＋1－2b＝0.则x＋x＝＝
因为直线AB的斜率为1所以|AB|＝－x即＝－x则＝(x＋x)2－4x＝－＝因为0＜b＜1.所以b＝
考点三中点弦问题
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为点(2)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴与C有两个交点A线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解(1)由题意有＝＋＝1解得a＝8＝4.所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b1≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x＋4kb＋2b－8＝0.故x＝＝＝k·x＋b＝于是直线OM的斜率k＝＝－即k＝－所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
(2)点差法：即设出弦的两端点坐标后代入圆锥曲线方程并将两式相减式中含有x＋x＋y三个未知量这样就直接联系了中点和直线的斜率借用中点公式即可求得斜率．
[注意]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.
3.(2016·江西省九校联考)已知P(1)为椭圆＋＝1内一定点经过P引一条弦使此弦被P点平分则此弦所在的直线方程为________．
解析：法一：易知此弦所在直线的斜率存在所y－1＝k(x－1)两交点设为A(x)，B(x2，y2)．由消去y得(2k2＋1)x－(k－1)x＋(k2－2k－1)＝0所以x＋x＝又因为x＋x＝2所以＝2解得k＝－故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋2y－3＝0.
法二：易知此弦所在直线的斜率存在所以设斜率为k两交点为A(x)、B(x)，则＋＝1＋＝1－②得＋＝0因为x＋x＝2＋y＝2所以＋y－y＝0所以k＝＝－所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋2y－3＝0.
规范解答——直线与圆锥曲线的综合问题
(本12分)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：9x＋y＝m(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴与C有两个交点A线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点延长线段OM与C交于点P四边形OAPB能否为平行四边形？若能求此时l的斜率；若不能说明理由．
(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x＋y＝m得(k＋9)x＋2kbx＋b－m＝0故x＝＝＝kx＋b＝
(3分)
于是直线OM的斜率k＝＝－即kk＝－9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(5分)
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0(6分)
由(1)得OM的方程为y＝－
设点P的横坐标为x
由得x＝即x＝
(8分)
将点的坐标代入直线l的方程得b＝
因此x＝(9分)
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分即x2xM.(10分)
于是＝2×解得k＝4－＝4＋
因为k＝1所以当直线l的斜率为4－或＋时四边形OAPB为平行四边形．(12分)
(1)在解题过程中注意答题要求严格按照题目及相关知识的要求答题不仅注意解决问题的巧解更要注意此类问题的通性通法．如本例(1)中先设出直线方程再联立椭圆方程构造方程组利用根与系数的关系求出x、y的值即为通法．
(2)本例(2)中由平行四边形知x＝2x这一技巧从而得出关于k的方程即可求出k的值．
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