考点三求函数的解析式f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)f(x)＝x2－x＋3x2－1(x≥1)x2＋2x＋1x2＋x＋1方法思想——分类讨论思想在分段函数中的应用AC[－4，2]本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[2017高考导航]第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载函数及其表示1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．单调性1.理解函数的单调性及其几何意义．2．理解函数最大值、最小值及其几何意义．奇偶性了解函数奇偶性的含义．第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载指数函数第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载对数函数第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载幂函数函数的图象会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载变化率与导数、导数的运算第二章基本初等函数、导数及其应用知识点考纲下载导数的应用1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．3．会用导数解决实际问题．定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义.第1讲函数及其表示第二章基本初等函数、导数及其应用数集集合任意任意函数映射名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射定义域值域对应关系定义域对应关系不同不同的式子解析法BDC4．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．5．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝_______________．－2x2－4x＋3考点一函数的基本概念②③考点二分段函数(高频考点)CDA(－1，3)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.了解指数函数模型的实际背景．
理解有理数指数幂的含义了解实数指数幂的意义掌握幂的运算．
理解指数函数的概念及其单调性掌握指数函数的图象通过的特殊点会画底数为2，的指数函数的图象．
体会指数函数是一类重要的函数模型．
1.理解对数的概念及其运算性质知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
理解对数函数的概念及其单调性掌握对数函数图象通过的特殊点会画底数为2的对数函数的图象．
体会对数函数是一类重要的函数模型．
了解指数函数y＝a(a＞0a≠1)与对数函数y＝(a＞0且a≠1)互为反函数.
1.了解幂函数的概念．
结合函数y＝x＝x＝x＝＝x的图象了解它们的变化情况.
1.了解导数概念的实际背景通过函数图象直观理解导数的几何意义．
能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)＝x＝xy＝x＝＝的导数．
能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．并了解复合函数求导法则能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
1．函数与映射的概念
函数 映射 两集合
、B 设A是两个非空的________ 设A是两个非空的________ 对应关系
：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的________一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的________一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)中叫做自变量的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：________、________和________．
(3)相等函数：如果两个函数的________和________完全一致则这两个函数相等这是判断两函数相等的依据．
3．分段函数
若函数在其定义域的________子集上因对应关系不同而分别用几个____________来表示这种函数称为分段函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、图象法、列表法．
1．辨明两个易误点
(1)易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射映射不一定是函数从A到B的一个映射、B若不是数集则这个映射便不是函数．
(2)分段函数是一个函数而不是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集．
2．函数解析式的四种常用求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法此时要注意新元的取值范围；
(4)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式可根据已知条件f(x)．
1．(必修1习题1.2组改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}值域为N＝{y|0≤y≤2}则函数y＝f(x)的图象可能是()
2．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2则＝()
－3
C．－1
解析：若a≥0则＋1＝2得a＝1；若a＜0则＋1＝2得a＝－1.
3．(必修例7改编)下列对应关系：
＝{1＝{－3－2－1：x→x的平方根；
＝R＝R：x→x的倒数；
＝R＝Rf：x→x－2；
＝{－1＝{－1：A中的数的平方．
其中是A到B的映射的是()
C．③④ D．②③
以下给出的同组函数中是否表示同一函数？为什么？
(1)f：y＝；f：y＝1.
(2)f：y＝
：
x≤1 1
(3)f1：y＝2x；f：如图所示．
[解(1)不同函数．f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}(x)的定义域为R.(2)同一函数与y的对应关系完全相同且定义域相同它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同(2)．
函数为同一个函数的判断方法
(1)两个函数是否是相等函数取决于它们的定义域和对应关系是否相同只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时才表示相等函数．
(2)函数的自变量习惯上用x表示但也可用其他字母表示如：f(x)＝2x－1(t)＝2t－1(m)＝2m－1均表示相等函数.
1.有以下判断：
(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；
若f(x)＝|x1|－|x|则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
解析：对于①由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}而函数g(x)＝的定义域是R所以二者不是同一函数；对于②若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点若x＝1是y＝f(x)定义域内的值由函数的定义可知直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③(x)与(t)的定义域、值域和对应关系均相同所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于④由于f＝－＝0所以f＝f(0)＝1.综上可知正确的判断是②
分段函数是一类重要的函数
高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：
(1)由分段函数解析式求函数值(或最值)；
(2)由分段函数解析式与方程求参数的值(或范围)；
(3)由分段函数解析式求解不等式；
(4)由分段函数解析式判断函数的奇偶性．(本章第4讲再讲解)
(1)(2015·高考陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝()
－1
C. D.
(2)(2016·武汉质检)已知函数f(x)＝若(－a)＋(a)≤0，则a的取值范围是()
[－1] B．[－2]
C．[0，2] D．[－2]
[解析(1)因为－2<0所以f(－2)＝2－2＝所以f＝1－＝1－＝(2)依题意可得
或解得a∈[－2]．
分段函数问题的求解策略
(1)求分段函数的函数值时应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解有时每段交替使用求值．
(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量.
2.(1)(2016·南阳质检)已知函数(x)＝若f(a)＋f(1)＝0则实数a的值等于()
－3－1
(2)已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a则a的取值范围是________．
解析：(1)因为f(1)＝2＝2且f(a)＋f(1)＝0所以(a)＝－2.因为x>0时所以f(a)＝a＋1＝2，解得a＝－3.(2)由题知(1)＝2＋1＝3(f(1))＝f(3)＝3＋6a若f(f(1))>3a则9＋6a>3a即a－2a－3<0解得－1
(1)已知f＝x＋则f(x)的解析式为________．
(2)已知f＝则f(x)的解析式为________．
(3)若f(x)为二次函数且f(0)＝3(x＋2)－f(x)＝4x＋2则f(x)的解析式为________．
(4)定义在(－1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝(x＋1)则函数f(x)的解析式为________．
f(x)＝(x＞1)
f(x)＝(x＋1)＋(1－x)(－1)
[解析(1)由于f＝x＋＝－2所以f(x)＝x－2或x≤－2故f(x)的解析式是f(x)＝x－2(x≥2或x≤－2)．(2)令＋1＝t由于x>0所以t>1且x＝所以f(t)＝，即f(x)＝(x>1)．
(3)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)又f(0)＝c＝3.所以f(x)＝ax＋bx＋3所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)＋(x＋2)＋3－(ax＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以所以f(x)＝x－x＋3.
(4)当x∈(－1)时有2f(x)－f(－x)＝(x＋1)．①以－x代替x得(－x)－f(x)＝(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得(x)＝(x＋1)＋(1－x)(－1)．
求函数解析式常用的方法
(1)待定系数法；
(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；
(3)配凑法；
(4)解方程组法.
3.(1)已知f(＋1)＝x＋2则f(x)的解析式为(x)＝__________．
(2)设y＝f(x)是二次函数方程f(x)＝0有两个相等实根且f′(x)＝2x＋2则f(x)的解析式为f(x)＝__________．
(3)已知f(0)＝1对任意x，y，都有f(x－y)＝(x)－y(2x－y＋1)则f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：(1)法一：设t＝＋1则x＝(t－1)(t≥1)；代入原式有f(t)＝(t－1)＋2(t－1)＝t－2t＋1＋2t－2＝t－1.故f(x)＝x－1(x≥1)．法二：因为x＋2＝()＋2＋1－1＝(＋1)－1所以f(＋1)＝(＋1)－1(＋1≥1)即f(x)＝x－1(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2所以a＝1＝2(x)＝x2＋2x＋c.又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根所以Δ＝4－4c＝0c＝1故f(x)＝x＋2x＋1.(3)令x＝0得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y－y所以f(y)＝y＋y＋1即f(x)＝x＋x＋1.
(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3则f(6－a)＝()
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－－
[解析]由于f(a)＝－3
①若a≤1则2－1－2＝－3
整理得2－1＝－1.
由于2＞0
所以2a－1＝－1无解；
若a＞1则－(a＋1)＝－3
解得a＋1＝8＝7
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－
综上所述(6－a)＝－故选
(1)解答本题利用了分类讨论思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(因f(x)为分段函数由于a不确定应分情况讨论．
(2)求解过程中求出的参数的值或范围并不一定符合题意因此要检验结果是否符合要求．
1.设函数f(x)＝若[f(a)]＝－则实数a＝()
－2
或－或－2
解析：由题意得f(a)＝1或f(a)＝－2故－1＝1或＝－2解得a＝4或a＝－
2．(2016·榆林模拟)已知f(x)＝使(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或解得－4≤x≤0或0
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