2交汇创新——与直线有关的交汇问题5AA本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何第2讲两直线的位置关系第八章平面解析几何条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行____________k1与k2都不存在垂直____________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－13．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________ABA4．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．5．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________．1C4x＋3y－6＝02或－6栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第八章平面解析几何
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
2.两条直线的交点
1．辨明三个易误点
(1)在判断两条直线的位置关系时首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率可根据相应公式或性质判断若直线无斜率要单独考虑．
(2)求点到
(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝时一定要注意将两方程中x的系数化为相同的形式．
2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax＋By＋C＝0(A＋B)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；
(2Ax＋By＋n＝0(n∈R且n≠C)．
1．直线l过点(－1)且与直线2x－3y＋4＝0垂直则直线l的方程是()
＋2y－1＝0＋2y＋7＝0
－3y＋5＝0－3y＋8＝0
解析：由题意知直线l的斜率是－因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)即3x＋2y－1＝0.
2．(必修2练习题改编)已知直l1：x＋y＋1＝0：x＋y－1＝0则l之间的距离为()
C. D．2
解析：与l之间的距离d＝＝＝故选
3．(必修2习题3.3组(1)改编)已知直线l：ax＋3y＋1＝0：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行则实数a的值是()
－3
C．－3或2或－2
解析：由直线l与l平行可得解得a＝－3.
考点一两条直线平行与垂直
(1)(2016·邢台摸底考试)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
(2)经过两直线l：x－2y＋4＝0和l：x＋y－2＝0的交点P且与直线l：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
[解析(1)依题意注意到直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1故选
(2)法一：由方程组得即P(0)．因为l⊥l所以直线l的斜率k＝－所以直线l的方程为y－2＝－即4x＋3y－6＝0.
法二：因为直线l过直线l和l的交点所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l垂直所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0所以λ＝11所以直线l的方程12x＋9y－18＝0即4x＋3y－6＝0.
将本例(2)中条件“与直线l：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l：3x－4y＋5＝0平行”求此时直线l的方程．
解：法一：由方程组得即P(0)．因为l∥l所l的斜率k＝所以直线l的方程为y－2＝即3x－4y＋8＝0.
法二：因为直线l过直线l和l的交点所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l平行所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)所以λ＝所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0.
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l：A1＋B＋C＝0(A＋B)
l2：A＋B＋C＝0(A＋B) l1与l垂直
的充要条件 A＋B＝0 l与l平行
的充分条件 ＝(A2B2C2≠0) l1与l相交
的充分条件 (A2B2≠0) l1与l重合
的充分条件 ＝＝(A)
1.已知两直线l：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0求满足下列条件的a的值．
(1)l且直线l过点(－3－1)；
(2)l且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l所以a(a－1)－b＝0.又因为直线l过点(－3－1)所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2＝2.
(2)因为直线l的斜率存在所以直线l的斜率存在．所以＝1－a.①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等所以l在y轴上的截距互为相反数即b.②
联立①②可得a＝2＝－2或a＝＝2.
考点二距离公式(高频考点)
距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常出现试题难度不大多为容易题或中档题．
高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求距离；
(2)已知距离求参数值；
(3)已知距离求点的坐标．
(1)若两平3x－2y－1＝0＋ay＋c＝0之间的距离为则c的值是________．
(2)(经典考题)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C：y＝x＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C：x＋(y＋4)＝2到直线l：y＝x的距离则实数a＝_______．
[解析(1)依题意知＝，
解得a＝－4－2即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0又两平行线之间的距离为＝因此c＝2或－6.
(2)曲线C是圆心为(0－4)半径r＝的圆圆心到直线l：y＝x的距离d＝＝2所以曲线C到直线l的距离为d－r＝设曲线C上的点(x)到直线l：y＝x的距离最短为d则过(x)的切线平行于直线y＝x.已知函数y＝x＋a则y′|＝x＝2x＝1即x＝＝＋a点(x)到直线l：y＝x的距离d＝＝由题意知＝所以a＝－或a＝当a＝－时直线l与曲线C相交不合题意故舍去．
距离的求法
(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两平行直线间的距离
利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
利用两平行线间的距离公式．
2.(1)平行于直线3x＋4y－2＝0且与它的距离是1的直线方程为________．
(2)已知A(4－3)(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0在坐标平面内求一点P使|PA|＝|PB|且点P到直线l的距离为2.
3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0
解：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)则d＝＝1所以c＝3或c＝－7即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.故填3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
(2)设点P的坐标为(a)．因为A(4－3)(2，－1)所以线段AB的中点M的坐标为(3－2)．而AB的斜率k＝＝－1AB的垂直平分线方程为＋2＝x－3即x－y－5＝0.因为点P(a)在直线x－y－5＝0上所以a－b－5＝0.①
又点P(a)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2所以＝2即4a＋3b－2＝±10由①②联立可得或所以所求点P的坐标为(1－4)或
考点三对
已知直线l：2x－3y＋1＝0点A(－1－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1－2)对称的直线l′的方程．
[解(1)设A′(x)，由已知
解得所以A′.
(2)在直线m上取一点如M(2)，
则M(2)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a)，则
解得M′
设直线m与直线l的交点为N则由得N(4)．又因为m′经过点N(4)，
所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x)为l′上任意一点则P(x)关于点A(－1－2)的对称点为(－2－x－4－y)因为P′在直线l上所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝02x－3y－9＝0.
四种常见对称求解方法
(1)点关于点的对称：求点P关于点M(a)的对称点Q的问题主要依据M是线段PQ的中点即x＋x＝2a＋y＝2b求解．
(2)直线关于点的对称：求直线l关于点M(m)的对称直线l′的问题主要依据l′上的任一点T(x)关于(m，n)的对称点T′(2m－x－y)必在l上．
(3)点关于直线的对称：求已知点A(m)关于已知直线l：y＝kx＋b的对称点A′(x)的坐标一般方法是依据l是线段AA′的垂直平分线列出关于x的方程组由“垂直”得一方程由“平分”得一方程．
(4)直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
3.直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1)对称则b＝________．
解析：法一：由题知点A不在直线x＋2y－3＝0上所以两直线平行所以－＝－所以a＝2.又点A到两直线距离相等所以＝所以|b＋2|＝4所以b＝－6或b＝2.因为点A不在直线x＋2y－3＝0上所以b＝2.
法二：在直线x＋2y－3＝0上取两点P(1，1)、(3，0)，
则P、P关于点A的对称点P′1、P′都在直线ax＋4y＋b＝0上．因为易知P′(1，－1)、P′(－1)，
所以所以b＝2.
(2014·高考四川卷)设m∈R过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
[解析]因为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A所以A(0)，B(1，3)．
当点P与点A(或B)重合时为零；
当点P与点A均不重合时
因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点
所以△APB为直角三角形
所以|AP|＋|BP|＝|AB|＝10
所以|PA|·|PB|≤＝＝5当且仅当＝|PB|时上式等号成立．
(1)本题是直线与不等式的交汇把直线问题和基本不等式进行结合体现了当今数学命题的新动向其
解题思路是利用图形找出关系式|AP|＋|BP|＝再利用基本不等式求解．
(2)直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇．
1.(2016·湖北省八校联考)已知M＝＝{(x)|ax＋2y＋a＝0}M∩N＝则a＝()
－6或－2－6
或－6－2
解析：集合M表示去掉一点A(2)的直线3x－y－3＝0集合N表示恒过定点B(－1)的直线ax＋2y＋a＝0因为M∩N＝所以两直线要么平行要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2)．因此＝3或2a＋6＋a＝0即a＝－6或a＝－2.
2．(2016·南昌模拟)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0＋y＋b＝0已知a是方程x＋x＋c＝0的两个实根且0≤c≤则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()
， B.，
C.， D.，
解析：由题意知a是方程x＋x＋c＝0的两个实根所以ab＝c＋b＝－1.又直线x＋y＋a＝0＋y＋b＝0的距离d＝所以d＝＝＝＝－2c0≤c≤，所以－2×－2c≤－2×0得－2c≤所以.
|
|
